必修直線的傾斜角與斜率

會(huì)計(jì)學(xué)1必修直線的傾斜角與斜率

笛卡兒1596年3月31日生于法國(guó)土倫省萊耳市的一個(gè)貴族之家，1650年2月11日卒于斯德哥爾摩。笛卡兒生平

笛卡兒的父親是布列塔尼地方議會(huì)的議員，同時(shí)也是地方法院的法官,笛卡兒在豪華的生活中無(wú)憂無(wú)慮地度過(guò)了童年。他幼年體弱多病，母親病故后就一直由一位保姆照看。他對(duì)周?chē)氖挛锍錆M了好奇，父親見(jiàn)他頗有哲學(xué)家的氣質(zhì)，親昵地稱他為“小哲學(xué)家”。

父親希望笛卡兒將來(lái)能夠成為一名神學(xué)家，于是在笛卡兒八歲時(shí)，便將他送入拉弗萊什的耶穌會(huì)學(xué)校，接受古典教育。校方為照顧他的孱弱的身體，特許他可以不必受校規(guī)的約束，早晨不必到學(xué)校上課，可以在床上讀書(shū)。因此，他從小養(yǎng)成了喜歡安靜，善于思考的習(xí)慣。第1頁(yè)/共26頁(yè)解析幾何的誕生

在笛卡兒所處的時(shí)代，代數(shù)還是一門(mén)比較新的科學(xué)，幾何學(xué)的思維還在數(shù)學(xué)家的頭腦中占有統(tǒng)治地位。1637年，笛卡兒發(fā)表了《幾何學(xué)》，它確定了笛卡兒在數(shù)學(xué)史上的地位。

文藝復(fù)興使歐洲學(xué)者繼承了古希臘的幾何學(xué)，也接受了東方傳入的代數(shù)學(xué)。利學(xué)技術(shù)的發(fā)展，使得用數(shù)學(xué)方法描述運(yùn)動(dòng)成為人們關(guān)心的中心問(wèn)題。笛卡兒分析了幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn)，表示要去“尋求另外一種包含這兩門(mén)科學(xué)的好處，而沒(méi)有它們的缺點(diǎn)的方法”。

在《幾何學(xué)》卷一中，他用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來(lái)確定點(diǎn)的距離，用坐標(biāo)來(lái)描述空間上的點(diǎn)。他進(jìn)而創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，表明了幾何問(wèn)題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過(guò)代數(shù)變換來(lái)實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。第2頁(yè)/共26頁(yè)

笛卡兒把幾何問(wèn)題化成代數(shù)問(wèn)題，提出了幾何問(wèn)題的統(tǒng)一作圖法。為此，他引入了單位線段，以及線段的加、減、乘、除、開(kāi)方等概念，從而把線段與數(shù)量聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)線段之間的關(guān)系，“找出兩種方式表達(dá)同一個(gè)量，這將構(gòu)成一個(gè)方程”，然后根據(jù)的解所表示的線段間的關(guān)系作圖。

在卷二中，笛卡兒用這種新方法解決帕普斯問(wèn)題時(shí)，在平面上以一條直線為基線，為它規(guī)定一個(gè)起點(diǎn)，又選定與之相交的另一條直線，它們分別相當(dāng)于x軸、原點(diǎn)、y軸，構(gòu)成一個(gè)斜坐標(biāo)系。那么該平面上任一點(diǎn)的位置都可以用(x,y)惟一地確定。帕普斯問(wèn)題就化成了一個(gè)含兩個(gè)未知數(shù)的二次不定方程。笛卡兒指出，方程的次數(shù)與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，因此可以根據(jù)方程的次數(shù)將曲分類(lèi)。第3頁(yè)/共26頁(yè)

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)用坐標(biāo)表示，直線如何表示呢？問(wèn)題引入xyOlP（x，y）

為了用代數(shù)方法研究直線的有關(guān)問(wèn)題，首先探索確定直線位置的幾何要素，然后在坐標(biāo)系中用代數(shù)方法把這些幾何要素表示出來(lái)．問(wèn)題第4頁(yè)/共26頁(yè)

對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線l，它的位置由哪些條件確定？問(wèn)題引入問(wèn)題xyOl第5頁(yè)/共26頁(yè)

我們知道，兩點(diǎn)確定一條直線．一點(diǎn)能確定一條直線的位置嗎？已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，直線l的位置能夠確定嗎？問(wèn)題引入問(wèn)題xyOll’l’’P第6頁(yè)/共26頁(yè)

