第4章 多元函數(shù)微分學

推廣第四章多元函數(shù)微分學

一元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學注意:

善于類比,區(qū)別異同一元函數(shù)、極限與連續(xù)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一元函數(shù)的極值4.1.1空間解析幾何簡介

一、空間直角坐標系4.1多元函數(shù)、極限與連續(xù)

八個卦限zyx0一、空間直角坐標系八個卦限zyx0.

八個卦限zyxⅡⅢⅠⅣⅤⅥⅧ0MxyNz(x,y,z)M(x,y,z)點的坐標0zyx0MxyNz(x,y,z)(x,y,z)坐標和點

M0zyx0NM點到坐標面的距離M點到原點的距離M點到坐標軸的距離PQ到z軸:到x軸:到y(tǒng)軸:M(x,y,z)d1d2d3...0zyx.P2.P1二、空間兩點間的距離設(shè)P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)為空間任意兩點，則其距離為例1求證：以P1(-1,4,8)、P2(-2,7,3)和P3(2,3,13)三點為頂點的三角形是等腰三角形。證明：因為所以，此三角形是等腰三角形。則方程(4-2)就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(4-2)的圖形。三、空間曲面與曲線若曲面S與三元方程

F(x,y,z)=0(4-2)有下述關(guān)系：(1)曲面S上任一點的坐標都滿足方程(4-2)；(2)不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程(4-2)。1.平面方程一般式方程：點法式方程：其中{A,B,C}是平面法向量Ax+By+Cz+D=0，截距式方程：2.二次曲面方程把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。為了了解三元方程F(x,y,z)=0所表示的曲面的形狀，通常采用平行截口法。即用坐標面和平行于坐標面的平面與曲線相截，考察其交線（即平行截口法）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。同學們可試用平行截口法考察下面的二次曲面。xzy0平行截口法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面1.橢圓拋物面xzy0平行截口法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面1.橢圓拋物面.用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0平行截口法（馬鞍面）2.雙曲拋物面平行截口法2.雙曲拋物面（馬鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面平行截口法2.雙曲拋物面（馬鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面abzxyo3.橢圓柱面zxy=0yo4.雙曲柱面zxyo5.拋物柱面曲線CCy

zo繞z軸6.旋轉(zhuǎn)面的方程曲線CxCy

zo繞z軸6.旋轉(zhuǎn)面的方程曲線C旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面SCSMNzPy

zo繞z軸f(y1,z1)=0M(x,y,z)6.旋轉(zhuǎn)面的方程xS曲線C旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面SxCSMNzP.繞z軸..f(y1,z1)=0M(x,y,z)6.旋轉(zhuǎn)面的方程y

zoSx0y7.雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面繞x軸一周x0zy繞x軸一周7.雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面x0zy.7.雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面繞x軸一周axyo8.單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面上題雙曲線繞y軸一周axyoz上題雙曲線繞y軸一周8.單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面a.xyoz8.單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面上題雙曲線繞y軸一周9.旋轉(zhuǎn)錐面兩條相交直線繞x軸一周x

yo兩條相交直線繞x軸一周x

yoz9.旋轉(zhuǎn)錐面x

yoz兩條相交直線繞x軸一周得旋轉(zhuǎn)錐面9.旋轉(zhuǎn)錐面yoz10.旋轉(zhuǎn)拋物面拋物線繞z軸一周yoxz拋物線繞z軸一周10.旋轉(zhuǎn)拋物面y.oxz生活中見過這個曲面嗎？.10.旋轉(zhuǎn)拋物面拋物線繞z軸一周得旋轉(zhuǎn)拋物面衛(wèi)星接收裝置13.例四、空間曲線一般方程空間曲線可看作兩個曲面的交線。設(shè)F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0是兩個曲面的方程，它們的交線為C。因為曲線C上的任何點的坐標應(yīng)同時滿足這兩個曲面的方程，所以應(yīng)滿足方程組這個方程叫做空間曲線C的一般方程。其交線都是xOy平面上的圓周由此可看出表示空間曲線的方程組不是唯一的。例1考慮方程組與的交線。二、鄰域一、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性4.1.2多元函數(shù)概念一、多元函數(shù)概念

