自控原理(3)教程文件

自控原理(3)*過渡過程：系統(tǒng)受到外作用時(shí)，控制過程不會立即發(fā)生，而是有一定的延緩，這就使得被控量恢復(fù)到期望值或跟蹤輸出量有一個(gè)時(shí)間過程。一般認(rèn)為c(t)進(jìn)入±△（誤差帶）后過渡過程結(jié)束。例如：單位階躍輸入信號作用下，反饋系統(tǒng)的過渡過程為：

r(t)10ta

單位階躍信號10tc(t)0.52Δ

tdtrtptsb、單位階躍信號作用下反饋系統(tǒng)的過渡過程曲線（誤差帶2△一般取0.02或0.05）2)

動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：

延遲時(shí)間

td

：指響應(yīng)從0到第一次達(dá)到終值（穩(wěn)態(tài)值）的一半時(shí)所需要的時(shí)間；上升時(shí)間

tr

：指響應(yīng)從0到第一次達(dá)到終值（穩(wěn)態(tài)值）時(shí)所需要的時(shí)間；AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析峰值時(shí)間

tp

：指響應(yīng)從0到達(dá)第一次峰值（最大值）時(shí)所需要的時(shí)間；調(diào)節(jié)時(shí)間

ts

：即過渡過程時(shí)間。指響應(yīng)到達(dá)并保持在終值±5%（△=0.05）或±2%（△=0.02）內(nèi)所需要的最短時(shí)間。超調(diào)量σ

：指階躍響應(yīng)的最大值超出其穩(wěn)態(tài)值的部分。振蕩次數(shù)N：指c(t)穿越c(∞)水平線的次數(shù)的一半。

其中σ——平穩(wěn)性；N——阻尼性。

3)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)：

穩(wěn)態(tài)誤差ess：指響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值與期望值之差。系統(tǒng)控制精度（準(zhǔn)確性）或抗擾動(dòng)能力的一種度量。AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析3．2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析(1)一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

(2)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

微分方程式復(fù)域表達(dá)式（慣性環(huán)節(jié)）AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析即c(t)是單調(diào)上升的。

t

0

T2T

3T

4T

5T…c(t)

00.630.86

0.950.980.99…為描述方便，取t=nT,得下表根據(jù)此表數(shù)據(jù)，繪制出一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如下圖：分別計(jì)算t：0→∞時(shí)的c(t)值：有c(0)=c(t)∣t=0=0,…，c(∞)=c(t)∣t=∞=1AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析c(t)10t

T2T3T4T5T一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)從圖中可知:當(dāng)△=0.05時(shí)，ts

=3T

；

△=0.02時(shí)，ts

=4T

；結(jié)論：時(shí)間常數(shù)T

決定系統(tǒng)的慣性：由此可見

ts

是由T決定的。而

tp=0，σ

=0，N=0,td,tr

均可求得。

T越小，即系統(tǒng)慣性越小，過渡過程越快；T越大，即系統(tǒng)慣性越大，過渡過程越慢。

AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析

(3)一階系統(tǒng)的：單位脈沖響應(yīng)、單位斜坡響應(yīng)及單位加速度響應(yīng)參見教材P74-76。（分析方法同“單位階躍響應(yīng)”）3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析(1)二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

比如：RLC振蕩電路的微分模型為

一般化其中

二階系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)/秒

二階系統(tǒng)阻尼比或相對阻尼系數(shù)/(無量綱)

AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析一般式拉氏變換二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式其中

二階系統(tǒng)自然振蕩頻率或無阻尼振蕩頻率（弧度/秒）二階系統(tǒng)阻尼比(2)二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)與單位階躍響應(yīng)1)

二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)

由閉環(huán)特征式：

得：

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程有：（S1

，S2二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)）

AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析對應(yīng)于ζ

的不同取值，可以得到

s1，s2

在[s]平面上不同的分布。2)

二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

當(dāng)r(t)=1時(shí)

或R(s)=1/s

時(shí)，

有：

故其中而s1，s2是ζ和ωn的函數(shù)，顯然c(t)只與ζ

，ωn有關(guān)，即ζ

，ωn決定著c(t)的形式。分別討論如下：AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析①ζ

＞1時(shí)，（過阻尼）s1，s2

為一對不等的負(fù)實(shí)數(shù)根。

s1、s20j0jt②

ζ=1時(shí)，（臨界阻尼）s1，s2

為一對相等的負(fù)實(shí)數(shù)根。③0＜ζ

＜1時(shí)，（欠阻尼）s1，s2

為一對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根。AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析④當(dāng)ζ

