自動控制原理課件四根軌跡法（精品）

第4章根軌跡法4.1根軌跡法的概念4.2根軌跡方程4.3常規(guī)根軌跡及其繪制4.4廣義根軌跡及其繪制4.5按根軌跡分析控制系統(tǒng)4.6用MATLAB繪制根軌跡2023/1/131根軌跡的概念-10ImK:0~∞特征根：-0.5Re特征方程：閉環(huán)傳遞函數：．．．．．．

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對于高階系統(tǒng)，不能用特征方程求根的解析方法得到根軌跡。4.1根軌跡法的概念2023/1/132根軌跡：

開環(huán)系統(tǒng)的某一參數從0變?yōu)椤?/p>

時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在s平面上變化的軌跡根軌跡法：Evans提出〔1948年〕的一種由開環(huán)傳遞函數求閉環(huán)特征根的簡便方法；是分析與設計線性定?？刂葡到y(tǒng)的圖解方法。2023/1/133動態(tài)性能：-10ImRe-0.5K=0.25根軌跡與系統(tǒng)性能穩(wěn)定性：根軌跡若越過虛軸進入s右半平面，與虛軸交點處的k即為臨界增益。穩(wěn)態(tài)性能：根據坐標原點處的根數，確定系統(tǒng)的型次，同時可以確定對應的靜態(tài)誤差系數。特征方程的根

運動模態(tài)

系統(tǒng)動態(tài)響應（穩(wěn)定性、系統(tǒng)性能）開環(huán)傳遞函數在坐標原點有一個極點，系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，根軌跡上的K值就是靜態(tài)誤差系數。但是由開環(huán)傳遞函數繪制根軌跡，K是根軌跡增益，根軌跡增益與開環(huán)增益之間有一個轉換關系。過阻尼0<k<0.25單位階躍的響應為非周期過程。

臨界阻尼k=0.25單位階躍響應為非周期過程，響應過渡較快。欠阻尼k>0.25單位階躍響應為阻尼振蕩過程2023/1/134閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關系設控制系統(tǒng)如圖所示設：

：前向通路增益：前向通道根軌跡增益：反饋通道根軌跡增益2023/1/1352023/1/136結論：〔1〕閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益=開環(huán)前向通道系統(tǒng)根軌跡增益?！?〕閉環(huán)系統(tǒng)的零點由開環(huán)前向通道傳遞函數的零點和反響通道傳遞函數的極點所組成?！?〕閉環(huán)極點與開環(huán)零點、開環(huán)極點、根軌跡增益均有關。根軌跡法的任務：由的開環(huán)零極點和根軌跡增益，用圖解方法確定閉環(huán)極點。2023/1/137由閉環(huán)傳遞函數根軌跡方程GH特征方程根軌跡增益開環(huán)零點開環(huán)極點常數常數是什么？考慮：復平面上的點，特征方程的根，閉環(huán)極點4.2根軌跡方程2023/1/138模值條件（幅值條件）：根軌跡的幅值條件和相角條件根軌跡方程實質上為一向量方程相角條件（幅角條件）：（充分必要條件）開環(huán)有限零點到s的矢量輻角

開環(huán)極點到s的矢量輻角，逆時針為正

2023/1/139模值條件與相

角條件的應用-0.825ξ=0.466ωn=2.34s1=-0.825s2,3=-1.09±j2.07-1.09+j2.072.262.112.612.0722.26×2.11×2.612.072=6.006892.49o-66.27o-78.8o-127.53o=–180o-1.5-1-20.592.49o66.27o78.8o127.53o2023/1/1310模值方程與相角方程的應用S1=－1.5+j1.2553Lik*=0.2643.826θi39.91.82668.35.576147.91.82613.82621.826111.7160.3164.4k*=0.266180.3o2023/1/1311結論：根軌跡上的點一定滿足相角條件，且滿足相角條件的點一定在根軌跡上，即相角條件是確定根軌跡的重要條件。只有當需要確定根軌跡上各點的根軌跡增益時，才需使用模值條件。繪制根軌跡只需使用相角條件。2023/1/1312根軌跡的起點與終點；根軌跡的條數、連續(xù)性和對稱性；實軸上的根軌跡；根軌跡的漸近線；根軌跡在實軸上的別離點；根軌跡的起始角和終止角；根軌跡與虛軸的交點；根軌跡的走向法那么。通常，我們把以開環(huán)根軌跡增益為可變參數繪制的根軌跡叫做普通根軌跡〔或一般根軌跡〕。繪制普通根軌跡的根本規(guī)那么主要有8條：4.3常規(guī)根軌跡及其繪制2023/1/1313

