第3章 諧振荷載反應(yīng)課件

第三章高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)諧振荷載反應(yīng)§3.1

無阻尼體系§3.2粘滯阻尼體系§3.3共振反應(yīng)§3.4加速度計(jì)與位移計(jì)§3.5隔振§3.6粘滯阻尼比的計(jì)算§3.7單自由度體系總結(jié)第三章諧振荷載反應(yīng)無阻尼體系在諧振荷載下的運(yùn)動(dòng)方程(3-2)通解為(3-8)荷載頻率與自由振動(dòng)頻率比初始條件得(3-10)§3.1無阻尼體系§3.1無阻尼體系反應(yīng)比：動(dòng)力的與靜止的荷載作用反應(yīng)比值圖3-1從靜止初始條件開始正弦波激勵(lì)所引起的反應(yīng)比（a）穩(wěn)態(tài)；（b）瞬態(tài)；（c）總反應(yīng)R(t)§3.1無阻尼體系(3-13)阻尼體系運(yùn)動(dòng)方程(3-19)§3.2粘滯阻尼體系§3.2有阻尼體系穩(wěn)態(tài)諧振反應(yīng)——通常所關(guān)心的是式（3-19）第二項(xiàng)給出的穩(wěn)態(tài)諧振反應(yīng)(3-20)這個(gè)穩(wěn)態(tài)位移反應(yīng)的特性，可容易地用圖3-2所示復(fù)平面中所繪出的兩個(gè)相應(yīng)旋轉(zhuǎn)矢量來解釋，它們?cè)趯?shí)軸上的分量之和，即為式（3-20）等號(hào)右端的兩項(xiàng)。合成矢量的實(shí)部給出了如下形式的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)§3.2粘滯阻尼體系(3-21)圖3-2穩(wěn)態(tài)位移反應(yīng)§3.2粘滯阻尼體系穩(wěn)態(tài)反應(yīng)振幅(3-22)反應(yīng)滯后于荷載的相位角θ為(3-23)§3.2粘滯阻尼體系動(dòng)力放大系數(shù)D：合成反應(yīng)位移與所引起的靜位移比值(3-24)圖3-4相位角隨阻尼和頻率的變化圖3-3動(dòng)力放大系數(shù)隨阻尼和頻率的變化§3.2粘滯阻尼體系再一次使用解的指數(shù)形式對(duì)求解穩(wěn)態(tài)諧振反應(yīng)是有意義的?？紤]用指數(shù)形式描述諧振荷載的一般情況為

這里，φ是諧振荷載函數(shù)中的一個(gè)任意相位角。在涉及一般的諧振荷載時(shí)，尤其是可利用一系列諧振分量表示的周期荷載，對(duì)每一個(gè)諧振項(xiàng)必須說明其相位角。因此，采用復(fù)§3.2粘滯阻尼體系(3-25)數(shù)比用幅值和相位角要方便。本章所研究的只有一個(gè)諧振項(xiàng)，因此相位角可以任意取，為了簡(jiǎn)單可取為零。這樣，在荷載表達(dá)式中就不需要包含此項(xiàng)。方程（3-25）的特解及它對(duì)時(shí)間的一階、二階導(dǎo)數(shù)為

§3.2粘滯阻尼體系(3-26)式中G是一個(gè)復(fù)常數(shù)。為了求G，將式（3-26）帶入方程（3-25），消去各項(xiàng)中的,并用代替m，用代替，則可解出G為將其帶入式（3-26）的第一式，并在復(fù)平面中繪出表示結(jié)果的兩個(gè)向量，如圖3-5所示?！?.2粘滯阻尼體系(3-27)注意，與圖3-2中相應(yīng)的量相比，這兩個(gè)向量的合成結(jié)果及相位角θ除了逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90度外是相同的。圖中的這一差別符合諧振荷載和在圖3-2和圖3-5產(chǎn)生的結(jié)果之間的相位差。注意，是的實(shí)部。在上述穩(wěn)態(tài)諧振振動(dòng)條件下，如圖3-5所示的總反應(yīng)為(3-28)§3.2粘滯阻尼體系力的平衡要求慣性力、阻尼力、彈簧力之和等于說作用的荷載§3.2粘滯阻尼體系利用式（3-28），這些力為(3-29)(3-30)§3.2粘滯阻尼體系一個(gè)例題§3.2粘滯阻尼體系§3.2粘滯阻尼體系共振：作用荷載的頻率等于固有振動(dòng)頻率。共振時(shí)β＝1(3-34)此時(shí)方程為(3-35)方程變?yōu)檎翼?xiàng)對(duì)反應(yīng)振幅影響很小(3-36)§3.3共振反應(yīng)§3.3共振反應(yīng)反應(yīng)比為(3-37)(3-38)§3.3共振反應(yīng)圖3-7靜止初始條件下共振荷載（β＝1）反應(yīng)§3.3共振反應(yīng)當(dāng)有地面加速度(3-39)圖中ξ=0.7，0≤β