定義1設(shè)有三個變量x,y,z，若變量x,y在允許的區(qū)域內(nèi)任意取定一對值時，變量z按著一定的規(guī)律總有唯一確定的值與之對應(yīng)，則變量z稱為x,y的二元函數(shù)，記作z=f(x,y)其中x,y稱為自變量，z稱為因變量。以一點P0(x0,y0)為圓心，長度為半徑δ的圓形區(qū)域（不包括圓周，記做),其平面區(qū)域是二、鄰域

(圓鄰域)(球鄰域)其中P(x,y)是鄰域內(nèi)的一點。例2求下列函數(shù)定義域解：(1)函數(shù)z的定義域是整個xOy平面，是無界開區(qū)域，即(2)函數(shù)z的定義域是整個xOy平面上，中心在原點，半徑為1的圓周及其圓內(nèi)部各點的全體，它是有界閉區(qū)域，即例3求下列函數(shù)的定義域解：(1)函數(shù)z的定義域是無界區(qū)域，即(2)函數(shù)z的定義域是即橢圓x2+4y2=25內(nèi)與圓x2+y2=1外的公共部分，它是不包括圓周和橢圓上的點的開區(qū)域。4.1.3二元函數(shù)的極限與連續(xù)性

定義2

設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在點P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義(在P0處可以無定義)，若P(x,y)沿任何路徑無限趨于定點P0(x0,y0)時，函數(shù)f(x,y)無限趨于一個常數(shù)A，則稱A是函數(shù)當P(x,y)→P0(x0,y0)時的極限，記作或其中是指P與P0間的距離。對于該定義，應(yīng)注意以下兩點：

1、即使當點P(x,y)沿著許多特殊的方式趨近于P0時，對應(yīng)的函數(shù)值都趨近于同一個常數(shù)，也不能判定的存在。2、當P沿著兩條不同的曲線趨近于P0時，函數(shù)f(x,y)趨近于不同的值，可以斷定極限不存在。解：設(shè)

P(x,y)

沿直線

y=kx

趨于點

(0,0)

，則有k

值不同極限不同!故f(x,y)在(0,0)點極限不存在。在點(0,0)的極限。例4.討論函數(shù)例5求解：例6求極限解：(2)存在；(3)則稱函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)連續(xù)，否則稱函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)處間斷。定義3設(shè)函數(shù)z=f(x,y)滿足條件(1)在點P0(x0,y0)及其鄰域內(nèi)有定義；解：(1)由前面的例5討論可知，函數(shù)z1當P(x,y)沿直線y=kx趨于點(0,0)時極限不存在，故z1的間斷點是xOy平面上的孤立點(0,0)。(2)因為函數(shù)z2的定義域是故函數(shù)z的間斷點是例7求下列函數(shù)的間斷點(2)(1)4.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分

4.2.1偏導(dǎo)數(shù)的概念及計算定義1

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當y固定在y0而x在x0處有增量Δx時，相應(yīng)的函數(shù)有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)，稱其為函數(shù)在點(x0,y0)處對x的偏增量。存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)對x的偏導(dǎo)數(shù)，記為極限定義2設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)注意：同樣可定義對

y的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)

z=f(x,y)

在域

D

內(nèi)每一點

(x,y)

處對

x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為偏導(dǎo)數(shù),記為或

y

偏導(dǎo)數(shù)存在,例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(x,y,z)處對

x

的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)定義為(請自己寫出)例8

求z=x2+3xy+y2在點(1,1)

處的偏導(dǎo)數(shù)。解法1:解法2:例9

解:=0求=0例10

求解:的偏導(dǎo)數(shù)。二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點M0處的切線M0Tx對

x

軸的斜率。在點M0

處的切線M0Tx對y軸的斜率。是曲線函數(shù)在某點各偏導(dǎo)數(shù)都存在,但在該點不一定連續(xù).顯然例如,注意：在上節(jié)已證f(x,y)在點(0,0)并不連續(xù)!4.2.2全微分4.2.2.1定義

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)的某一鄰域內(nèi)有定義，給x以增量Δx，同時給y以增量Δy時，則△z=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)，稱為函數(shù)f(x,y)在點(x,y)處對x的全增量。一、全微分的定義

定義若函數(shù)

z=f(x,y)在定義域

D

的內(nèi)點(x,y)可表示成其中A,B

不依賴于

x,

y

,僅與

x,y

有關(guān)，稱為函數(shù)f(x,y)在點

(x,y)

的全微分,記作若函數(shù)在域

D

內(nèi)各點都可微,則稱函數(shù)

f(x,y)