=0時(shí)，（無阻尼，零阻尼）s1，s2

為一對幅值相等的虛根。

⑤當(dāng)ζ

＜0時(shí)，（負(fù)阻尼）s1，s2

為一對不等的正實(shí)部根。

小結(jié)：i）二階系統(tǒng)正常工作的基本條件是ζ＞0；而ζ＜0系統(tǒng)不穩(wěn)定；ii）當(dāng)ζ≥1時(shí)，其階躍響應(yīng)曲線是單調(diào)上升的（即非周期性的）；iii）當(dāng)0＜ζ＜1時(shí)，其階躍響應(yīng)曲線是振蕩衰減的（即具周期性）。AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析3）欠阻尼即0＜ζ＜1時(shí)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)動(dòng)態(tài)性能分析設(shè)r(t)=1，即則二階系統(tǒng)在時(shí)的單位階躍響應(yīng)式為：

AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析其中cosβ=ζ

即β=arccosζ(β

稱為阻尼角)分析：

由此可見，它為一振蕩衰減過程（指數(shù)衰減），振蕩頻率為ωd

。圖示如下：e(t)10tc(t)10tAutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析ii）e(t)及c(t)的衰減速度取決于ζ

ωn的大?。籭ii）t→∞時(shí)，e(∞)=0則c(∞)=1；iv）σ≠0,N≠0即存在超調(diào)和振蕩；σ即s1，s2的實(shí)部。亦即閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的距離；

ωd即s1，s2的虛部。亦即閉環(huán)極點(diǎn)到實(shí)軸的距離；ωn（自然振蕩頻率）：閉環(huán)極點(diǎn)到原點(diǎn)的距離;ζ=cosβ（β為阻尼角）：ωn

與負(fù)實(shí)軸夾角的余弦;v）σ、ωd、ωn、及ζ

、β的關(guān)系圖示如下:AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析

峰值時(shí)間

tp

：指響應(yīng)從0到達(dá)第一次峰值（最大值）時(shí)所需要的時(shí)間；由求c(t)極值的方法，即由c’(t)=0求得：jωdωnβσS1S20

6)性能指標(biāo)分析σ、ωd、ωn、及ζ

、β的關(guān)系圖上升時(shí)間tr：指響應(yīng)從0到第一次達(dá)到終值（穩(wěn)態(tài)值）時(shí)所需要的時(shí)間；所以AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析

調(diào)節(jié)時(shí)間

ts

：即過渡過程時(shí)間。指響應(yīng)到達(dá)并保持在終值±5%（△=0.05）或±2%（△=0.02）內(nèi)所需要的最短時(shí)間。在工程上，一般采用下列公式進(jìn)行估算：延遲時(shí)間td

：指響應(yīng)從0到第一次達(dá)到終值（穩(wěn)態(tài)值）的一半時(shí)所需要的時(shí)間；當(dāng)ζ≥0.7時(shí)：當(dāng)0＜ζ

＜0.7時(shí)：在工程上，一般采用下列公式進(jìn)行估算：具體求法參見教材P77。AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析超調(diào)量σ

：指階躍響應(yīng)的最大值超出其穩(wěn)態(tài)值的部分。

即

σ=[c(tp)－1]×100%

結(jié)論分析：根據(jù)定義，并因?yàn)閏(∞)=1，故有將代入后簡化得：

a)tr、tp、ts、td

與ωn

的關(guān)系（反比關(guān)系）；b)tp、td與ζ的關(guān)系（正比關(guān)系）；ts與ζ的關(guān)系（反比關(guān)系）.AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析

c)、σ與ζ的關(guān)系（反比關(guān)系）；ζ小時(shí)，系統(tǒng)的平穩(wěn)性差；ζ大時(shí)，系統(tǒng)的平穩(wěn)性好。3．欠阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位脈沖、斜坡及加速度響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能分析4．其他幾種阻尼情況下，各種典型信號響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能分析不要求。5．例題分析