過(guò)一點(diǎn)P可以作無(wú)數(shù)條直線l1，l2

，l3

，…它們都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P

（組成一個(gè)直線束），這些直線區(qū)別在哪里呢？問(wèn)題xyOll’l’’P問(wèn)題引入第7頁(yè)/共26頁(yè)

容易看出，它們的傾斜程度不同．怎樣描述直線的傾斜程度呢？問(wèn)題xyOll’l’’P問(wèn)題引入第8頁(yè)/共26頁(yè)

當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角（angleofinclination）．xyOl

當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為.直線的傾斜角的取值范圍為：直線的傾斜角第9頁(yè)/共26頁(yè)

直線的傾斜程度與傾斜角有什么關(guān)系？

平面直角坐標(biāo)系中每一條直線都有確定的傾斜角，傾斜程度不同的直線有不同的傾斜角，度相同的直線其傾斜角相同．

傾斜程xyOl

已知直線上的一個(gè)點(diǎn)不能確定一條直線的位置；同樣已知直線的傾斜角α．也不能確定一條直線的位置．但是，直線上的一個(gè)點(diǎn)和這條直線的傾斜角可以唯一確定一條直線．直線的傾斜角第10頁(yè)/共26頁(yè)

確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：

直線上的一個(gè)定點(diǎn)以及它的傾斜角，二者缺一不可．確定直線的要素xyOlP第11頁(yè)/共26頁(yè)

日常生活中，還有沒(méi)有表示傾斜程度的量？前進(jìn)量升高量問(wèn)題問(wèn)題引入第12頁(yè)/共26頁(yè)問(wèn)題前進(jìn)升高例如，“進(jìn)2升3”與“進(jìn)2升2”比較，前者更陡一些，因?yàn)槠露龋ū龋﹩?wèn)題引入第13頁(yè)/共26頁(yè)通常用小寫(xiě)字母k表示，即

一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率（slope）.

傾斜角是的直線有斜率嗎？

傾斜角是的直線的斜率不存在．直線的斜率如果使用“傾斜角”這個(gè)概念，那么這里的“坡度（比）”實(shí)際就是“傾斜角α的正切”．第14頁(yè)/共26頁(yè)

如：傾斜角時(shí)，直線的斜率當(dāng)為銳角時(shí)，如：傾斜角為時(shí)，由即這條直線的斜率為直線的斜率傾斜角α不是90°的直線都有斜率，并且傾斜角不同，直線的斜率也不同．因此，可以用斜率表示直線的傾斜程度．第15頁(yè)/共26頁(yè)已知直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，如何計(jì)算直線的斜率？?jī)牲c(diǎn)的斜率公式問(wèn)題

給定兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），并且x1≠x2，如何計(jì)算直線P1P2的斜率k．第16頁(yè)/共26頁(yè)當(dāng)為銳角時(shí)，在直角中

設(shè)直線P1P2的傾斜角為α（α≠90°），當(dāng)直線P1P2的方向（即從P1指向P2的方向）向上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P1作x軸的平行線，過(guò)點(diǎn)P2作y軸的平行線，兩線相交于點(diǎn)Q，于是點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y1

）．兩點(diǎn)的斜率公式第17頁(yè)/共26頁(yè)當(dāng)為鈍角時(shí)，在直角中兩點(diǎn)的斜率公式第18頁(yè)/共26頁(yè)

同樣，當(dāng)?shù)姆较蛳蛏蠒r(shí)，也有兩點(diǎn)的斜率公式第19頁(yè)/共26頁(yè)1．已知直線上兩點(diǎn)，運(yùn)用上述公式計(jì)算直線斜率時(shí)，與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序有關(guān)嗎？無(wú)關(guān)兩點(diǎn)的斜率公式思考2．當(dāng)直線平行于y軸，或與y軸重合時(shí)，上述斜率公式還適用嗎？為什么？不適用第20頁(yè)/共26頁(yè)

當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，上述式子還成立嗎？為什么？

經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式為：兩點(diǎn)的斜率公式思考成立第21頁(yè)/共26頁(yè)

例1如圖，已知，求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．解：直線AB的斜率直線BC的斜率直線CA的斜率

由及知，直線AB與CA的傾斜角均為銳角；由知，直線BC的傾斜角為鈍角．典型例題第22頁(yè)/共26頁(yè)

例2在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且斜率分別為1，-1，2及-3的直線及．即

解：取上某一點(diǎn)為的坐標(biāo)是，根據(jù)斜率公式有:

設(shè)，則，于是的坐標(biāo)是．