高等數(shù)學(xué)北大版無窮小量和微分_第1頁
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文檔簡介

無窮小量的比較:都是無窮小,引例.但可見無窮小量趨于0的速度是多樣的.定義.若若若若若或設(shè)

是自變量同一變化過程中的無窮小量,記作則稱是比

高階的無窮小量,記作則稱是比低階的無窮小量;則稱與為同階無窮小量;則稱是關(guān)于

的k階無窮小量;則稱是

的等價(jià)無窮小量,例1～～例2

當(dāng)時(shí)，

例4時(shí)，當(dāng)是的三階無窮小量.因?yàn)樗?/p>

時(shí)，當(dāng)是的三階無窮小量.故時(shí)是關(guān)于x的二階無窮小量,且例3～設(shè)

,

對同一自變量的變化過程為無窮小,且是的高階無窮小是的低階無窮小是的同階無窮小是的等價(jià)無窮小是的k階無窮小無窮小的比較小結(jié)無窮小量與無窮大量的關(guān)系若為無窮大量,為無窮小量;若為無窮小量,且則則(自證)當(dāng)時(shí)，為無窮大量.據(jù)此結(jié)論,關(guān)于無窮大量的問題都可轉(zhuǎn)化為無窮小量來討論.說明:2.微分的概念我們考察量這時(shí)，當(dāng)時(shí)也是無窮小量.于是得到可以寫成

由此可見，當(dāng)很小時(shí)，可以用近似地代替.

以上是在在點(diǎn)可導(dǎo)的條件下進(jìn)行討論的.如果不考慮可導(dǎo)這個條件，即，當(dāng)在點(diǎn)可導(dǎo)時(shí)，函數(shù)值的改變量何時(shí)在處的改變量可以寫成

其中為常數(shù).根據(jù)前面的討論，當(dāng)在點(diǎn)可導(dǎo)時(shí)，上式成立，且反過來，假定上式成立，上式兩邊同除以，并令取極限，得

可見，函數(shù)在可導(dǎo)，且定義:的微分,若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為(A

為不依賴于△x的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即

函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是即在點(diǎn)可微,微分是函數(shù)改變量的線性主要部分.微分概念的意義：關(guān)于的線性主部高階無窮小時(shí)為因此，當(dāng)很小時(shí)，因此例6例

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