根軌跡_特征方程：根軌跡方程：

輻值條件：

輻角條件：

由相角條件（條件）繪制出的根軌跡，稱根軌跡。變化參數為根軌跡增益。2023/1/1314規(guī)那么1：根軌跡的起點和終點又從證明：根軌跡方程：

2023/1/1315

下面分三種情況討論

1．當m=n時，即開環(huán)零點數與極點數相同時，根軌跡的起點與終點均有確定的值。2．當m<n時，即開環(huán)零點數小于開環(huán)極點數時，除有m條根軌跡終止于開環(huán)零點(稱為有限零點)外，還有n-m條根軌跡終止于無窮遠點(稱為無限零點)。3．當m>n時，即開環(huán)零點數大于開環(huán)極點數時，除有n條根軌跡起始于開環(huán)極點(稱為有限極點)外，還有m-n條根軌跡起始于無窮遠點(稱為無限極點)。這種情況在實際的物理系統(tǒng)中雖不會出現，但在參數根軌跡中，有可能出現在等效開環(huán)傳遞函數中。根軌跡方程：

2023/1/1316在實際系統(tǒng)通常是，那么還有條根軌跡終止于s平面的無窮遠處，這意味著在無窮遠處有個無限遠〔無窮〕零點。有兩個無窮遠處的終點有一個無窮遠處的起點2023/1/1317結論：根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點；如果開環(huán)極點數n大于開環(huán)零點數m，那么有n-m條根軌跡終止于s平面的無窮遠處(無限零點)，如果開環(huán)零點數m大于開環(huán)極點數n，那么有m-n條根軌跡起始于s平面的無窮遠處(無限極點)。2023/1/1318結論：根軌跡的分支數等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點數(n條〕。根軌跡是連續(xù)且對稱于實軸的曲線。規(guī)那么2：根軌跡的分支數、連續(xù)性和對稱性

系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益(實變量）與復變量s有一一對應的關系，當由零到無窮大連續(xù)變化時，描述系統(tǒng)特征方程根的復變量s在平面上的變化也是連續(xù)的，因此，根軌跡是n條連續(xù)的曲線。由于實際的物理系統(tǒng)的參數都是實數，假設它的特征方程有復數根，一定是對稱于實軸的共軛復根，因此，根軌跡總是對稱于實軸的。

根軌跡的分支數即根軌跡的條數。既然根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點）在S平面上的分布，那么，根軌跡的分支數就應等于系統(tǒng)特征方程的階數。根軌跡方程：

2023/1/1319分析：實軸上的根軌跡必須滿足繪制根軌跡的相角條件，即結論：假設實軸上某線段右側的開環(huán)零、極點的個數之和為奇數，那么該線段是實軸上的根軌跡。規(guī)那么3：實軸上的根軌跡選擇so作為試驗點。開環(huán)極點到s0點的向量的相角為開環(huán)零點到s0點的向量的相角為實軸上，s0點左側：實軸上，s0點右側：復平面上：p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j02023/1/1320系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數，試確定實軸上的根軌跡。[-1，-2]右側實零、極點數=3。[-4，-6]右側實零、極點數=7。2023/1/1321規(guī)那么4：根軌跡的漸近線當開環(huán)極點數n大于開環(huán)零點數m時，系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于S平面的無窮遠處，這n-m條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線，因此，浙近線也有n-m條，且它們交于實軸上的一點。這些根軌跡分支趨向無窮遠的漸近線由與實軸的夾角和交點來確定。則由輻角條件有：假設在無窮遠處特征根，S平面上所有零、極點到的矢量幅角都相等，為分析：2023/1/1322由輻值條件：