例題1教材：P78例題3-1(欠阻尼)、P79例題3-2（臨界阻尼）。實(shí)際設(shè)計(jì)中，一般取ζ=0.4~0.8。其中以ζ=0.7時(shí)為最佳阻尼。AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析解因?yàn)槔}2

某單位反饋的二階系統(tǒng)，其單位階躍輸入下的系統(tǒng)響應(yīng)如下圖所示。確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G（s）。AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析例題3

某單位反饋系統(tǒng)如下圖所示，（1）確定系統(tǒng)特征參數(shù)ωn、ζ與其實(shí)際參數(shù)K、T的關(guān)系；（2）若K=16（rad/sec）、T=0.25sec，計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。R(s)C(s)解（1）、因?yàn)榕c二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式比較，可知（2）、當(dāng)K=16，T=0.25時(shí)所以AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析而因此補(bǔ)充練習(xí)題1

某單位反饋系統(tǒng)如下圖所示，要求系統(tǒng)具有15%的超調(diào)量和0.8秒的峰值時(shí)間：（1）確定系統(tǒng)參數(shù)K1、K2；（2）確定系統(tǒng)參數(shù)K1、K2

下，系統(tǒng)性能指標(biāo)tr、ts。R(s)C(s)(參考答案)AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析例題4

某單位反饋的二階系統(tǒng)，其單位階躍輸入下的系統(tǒng)響應(yīng)如下圖所示。確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G（s）。43解：由于穩(wěn)態(tài)值為3（不是1）即系統(tǒng)增益為3而不是1。此時(shí)，系統(tǒng)模型變?yōu)椋河捎谒訟utomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析

例題5

已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量σ％＝16.3％，峰值時(shí)間tp＝1s。試求：

(1)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)；

(2)閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(s)；

(3)根據(jù)已知性能指標(biāo)σ％及tp確定參數(shù)K及τ；解AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析即有又因?yàn)樗訟utomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析例題6、某控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，圖中G1(s)的單位階躍響應(yīng)為8/5（1-e-5t)，若r(t)＝20×1（t），求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出c（∞）、超調(diào)量σ％及過渡過程時(shí)間ts。解(或根據(jù)定義求取)AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析根據(jù)閉環(huán)特征式，有AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下。（1）已知G1(s)的單位階躍響應(yīng)為1-e-2t，試求G1(s)；（2）當(dāng)G1(s)=1/（s+2），且r（t）=10×1（t）時(shí)，求：①系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出；②系統(tǒng)的峰值時(shí)間tp，超調(diào)量σ%，調(diào)節(jié)時(shí)間ts；③概略繪制系統(tǒng)輸出響應(yīng)c（t）的曲線。補(bǔ)充練習(xí)題2

（例題6之同類例題）AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析例題7、巳知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為(1)求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；(2)確定系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95％所需的時(shí)間。(1)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可通過對系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)求拉氏變換得到，即(2)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)可通過對系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)求積分得到(教材Page30-31：傳遞函數(shù)性質(zhì)4)注解注若巳知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為g(t),則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為(因?yàn)閞(t-τ)=1):AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析所以，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95％所需的時(shí)間ts由下式?jīng)Q定解得（）(待定系數(shù)法)(其余同上)AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析6．二階系統(tǒng)性能的改善1)改善的目的：獲得滿意的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能，更好的控制效果。2)改善的辦法：（P83~88）①比例+微分（引入零點(diǎn)）：在前向通路中串一個(gè)PD控制環(huán)節(jié)；②采用測速反饋控制。3)PD控制與測速反饋控制兩種方案比較（見下頁附表）例題分析例題1

例如前述的補(bǔ)充練習(xí)題1、例題5等；

例題2

教材：P86例題3-5；AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析

性能指標(biāo)

方案

PD控制測速反饋控制阻尼比增大自然頻率不影響開環(huán)增益不影響降低穩(wěn)態(tài)誤差不影響影響超調(diào)量影響程度不同（大）（小）性能都能改善，但改善程度不同

