化高階方程為一階方程組

化高階方程為一階方程組5.1化任意正規(guī)型微分方程和方程組為一階正規(guī)型微分方程組在第一章中，我們給出了微分方程的階和解等概念，這些概念可以對方程組類似的加以定義。先從兩個未知函數(shù)的情形說起，這時方程組的一般形式是

（）其中x是自變量，y和z是未知函數(shù)，F(xiàn)和G是它們所依賴的m+n+1個變量的已知函數(shù)。出現(xiàn)在方程中的未知函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方程組（）關(guān)于y的階。未知函數(shù)z的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方程組（）關(guān)于z的階。而m+n則稱為方程組（）的階。函數(shù)組稱為方程組（）在區(qū)間I上的解，如果它們在I上有定義，具有從1到m階導(dǎo)數(shù)，具有從1到n對所有成立。類似地可以定義含而出現(xiàn)在方程組中的的導(dǎo)數(shù)的最高階，則階導(dǎo)數(shù)，并且能使三個和更多個未知函數(shù)的微分方程組的解。如果方程組中的未知函數(shù)為數(shù)為則稱為方程組關(guān)于的階，

而稱為方程組的階。對于方程組（），初值問題或Cauchy問題的提法是，任意給定初始條件求方程（）滿足這個條件的解。這里和一個方程的情形一樣，關(guān)于每個未知函數(shù)的初始條件的個數(shù)必須正好等于方程組關(guān)于這個未知函數(shù)的階數(shù)。（）關(guān)于含有任意多個未知函數(shù)的方程組的初值問題或Cauchy問題的提法也可以類推。

從關(guān)系式（）中就最高階導(dǎo)數(shù)解出所得到的方程組

稱為正規(guī)型微分方程組，這里f和g都是它們所依賴的m+n+1個變量的已知函數(shù)。形為（）的方程組稱為隱形微分方程組（）關(guān)于正規(guī)性方程（組）和隱形方程（組）的說法對于含有任意多個未知函數(shù)的微分方程組也是適用的。以后我們將著重研究含有n個未知函數(shù)的n個一階常微分方程構(gòu)成的常微分方程組，如果已經(jīng)就解出，則它的一般形式是

或

（）

（）對于正規(guī)型微分方程

（）（）如果令則它與下面的微分方程組等價

的形如（）的正規(guī)型（）顯然方程組（）是一個含有未知函數(shù)微分方程組。這里等價的意義是，如果是方程（）在區(qū)間I上的解，令

則顯然有

這表明是方程組（）在區(qū)間I上的解。（）

（）

反之，設(shè)是方程組（）在區(qū)間I上的解。于是關(guān)系式（）在I上恒成立。由此關(guān)系式的前n-1個式子，首先看出函數(shù)滿足（），在由此及（）的最后一個式子，得出

這表明是方程組（）在區(qū)間I上的解。

類似地，含有n個未知函數(shù)的高階微分方程組，總可以化成形如（）的一階微分方程組。以兩個未知函數(shù)的（）為例，與其等價的一階微分方程組是

（）根據(jù)上述的等價性，任意一個正規(guī)型微分方程或微分方程組的研究都可以化為形如（）的正規(guī)型微分方程組的研究。其中系數(shù)上都是連續(xù)的已知函數(shù)。采用矩陣和向量記號

則可以將（）寫成向量形式

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