假設在無窮遠處特征根，S平面上所有零、極點到的矢量長度都相等即相當于：所有開環(huán)零、極點都匯集在一起，其位置為，即漸進線的交點2023/1/1323與實軸夾角與實軸交點結論：根軌跡的漸近線n-m條注：1.2.與實軸交點必定在實軸上3.計算與實軸交點時，只考慮開環(huán)零、極點的實部即可2023/1/1324例：設單位負反響系統(tǒng)的前向傳遞函數為〔2〕有4條根軌跡的分支，對稱于實軸〔1〕解：（4）有n-m=4-1=3條根軌跡漸近線與實軸夾角與實軸交點-4-3-2-10（3）實軸上的根軌跡：°60°180°-602023/1/1325兩條或兩條以上的根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點稱為別離點〔會合點〕。規(guī)那么5：根軌跡的別離點-10ImRe-0.5K=0.25當系統(tǒng)開環(huán)增益K

由零到無窮大變化時，兩條根軌跡先在實軸上相向運動,相遇在點(-0.5,j0)，當K＞0.25后，離開實軸進入s平面，且離開實軸時，根軌跡與實軸正交。我們稱該點為根軌跡的分離點。實際上,分離點是系統(tǒng)特征方程的等實根。一般，常見的根軌跡分離點是位于實軸上兩條根軌跡分支的分離點。2023/1/1326假設根軌跡位于實軸上兩個相鄰的開環(huán)極點之間〔其中一個可以是無限極點〕，那么在這兩個極點之間至少存在一個別離點；假設根軌跡位于實軸上兩個相鄰的開環(huán)零點之間〔其中一個可以是無限零點〕，那么在這兩個零點之間也至少有一個別離點。別離點也可能以共軛形式成對出現在復平面上，顯然，復平面上的別離點說明系統(tǒng)特征方程的根中至少有兩對相等的共軛復根存在。實軸上根軌跡的別離點復平面上的別離點2023/1/1327根軌跡的別離點，實質上就是系統(tǒng)特征方程的等實根(實軸上的別離點)或等共軛復根(復平面上的別離點)。特征方程：根軌跡方程：

_分離點方程：結論1：2023/1/1328別離點既為根軌跡的交點，它必為閉環(huán)特征方程的重根。故可由特征方程和對特征方程求導聯解得出。由根軌跡方程：所以閉環(huán)特征方程式為：或〔1〕2023/1/1329對上式求導可得：〔2〕〔3〕2023/1/1330由于式〔3〕變?yōu)椋骸?〕從上式中解出s,即為別離點d。2023/1/1331系統(tǒng)的特征方程可寫成分離點方程對于一個n階系統(tǒng)，可能得到n-1個根，只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的別離點。假設在這些根中有共軛復根，如何判斷是否在根軌跡上，是一個比較復雜的問題，由于只有當開環(huán)零、極點分布非常對稱時，才會出現復平面上的別離點.因此，用觀察法可大體上判斷，然后將其代入特征方程中驗算，即可確定。分離點方程的另一種形式：當開環(huán)系統(tǒng)無有限零點時，則分離點方程為結論3：分離點也是取最值的點(注：試探法的依據)結論2：2023/1/1332別離角：結論3：當有2條根軌跡分支進入并離開分離點時，分離角為：別離點上的根軌跡的切線方向與實軸正方向的夾角2023/1/1333例：繪制單位負反饋系統(tǒng)的根軌跡〔2〕根軌跡分支數為3條，有三個無窮遠的零點。（3）實軸上根軌跡（1）解：（4）漸近線：（5）分離點方法一：方法二：gg-3-2-10swj[s]∞K∞K2023/1/1334〔2〕根軌跡分支數為3條，有兩個無窮遠的零點。（3）實軸上根軌跡例：繪制單位負反饋系統(tǒng)的根軌跡（1）解：（4）漸近線：（5）分離點（用試探法求解）2023/1/1335試探法求解別離點特征方程：由分析知分離點一定在上-2.5-2.1-2.8-2.6-2.40.4160.1710.2490.390.411-2.5-2.46-2.47-2.48-2.40.4160.418530.418550.41820.4112023/1/1336例:設單位負反響系統(tǒng)的傳遞函數為試繪制系統(tǒng)的根軌跡。解：(1)根軌跡分支數為2條，有一個無窮遠的零點。(2)實軸上根軌跡(3)漸近線：(4)分離點(5)由相角條件可以證明復平面上的根軌跡是圓的一部分，圓心為（-2，j0)，半徑為2023/1/1337規(guī)那么6：根軌跡的起始角(出射角)與終止角(入射角)當開環(huán)傳遞函數中有復數極點或零點時，根軌跡是沿著什么方向離開開環(huán)復數極點或進入開環(huán)復數零點的呢？