適用場合由于其放大作用，在輸入端存在嚴(yán)重噪聲時(shí)，不宜采用對噪聲有濾波作用，使用廣泛附表：

PD控制與測速反饋控制兩種方案比較

AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析R(s)C(s)例題3

設(shè)控制系統(tǒng)如圖所示。試設(shè)計(jì)反饋通道傳遞函數(shù)H(s)，使系統(tǒng)阻尼比提高到希望的ζ1值，但要保持增益參數(shù)K及自然振蕩頻率ωn不變。解：由結(jié)構(gòu)圖得閉環(huán)傳遞函數(shù)根據(jù)題意要求，應(yīng)取H(s)=τs此時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為令解得故反饋通道傳遞函數(shù)為AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析3．4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、定義：能用三階或三階以上的微分方程描述的控制系統(tǒng)。2、分析方法：1）定性分析；2）主導(dǎo)極點(diǎn)法；3）計(jì)算機(jī)分析3主導(dǎo)極點(diǎn)與偶極子問題

①主導(dǎo)極點(diǎn)：在所有的閉環(huán)極點(diǎn)中，那些離虛軸最近、且附近又沒有其它零、極點(diǎn)，對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能影響起主導(dǎo)的決定性作用的閉環(huán)極點(diǎn)，稱之為主導(dǎo)極點(diǎn)。

主導(dǎo)極點(diǎn)法：利用主導(dǎo)極點(diǎn)代替系統(tǒng)全部閉環(huán)極點(diǎn)來估算系統(tǒng)性能的方法，稱為主導(dǎo)極點(diǎn)法。一般要求：5*∣Re[主導(dǎo)極點(diǎn)]∣＜∣Re[非主導(dǎo)極點(diǎn)或零點(diǎn)]∣。AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析

②

偶極子：當(dāng)一對閉環(huán)零、極點(diǎn)重合或它們之間的距離比較?。ㄋ鼈冎g的距離比其本身的模值小一個(gè)數(shù)量級以上）時(shí)便構(gòu)成偶極子。4、利用主導(dǎo)極點(diǎn)法系統(tǒng)性能指標(biāo)

利用主導(dǎo)極點(diǎn)法可以將高階系統(tǒng)化成低階（一階或二階系統(tǒng)來近似地對高階系統(tǒng)進(jìn)行等效分析。3．5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性1、穩(wěn)定的定義：若線性系統(tǒng)在初始擾動(dòng)影響下，其動(dòng)態(tài)過程能夠逐漸衰減并趨于零，即系統(tǒng)能回到原來的平衡工作點(diǎn)，則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。否則為不穩(wěn)定。2、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（P95）：系統(tǒng)的所有閉環(huán)特征根都具有負(fù)實(shí)部；或者系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均嚴(yán)格位于左半s平面。（ζ

＞0）

<說明如下>

AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析系統(tǒng)穩(wěn)定的“充要條件”的兩點(diǎn)說明：

1）若有部分閉環(huán)極點(diǎn)位于虛軸上，而其余極點(diǎn)分布在左半S平面時(shí)，系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)（ζ

=0）。2）若有一個(gè)或一個(gè)以上的閉環(huán)極點(diǎn)位于右半S平面時(shí)，則系統(tǒng)將處于不穩(wěn)定狀態(tài)（ζ

＜0）。3、穩(wěn)定性的判定1）三個(gè)穩(wěn)定判據(jù)

勞斯（Routh）判據(jù);<常用>

胡爾維茨（Hurwith）判據(jù);

林納德-奇帕特（Lienard-Chipard）判據(jù)a、前提：穩(wěn)定的充分必要條件（特征方程的根）；b、依據(jù)：根與系數(shù)的關(guān)系；c、方法：列（勞斯）表計(jì)算。AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析2)

Routh判據(jù)判定方法：根據(jù)勞斯表中第一列元素的符號來判定：若勞斯表中第一列元素的符號均嚴(yán)格為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若勞斯表中第一列元素的符號出現(xiàn)負(fù)號，則系統(tǒng)不穩(wěn)定；3）勞斯表的列寫

