第2章 隨機變量及其分布

第2章

本章用定量的方法，從整體上來研究隨機現(xiàn)象。

隨機變量及其分布1

定義

設(shè)隨機試驗E的樣本空間是Ω

，若對于每一個ω

∈Ω

,有一個實數(shù)X(ω)與之對應(yīng),即X=X(ω)是定義在Ω上的單值實函數(shù)，稱X為隨機變量。X(ω)Re.Ω一、隨機變量的概念2（1）隨機變量的取值有試驗決定（定義），其定義域為樣本空間.（2）由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實值函數(shù)（隨機變量）取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.

隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母等表示.

隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點.3

隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究，并可以用數(shù)學(xué)的方法對隨機試驗的結(jié)果進行廣泛深入的研究和討論。隨機變量的分類

隨機變量非離散型隨機變量（主要介紹連續(xù)型隨機變量）離散型隨機變量4離散型隨機變量及其分布律1.定義：如果隨機變量X只取有限或可列無窮多個值，則稱X為離散型隨機變量.對于離散型隨機變量，關(guān)鍵是要確定：1）所有可能的取值是什么？2）取每個可能值的概率是多少？52.離散型隨機變量X的分布律稱之為離散型隨機變量X的分布律。6或?qū)懗扇缦碌谋砀裥问剑?（1）確定常數(shù)a；例3.設(shè)隨機變量X具有分布律8解：由規(guī)范性可知9背景：作n次伯努利試驗，A的成功次數(shù)X所服從的分布.成功次數(shù)：取值0,1,2，…，n；概率為2.二項分布10若隨機變量X的分布律為定義則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布，

記為驗證規(guī)范性：

二項分布11泊松分布

驗證規(guī)范性：

則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記為定義若隨機變量X的概率分布為

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隨機變量的分布函數(shù)為了對各類隨機變量作統(tǒng)一研究，下面給出既適合于離散型隨機變量又適合于連續(xù)型隨機變量的概念——隨機變量的分布函數(shù)。

定義設(shè)X為隨機變量，稱實函數(shù)

為X的分布函數(shù)。

xab13分布函數(shù)的基本性質(zhì)：

設(shè)X為離散型隨機變量，分布律為則14例1解設(shè)隨機變量X的分布律為:求X的分布函數(shù)F(x).15故下面我們從圖形上來看一下.16如已知分布函數(shù)則X的分布律為：175

連續(xù)型隨機變量及其概率密度則稱X為連續(xù)型隨機變量，其中f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。

由定義，根據(jù)高等數(shù)學(xué)變限積分的知識知，連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。一、概率密度及其性質(zhì)18概率密度函數(shù)f(x)的基本性質(zhì)：

這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)f(x)是否為某隨機變量的概率密度的充要條件.19概率密度函數(shù)f(x)的其它性質(zhì)：

20(1)連續(xù)型隨機變量取任何一個指定值的概率為0.即,對于任意常數(shù)c,有(2)若X是連續(xù)型隨機變量,則說明：而{X=c}并非不可能事件,稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.可見，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出21例1解已知隨機變量X的概率密度函數(shù)為確定系數(shù)A，并求X的概率分布函數(shù)F(x).22123）解已知隨機變量X的概率密度函數(shù)為求X的概率分布函數(shù)F(x).24256幾種常見的連續(xù)型分布（均勻分布與指數(shù)分布1.均勻分布(UniformDistribution)

定義如果隨機變量X的概率密度為

則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布，記作26它的分布函數(shù)為272.指數(shù)分布(ExponentialDistribution)定義如果隨機變量X的概率密度為

記為分布函數(shù)為28定義如果隨機變量X的概率密度為

§2.7正態(tài)分布29正態(tài)變量的分布函數(shù)為30的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：31

任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.定理其分布函數(shù)為則證32于是,有

這個公式把一般正態(tài)變量的概率計算轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來計算.書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表.表中給的是x>0時,Φ(x)的值.