⑴出射角根軌跡離開開環(huán)復數極點處在切線方向與實軸正方向的夾角。

⑵入射角根軌跡進入開環(huán)復數零點處的切線方向與實軸正方向的夾角。-2023/1/1338

對于根軌跡上無限靠近p1的點A，由相角條件可得

由于A點無限靠近點，

結論：⑴出射角

⑵入射角

-[s]swj1z2p3p0A2023/1/1339例：2023/1/1340-22023/1/1341-1-2108.5°90°59°37°19°56.5°2023/1/134290°121°153°199°63.5°117°2023/1/1343-22023/1/1344規(guī)那么7：根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的交點就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根〔實部為零〕。這時，用代入特征方程求得。也可用勞斯判據確定。解：其特征方程是令并代入特征方程得其虛部和實部方程分別為例：繪制單位負反響系統(tǒng)的根軌跡wj[s]1p2p3p-1-2-30∞gKds∞gK2023/1/1345wj[s]1p2p3p-1-2-30)60(3.3=gKj∞gKds∞gK)60(3.3=gK-j2023/1/1346例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為

試繪制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。（3）實軸上根軌跡（1）解：（4）漸近線：〔2〕根軌跡分支數為3條，有三個無窮遠的零點。（5）分離點-2-10swj[s]gg∞K∞K（6）與虛軸交點2023/1/1347（2）實軸上根軌跡（1）解：（3）漸近線：例：（4）分離點（5）出射角2023/1/1348〔6〕與虛軸的交點運用勞斯判據由第一列、第四三行元素為零由輔助方程j1.095-j1.0952023/1/1349閉環(huán)極點之和、閉環(huán)極點之積與根軌跡分支的走向規(guī)那么8：根軌跡走向法那么為閉環(huán)特征方程的根2023/1/1350假設開環(huán)傳遞函數的積分環(huán)節(jié)個數結論：〔1〕假設n-m2，閉環(huán)極點之和=開環(huán)極點之和=常數。說明：在某些根軌跡分支〔閉環(huán)極點〕向左移動，而另一些根軌跡分支〔閉環(huán)極點〕必須向右移動，才能維持閉環(huán)極點之和為常數?！?〕對于1型以上〔包括1型〕的系統(tǒng)，閉環(huán)極點之積與開環(huán)增益值成正比。2023/1/1351（2）實軸上根軌跡（1）解：（3）漸近線：例：（4）分離點（5）出射角（6）與虛軸交點2023/1/1352

繪制根軌跡的一般步驟有了以上繪制根軌跡的根本法那么，在系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(開環(huán)傳遞函數)的情況下，利用這些根本法那么，就可以迅速準確地確定出根軌跡的主要特征和大致圖形。如果需要，再利用根軌跡方程的相角條件。利用試探法確定假設干點，就可以繪制出準確的根軌跡。繪制根軌跡的一般步驟為：2023/1/1353根據給定的開環(huán)傳遞函數，求出開環(huán)零、極點，并將它們標在復平面上；確定根軌跡的分支數及趨于無窮遠處根軌跡的條數；確定實軸上的根軌跡；確定根軌跡的別離點(會合點)，并計算別離角；計算根軌跡的出射角和入射角；確定根軌跡與虛軸的交點；2023/1/1354大體繪出根軌跡的概略形狀；利用對稱性畫出上、下復平面的根軌跡；利用閉環(huán)特征根之和、之積的性質估計根軌跡的走向；利用相角條件試探確定根軌跡上某些點；某些系統(tǒng)在復平面上的根軌跡為圓或圓的一局部時，求出圓心和半徑。必要時，對根軌跡進行修正，以畫出系統(tǒng)精確根軌跡。2023/1/1355例1假設系統(tǒng)的結構圖為：試繪制系統(tǒng)的概略根軌跡。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為：2023/1/1356開環(huán)零點：開環(huán)極點：實軸上的根軌跡：漸近線：1條，負實軸方向分離點：分離角：畫出根軌跡如圖所示，在復平面上，有一部分根軌跡為一圓，其圓心為（-1，j0)