首先，將D（s）=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0的系數(shù)排成兩行：

sn

a0

a2

a4

a6…sn-1

a1

a3

a5

a7…其次，分步計(jì)算（空位置零），列寫勞斯表?！匆娤马摗?/p>

最后，根據(jù)勞斯表中第一列元素的符號來判定穩(wěn)定性。AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析sna0a2a4…sn-1a1a3a5…sn-2b1=(a1a2-a0a3)/a1

b2=(a1a4-a0a5)/a1

b3=(a1a6-a0a7)/a1

…sn-3c1=(b1a3-a1b2)/b1

c2=(b1a5-a1b3)/b1

c3=(b1a7-a1b4)/b1

…：………0S1x1

x200S0an

000勞斯(Routh)表若a0、a1、b1、c1、xn、an都嚴(yán)格為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若a0、a1、b1、c1、xn、an中出現(xiàn)負(fù)值，則系統(tǒng)不穩(wěn)定；此時(shí)，元素號改變的次數(shù)，恰好是具有正實(shí)部的閉環(huán)特征根個(gè)數(shù)。AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析4）勞斯表特殊情況處理①第一列元素出現(xiàn)“0”項(xiàng)（下面一項(xiàng)為∞）：在原特征方程D（s）=0中乘以一個(gè)任意的（s+a）因子，（a＞0），然后對新的特征方程D（s）（s+a）=0重新列寫勞斯表。勞斯表中出現(xiàn)全0行：以全0行上面那一行的系數(shù)建立一個(gè)輔助方程F（s）=0，并對其求導(dǎo)一次，再用F'（s）=0的系數(shù)代替全0行各元素，繼續(xù)列勞斯表。若系統(tǒng)存在正實(shí)部根，則可以由輔助方程F（s）=0求出一部分，其余的正實(shí)部根可以由D（s）/F（s）=0求得。AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析例題1

教材：P96例3-8(用勞斯判據(jù)驗(yàn)證)。解：由于得到特征方程為s32TK+1s2T+2Ks1(T+2)(K+1)-2TKT+20s0K0根據(jù)特征方程，列些勞斯表根據(jù)勞斯判據(jù)要求T>0,T+2>0,K>0及由于T與K互為條件，因此可以解得：以及AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析例題2

教材P98例3-9、P99例3-10、P100例3-11。

例題3設(shè)某線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為試用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性。s4135s3240s2150s1-600s0500由于勞斯表中第一列元素出現(xiàn)了“-6”，且“+”、“-”符號變化了兩次，說明系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部根。解：根據(jù)特征方程，列些勞斯表AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析例題4設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(1)試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。s315s26Ks1(30-K)/60s0K0解(1)根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)，得特征方程(2)若要求系統(tǒng)的閉環(huán)特征根均位于s=-0.1垂線之左邊，那么K應(yīng)該取什么值？并列些勞斯表如下:由勞斯表可知，K的取值范圍是：0<K<30(2)若要求系統(tǒng)的閉環(huán)特征根均位于s=－0.1垂線之左邊，可用z=s+0.1代替s做線性變換

，并將s=z－0.1代入原來的特征方程，得：再以該特征方程列些勞斯表，求得0.441<K<21.39AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析例題5設(shè)某線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為試求(1)

在[s]平面右半部分的根(正實(shí)部根)的個(gè)數(shù)(正實(shí)部根);(2)虛根。解（1）根據(jù)特征方程，列些勞斯表s6182016s521216s421216s300由于s3的對應(yīng)行的元素全為0，所以，利用其上面行的元素作為系數(shù)，構(gòu)成輔助方程：對其求導(dǎo)一次，得再以系數(shù)8和24取代s3

的對應(yīng)行的0元素，繼續(xù)列些勞斯表。AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析s6182016s521216s421216s3824s2616s12.67s016由于表中第一列元素全為正，所以，沒有特征根在[s]右半平面。（1）虛根虛根可由輔助方程求得，令解得AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析例題6、已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定使系統(tǒng)以2rad/sec的頻率持續(xù)振蕩的K和a的取值。系統(tǒng)特征方程為s31K+2s2aK+1s1（a-1）K+2a-1a0s0K+10列寫勞斯表解AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析考慮到系統(tǒng)以ωn=2等幅振蕩，用s2行的系數(shù)構(gòu)造輔助方程

F（s）=as2+K+1=0依題意，表中應(yīng)有全0行，故有聯(lián)立（1）、（2）解得a=0，K=－1和a=3/4，K＝2

將兩組解分別代入特征方程可知a=0，K=－1不符合題意。因此，使系統(tǒng)以2rad/sec的頻率持續(xù)振蕩的a=3/4，K＝2…（1）…（2）得即AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析例題7：已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)確定能使系統(tǒng)穩(wěn)定的反饋參數(shù)τ的取值范圍。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為R（S）