≤0.6時(shí)，D為常數(shù)§3.4加速度計(jì)與位移計(jì)§3.4加速度計(jì)與位移計(jì)加速度計(jì)有地面位移條件有效荷載(3-40)§3.4加速度計(jì)與位移計(jì)位移計(jì)圖3-9典型地震儀的示意圖圖3-10*動(dòng)力放大系數(shù)隨阻尼和頻率的變化§3.4加速度計(jì)與位移計(jì)圖中ξ=0.5,β≥1時(shí)，β2D為常數(shù)圖3-11對(duì)于諧振基底位移地震儀的反應(yīng)§3.4加速度計(jì)與位移計(jì)總結(jié)：1、一個(gè)相對(duì)柔軟的體系可以用作位移計(jì)，通過降低剛度或增加質(zhì)量的辦法可以擴(kuò)大其使用范圍；2、一個(gè)相對(duì)剛硬的體系可以用作加速度計(jì)，通過增加剛度或降低質(zhì)量的辦法可以擴(kuò)大其使用范圍。§3.4加速度計(jì)與位移計(jì)有隔振必要的情況

（1）運(yùn)轉(zhuǎn)的裝置能產(chǎn)生振動(dòng)力，而這些力可能在支承結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生有害的振動(dòng);

（2）安置在明顯振動(dòng)結(jié)構(gòu)上的精密儀器。§3.5隔振§3.5隔振情形1豎直方向的振蕩力作用在基礎(chǔ)的振蕩力圖3-11單自由度隔振體系（作用荷載）§3.5隔振位移反應(yīng)彈簧傳給基底的力作用在基底上的阻尼力阻尼力的相位角超前彈簧里90度，作用于基底的力幅值f為傳導(dǎo)比（TR）(3-41)(3-42)(3-43)(3-44)§3.5隔振情形2支座的擾動(dòng)基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)態(tài)相對(duì)位移圖3-12單自由度隔振體系（支座擾動(dòng)）§3.5隔振(3-44)總的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)傳導(dǎo)比(3-46)(3-47)§3.5隔振兩種情形具有相同形式的傳導(dǎo)比（TR）圖3-13振動(dòng)傳導(dǎo)比（作用荷載或支座擾動(dòng)）§3.5隔振§3.5隔振給出了傳導(dǎo)比與頻率比的關(guān)系曲線1）不同阻尼比的全部曲線均經(jīng)過頻率比為的相同點(diǎn)；2）當(dāng)時(shí)，增加阻尼使體系的隔振效率提高；3）當(dāng)時(shí)，增加阻尼將使體系的隔振效率降低；4）傳導(dǎo)率在時(shí)比時(shí)低許多，因此使設(shè)備在高頻段運(yùn)行是有利的。隔振效率IEIE=1-TRβ→∞，IE=1，振動(dòng)完全隔離；

，IE=0，不起隔振作用；是隔振系統(tǒng)的臨界阻尼比。

§3.5隔振隔振才有意義在小阻尼下，有：已知干擾頻率，要求的隔振效率，可由下圖得到應(yīng)有的靜位移?！?.5隔振隔振計(jì)算圖圖3-14隔振設(shè)計(jì)計(jì)算圖§3.5隔振小例題P40圖E3-1在不平的橋面上行駛的車輛示意圖§3.5隔振小例題P46兩種計(jì)算方法：運(yùn)算與圖解§3.5隔振自由振動(dòng)衰減法共振放大法半功率（帶寬）法每周的能量損失（共振試驗(yàn)）滯變阻尼法§3.6粘滯阻尼比的計(jì)算§3.6粘滯阻尼比的計(jì)算物理量的確定方法量測(cè)的量量測(cè)的設(shè)備需要確定量的計(jì)算方法§3.6粘滯阻尼比的計(jì)算自由振動(dòng)衰減法——測(cè)量相隔m周的位移幅值之比(3-53)§3.6粘滯阻尼比的計(jì)算是振幅相關(guān)的,隨著振幅的減消,阻尼比也小。共振放大法基于相對(duì)位移反應(yīng)的穩(wěn)態(tài)振幅測(cè)量。激振頻率為包括體系固有頻率而跨越較寬范圍的離散值，從而獲得對(duì)應(yīng)激振的振幅，做出典型頻率----反應(yīng)振幅曲線?！?.6粘滯阻尼比的計(jì)算圖3-15中等阻尼體系的頻率反應(yīng)曲線阻尼比計(jì)算時(shí)用(4-43*)(3-54)§3.6粘滯阻尼比的計(jì)算半功率（帶寬）法