，半徑為2023/1/1357-0.2-1-22023/1/1358例2單位負反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：試繪制系統(tǒng)的根軌跡。解：由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數得：2023/1/1359開環(huán)零點：，開環(huán)極點：將它們標注于復平面上；實軸上的根軌跡：漸近線：條2023/1/1360時，時，時，起始角：根軌跡與虛軸的交點：2023/1/1361系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為：將代入上式，整理可得：聯立求解得：2023/1/1362畫出概略根軌跡如下圖：-1-2-32023/1/1363自動控制系統(tǒng)的根軌跡

〔3〕根軌跡的別離點二階系統(tǒng)

設二階系統(tǒng)的結構圖如下圖。〔1〕有二個開環(huán)極點〔起點〕，。有二個開環(huán)無限零點〔終點〕（2）實軸上的根軌跡（4）根軌跡的漸近線2023/1/1364開環(huán)具有零點的二階系統(tǒng)

二階系統(tǒng)增加一個零點時，系統(tǒng)結構圖如下圖，它的開環(huán)傳遞函數為由相角條件可以證明復平面上的根軌跡是圓的一局部，圓心為〔-1，j0)，半徑為2023/1/1365不難發(fā)現，由兩個開環(huán)極點〔實極點或復數極點〕和一個開環(huán)實零點組成的二階系統(tǒng)，只要實零點沒有位于兩個實極點之間，當開環(huán)根軌跡增益由零變到無窮大時，復平面上的閉環(huán)根軌跡，是以實零點為圓心，以實零點到別離點的距離為半徑的一個圓〔當開環(huán)極點為兩個實極點時〕或圓的一局部〔當開環(huán)極點為一對共軛復數極點時〕。這個結論在數學上的嚴格證明可參照本例進行。2023/1/1366三階系統(tǒng)二階系統(tǒng)附加一個極點的系統(tǒng)的結構圖如下圖。它的開環(huán)傳遞函數為別離點漸近線與虛軸交點2023/1/1367二階系統(tǒng)中增加一個極點，一個零點后系統(tǒng)的結構圖如下圖，它的開環(huán)傳遞函數為

開環(huán)具有零點的三階系統(tǒng)漸近線2023/1/1368具有復數極點的四階系統(tǒng)結構圖如下圖。它的開環(huán)傳遞函數為出射角漸近線與虛軸交點2023/1/13692023/1/13702023/1/1371廣義根軌跡是指除了一般根軌跡之外的所有根軌跡。如參數根軌跡，具有正反響內環(huán)的零度根軌跡等。參數根軌跡以非開環(huán)增益為可變參數繪制的根軌跡引入等效開環(huán)傳遞函數的概念等效開環(huán)傳遞函數注意：在此的等效意義是在特征方程相同，或者是閉環(huán)極點相同的前提下成立；而此時閉環(huán)零點是不同的。4.4廣義根軌跡及其繪制2023/1/1372例：求以參數為變量，為常數的根軌跡。解：一、求等效開環(huán)傳遞函數等效開環(huán)傳遞函數2023/1/1373〔1〕（2）實軸上根軌跡解：（3）漸近線：（4）分離點不難證明：復平面上的根軌跡為圓的一部分（圓心：原點，半徑）思考：要使系統(tǒng)工作在欠阻尼情況下，應取何值？2023/1/1374其中開環(huán)增益可自行選定。試繪制參數根軌跡，并分析時間常數對系統(tǒng)性能的影響。例：設單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為解：閉環(huán)特征方程2023/1/1375等效開環(huán)極點注：假設分母多項式為高次時，無法解析求解等效開環(huán)極點，那么運用根軌跡法求解。如本例，求解分母特征根的根軌跡方程為：在本例中，K可自行選定，選定不同K值，然后將W1(s)的零、極點畫在s平面上，在令繪制出變化時的參數根軌跡。等效開環(huán)傳遞函數2023/1/13762023/1/1377在一些復雜系統(tǒng)中，包含了正反響內回路，有時為了分析內回路的特性，那么有必要繪制相應的根軌跡，其相角條件為在一些非最小相位系統(tǒng)中相角條件為具有這類相角條件的相軌跡稱為：零度根軌跡零度根軌跡以具有正反響內回路的的系統(tǒng)為例。具有正反響內回路系統(tǒng)如下圖，外回路是采用負反響加以穩(wěn)定，為了分析整個系統(tǒng)的性能，通常首先要確定內回路的零、極點，這就相當于繪制具有正反響系統(tǒng)的根軌跡。2023/1/1378零度根軌跡的繪制+特征方程：根軌跡方程：