1+1/S1/S（S+1）τSC（S）閉環(huán)特征方程為：勞斯表為

s

311

s

21+τ1

s

1

τ/（1+τ）0

s

010根據(jù)表中第一列元素大于零的要求，可知

τ＞0AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析

例題8：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試確定能使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：s（0.1s+1）(0.25s+1)+K=0

s

30.0251

s20.35K

s1(0.35-0.025K)/0.350

s

0

K列寫勞斯表如下：根據(jù)表中第一列元素大于零的要求，有0.35-0.025K＞0及K＞0即：0.025s

3+0.35s

2+s+K=0故有0＜K＜14AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析例題9：某控制系統(tǒng)的特征方程為:

s

3+（λ+1）s

2+(λ+μ-1)s+μ-1=0式中λ、μ為待定參數(shù),試確定能使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)λ、μ的取值范圍。（提示：用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)可確定。參數(shù)λ、μ的取值范圍是λ＞0及μ＞1）

小結(jié)：

①系統(tǒng)的穩(wěn)定性只與本身結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，而與初始條件、外作用無關(guān)；②系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的閉環(huán)特征根（極點(diǎn)），而與零點(diǎn)無關(guān)。AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析3.6誤差分析與計(jì)算1、誤差的概念：在外作用下，系統(tǒng)的實(shí)際輸出與期望輸出之間的偏差。（1）誤差E（s）－G（s）H（s）R(s)E(s)C(s)B(s)系統(tǒng)的誤差又有兩種定義方法，分述如下：一種是，從輸出端定義：E（s）=R（s）－C（s）特點(diǎn)：容易測量。但由于信號的性質(zhì)可能不一樣，故不便于理論分析。有兩種描述方式，即誤差E（s）與穩(wěn)態(tài)誤差ess。AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析第二種，是從輸入端定義：E（s）=R（s）－B（s）這種的特點(diǎn)是：不容易測量，但便于理論分析。（教材以第二種為主）（2）穩(wěn)態(tài)誤差ess只有穩(wěn)定系統(tǒng)才討論穩(wěn)態(tài)誤差ess，并可應(yīng)用極限或終值定理求得。2系統(tǒng)的類型及穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算（1）系統(tǒng)的類型設(shè)某高階系統(tǒng)具有以下開環(huán)傳遞函數(shù)形式或者（極限法）（終值定理法）AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析其中：K——開環(huán)增益τi，Tj——時(shí)間常數(shù)υ——開環(huán)系統(tǒng)[s]平面坐標(biāo)原點(diǎn)上的重極點(diǎn)數(shù)。并定義系統(tǒng)：當(dāng)υ=0時(shí)為0型系統(tǒng)；

υ=1時(shí)為Ⅰ型系統(tǒng)；

υ=2時(shí)為Ⅱ型系統(tǒng)；……

υ=n

時(shí)為n

型系統(tǒng).（2）給定輸入下穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算①階躍信號輸入下穩(wěn)態(tài)誤差ess與靜態(tài)位置誤差系數(shù)KP的計(jì)算設(shè)r（t）=R·1（t）即R（s）=R/s

則有:AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析其中

KP

=K

υ=0相應(yīng)地，ess=R/（1+K）υ=0∞υ≥10υ≥1（靜態(tài)位置誤差系數(shù)）斜坡信號輸入下穩(wěn)態(tài)誤差ess與靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv的計(jì)算設(shè)r（t）=R·t,即R（s）=R/s2

則有:其中(靜態(tài)速度誤差系數(shù))AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析設(shè)r（t）=R·t2/2,即R（s）=R/s3

則有:

Ka

=0υ=0，1相應(yīng)地，ess=∞υ=0，1

K

υ=2R/K

υ=2∞υ≥30υ≥3

Kν

=0υ=0相應(yīng)地，

ess=∞υ=0

K

υ=1R/K

υ=1∞υ≥20υ≥2③加速度信號輸入下穩(wěn)態(tài)誤差ess與靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka的計(jì)算其中(靜態(tài)加速度誤差系數(shù))AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析小結(jié)：見P107附表3-5輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差注意：K——系統(tǒng)開環(huán)增益AutomaticControlTheory§3.線性系統(tǒng)時(shí)域分析