半功率頻率的值可用下法求得：令方程（3-22）的反應(yīng)幅值為方程（3-54）求出的共振振幅的，即：在這種方法中，阻尼比由反應(yīng)減小到時(shí)的頻率來確定，在此頻率下輸入功率為共振功率的一半?！?.6粘滯阻尼比的計(jì)算解此方程得出頻率比為：將方程兩邊平方，則得：§3.6粘滯阻尼比的計(jì)算由此（忽略在根號(hào)內(nèi)的）可得兩個(gè)半功率頻率：因此，阻尼比等于這兩個(gè)半功率頻率差值的一半，即：一個(gè)小例題P49這個(gè)阻尼比的方法也可用圖3-15的典型頻率反應(yīng)曲線來說明。在共振反應(yīng)幅值的處作一條切割曲線的水平線，此時(shí)與曲線相交的兩頻率之間的差值，即為阻尼比的兩倍。（3-58）§3.6粘滯阻尼比的計(jì)算每周共振能量損失法如果儀器可以用來測(cè)量輸入力和所引起的位移之間的相位關(guān)系，則只需在共振時(shí)進(jìn)行試驗(yàn)就可以求出阻尼，則不需要做頻率反應(yīng)曲線。根據(jù)這種方法可以畫出阻尼力-位移圖，如圖3-16所示。如果結(jié)構(gòu)具有線性粘滯阻尼，則曲線為一橢圓，如圖3-16中虛線所示。阻尼系數(shù)可直接由最大阻尼力與最大速度的比來確定：圖3-16每周實(shí)際的和等效的阻尼能§3.6粘滯阻尼比的計(jì)算（4-45*）如果阻尼不是線性粘滯阻尼，則力-位移圖的形狀就不是橢圓，例如可以獲得如圖3-16中實(shí)線所示的曲線。等效作用力幅值可以由下式給出：式中為實(shí)際力-位移圖的面積，也即每周的能量損失?！?.6粘滯阻尼比的計(jì)算把上式代入方程（4-45*）既可得到一個(gè)每周能量損失表示的等效粘滯阻尼系數(shù)的表達(dá)式：（4-46*）在大多數(shù)的情況下，用臨界阻尼比來表示阻尼要比阻尼系數(shù)更要方便：（4-47*）圖3-17彈性剛度與應(yīng)變能§3.6粘滯阻尼比的計(jì)算如果結(jié)構(gòu)是線性彈性的，則用這種方法所獲得的靜力-位移圖如圖3-17所示，而剛度即等于直線的斜率。另一方面，剛度也可以用力-位移圖的面積表達(dá)如下：于是應(yīng)用方程（4-46*）至方程（4-48*）可得到阻尼比：（4-48*）（4-49*）下式粘滯阻尼系數(shù)將與頻率成反比，表明了粘滯阻尼特性對(duì)頻率的依賴：（4-50*）§3.6粘滯阻尼比的計(jì)算滯變阻尼法大部分試驗(yàn)結(jié)果表明，阻尼力和試驗(yàn)頻率幾乎是無關(guān)的。滯變阻尼概念提供了一種數(shù)學(xué)模型，這個(gè)模型具有與頻率無關(guān)的特性。這種阻尼可以定義為一種與速度同相而與位移成比例的阻尼力：（4-51*）是滯變阻尼系數(shù)，它是阻尼力與彈性力大小的比值。每周滯變能量損失:（4-52*）（4-53*）滯變阻尼系數(shù)與進(jìn)行試驗(yàn)的頻率無關(guān)：§3.6粘滯阻尼比的計(jì)算單自由度體系總結(jié)

第一篇單自由度體系總結(jié)一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究的對(duì)象和目的承受動(dòng)載的結(jié)構(gòu)體系反應(yīng)，二、基本原理和基本概念１．概念：

數(shù)定①荷載非數(shù)定

②體系:質(zhì)量、彈簧、阻尼器系統(tǒng)單自由度體系總結(jié)數(shù)定荷載的類型簡(jiǎn)諧荷載周期沖擊一般單自由度體系總結(jié)③特點(diǎn):Ａ.時(shí)變的；B.慣性力④反應(yīng)類型:Ａ.強(qiáng)迫振動(dòng)；B.自由振動(dòng)數(shù)學(xué)上①齊次自由振動(dòng)②非齊次強(qiáng)迫振動(dòng)⑥體系:有限自由度/離散體系單/多自由度無限自由度/連續(xù)體系數(shù)學(xué)上

常微分方程

偏微分方程

單自由度體系總結(jié)⑦簡(jiǎn)化方法:Ａ.集中質(zhì)量法Ｂ.廣義位移法Ｃ.有限元法（過硬系統(tǒng)）⑧運(yùn)動(dòng)方程：力學(xué)上：平衡方程數(shù)學(xué)上：常微分方程偏微分方程獲得方程方法：1.直接平衡法2.虛功原理

3.Lagrange方程4.Hamilton原理體系自身動(dòng)力特性:強(qiáng)迫反應(yīng)初始干擾:干擾力:單自由度體系總結(jié)單自由度體系的振動(dòng)二、強(qiáng)迫振動(dòng)：一、自由振動(dòng)荷載C=0，無阻尼體系C≠0，有阻尼體系簡(jiǎn)諧荷載沖擊荷載0~t1一般荷載P(t)0~t1

強(qiáng)迫振動(dòng)t1~∞自由振