輻值條件：

輻角條件：

由相角條件〔條件〕繪制出的根軌跡，稱根軌跡。變化參數為根軌跡增益。2023/1/1379與常規(guī)根軌跡的相角條件和模值條件相比：模值條件沒有變化。零度根軌跡的繪制規(guī)那么只要考慮相角條件所引起的某些規(guī)那么的修改輻值條件：

輻角條件：

規(guī)那么3：實軸上的根軌跡假設實軸的某一個區(qū)域是一局部根軌跡，那么必有：其右邊〔開環(huán)實數零點數+開環(huán)實數極點數〕為偶數。2023/1/1380規(guī)那么6：根軌跡的出射角入射角出射角：入射角：與實軸夾角規(guī)那么4：漸近線的夾角2023/1/1381例：設具有正反響回路系統(tǒng)的內回路傳遞函數分別為試繪制該回路的根軌跡圖。解：（1）（2）實軸上的根軌跡（-，-3]，[-2，）。（3）漸近線（5）出射角〔4〕別離點2023/1/1382〔6〕確定臨界開環(huán)增益顯然根軌跡過坐標原點，坐標原點對應的開環(huán)增益為2023/1/1383如果閉環(huán)系統(tǒng)的零點是的，于是可以根據閉環(huán)系統(tǒng)零、極的位置以及的輸入信號，分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性。在根軌跡上確定特征根根據值，在根軌跡上確定特征根的位置時，可以采用試探法,采用這種方法往往要試探幾次才有結果，比較麻煩。其實，對于有的系統(tǒng)，可以先在實軸上選擇試點，找出實根以后，再去確實復數根，這樣簡便得多。下面舉例說明這種方法。4.5按根軌跡分析控制系統(tǒng)2023/1/1384根據值，通常用試探法先確定在實軸上的特征根，然后確定其它的特征根。對于特定的值下的特征根，可以借助根軌跡圖用模值條件確定例：系統(tǒng)的結構圖如圖所示，開環(huán)傳遞函數為

試確定的特征根。2023/1/1385根據的開環(huán)傳遞函數，

可得閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式由圖可知，在區(qū)間上有根軌跡。1.作出根軌跡根據根軌跡走向法那么得2.求實根由幅值條件有：用試探法得：3.求復根令〔也可用作圖法:做垂線〕2023/1/1386用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性

由根軌跡求出閉環(huán)系統(tǒng)極點和零點的位置后，就可以按第三章所介紹的方法來分析系統(tǒng)的暫態(tài)品質。

2023/1/13872023/1/1388開環(huán)零點對系統(tǒng)根軌跡的影響

增加開環(huán)零點將引起系統(tǒng)根軌跡形狀的變化，因而影響了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其瞬態(tài)響應性能，下面以三階系統(tǒng)為例來說明。設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為如果在系統(tǒng)中增加一個開環(huán)零點，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數變?yōu)?023/1/1389下面來研究開環(huán)零點在以下三種情況下系統(tǒng)的根軌跡。2023/1/1390

可見，增加開環(huán)零點將使系統(tǒng)的根軌跡向左彎曲，并在趨向于附加零點的方向發(fā)生變形。如果設計得當，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和瞬態(tài)響應性能指標均可得到顯著改善。在隨動系統(tǒng)中串聯超前網絡校正，在過程控制系統(tǒng)中引入比例微分調節(jié)，即屬于此種情況。結論：只有當附加零點相對原有系統(tǒng)開環(huán)極點的位置選配適當，才有可能使系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能同時得到明顯的改善。從以上三種情況來看，一般第二種情況比較理想，這時系統(tǒng)具有一對共軛復數主導極點，其