在點(x,y)

可微，處全增量則稱此函數(shù)在D內(nèi)可微.考慮，它對一切△x,△y都是成立的。顯然對△y=0也成立，于是即因此同理二元函數(shù)的全微分可寫成推廣三元函數(shù)u=f(x,y,z)的全微分公式為(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微由微分定義:得函數(shù)在該點連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微即例1.計算函數(shù)z=x2y+y2的全微分。解：因為定理1

(充分條件)若函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)在點P(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點可微分。所以例2.計算函數(shù)的全微分.解：因為二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)

z=f(x,y)在域

D

內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)

的二階偏導(dǎo)數(shù)。按求導(dǎo)順序不同，有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)：類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x

的n–1階偏導(dǎo)數(shù)，再關(guān)于

y

的一階偏導(dǎo)數(shù)為例3

求函數(shù)解：注意：此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)則定理2(證明略)例4

證明函數(shù)證明：滿足方程所以例5.

證明函數(shù)滿足拉普拉斯證明：利用對稱性，有方程內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論定義；記號；幾何意義函數(shù)在一點偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點連續(xù)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)2.偏導(dǎo)數(shù)的計算方法

求一點處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義

求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時,應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則4.3多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理3

若函數(shù)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，對x及y的偏導(dǎo)數(shù)存在且有推廣:設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.1)中間變量是一元函數(shù)的情形.例如,2)中間變量多于兩個的情形.例如,又如,當它們都具有可微條件時,有注意:這里表示固定y對x求導(dǎo),表示固定v對x求導(dǎo)口訣:分段用乘，分叉用加，單路全導(dǎo)，叉路偏導(dǎo)與不同,例1設(shè)解:例2

設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗證解的問題中經(jīng)常遇到,下列兩個例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號.例3

設(shè)解:二、隱含數(shù)的微分法1、一個方程的情形1)設(shè)方程確定函數(shù),求定理4.5方程兩邊對

x

求導(dǎo)，得例1.設(shè)求及解：法1法2兩邊關(guān)于x求導(dǎo)2）設(shè)方程確定二元隱函數(shù)求方程兩邊對x求偏導(dǎo)，得方程兩邊對y求偏導(dǎo)，得定理4.6例2.設(shè)求解：法1法2兩邊關(guān)于x求導(dǎo)兩邊關(guān)于y求導(dǎo)例3.設(shè),求解設(shè)求確定了隱函數(shù):方程兩邊對x求偏導(dǎo),得即二.方程組的情形解方程組即得例4.設(shè)求方程兩邊對x

求偏導(dǎo)，得即解，方程兩邊對y

求導(dǎo),得即例5.,求設(shè)方程兩邊對z

求導(dǎo)，得解即一元函數(shù)與二元函數(shù)的比較一元函數(shù)二元函數(shù)定義域數(shù)軸上的區(qū)間平面中的區(qū)域圖像平面中的曲線空間中的曲面極限單極限二重極限微分學導(dǎo)數(shù)與微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分積分學定積分二重積分一、多元函數(shù)的極值二、最值應(yīng)用問題三、條件極值4.4多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值定義若函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有則稱函數(shù)在該點取得極大值(極小值)。例如:在點(0,0)有極小值；在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.說明：使偏導(dǎo)數(shù)都為0

的點稱為駐點。例如定理5(必要條件)證明:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.但駐點不一定是極值點.有駐點(0,0)，但在該點不取極值.

且在該點取得極值，則有若函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)存在偏導(dǎo)數(shù)，因函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)取得極值，故函數(shù)z=f(x,y0)在x=x0取得極值函數(shù)z=f(x0,y)在y=y0取得極值時,具有極值定理6

(充分條件)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且令則：1)當A<0

時取極大值;A>0

時取極小值.2)當3)當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)利用定理1、2，把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y)的極值的求法敘述如下：第一步：解方程組求得一切實數(shù)解，即可求得一切駐點。第二步：對于每一個駐點(x0,y0)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和C。第三步：定出AC-B2的符號，按定理2的結(jié)論判定f(x0,y0)是否是極值、是極大值還是極小值。例1.求函數(shù)解:第一步求駐點.得駐點:

(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;0例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解：顯然

(0,0)

都是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值,因此

z(0,0)

不是極值.因此為極小值.正負在點(0,0)并且在

(0,0)

都有

可能為駐點二、最值應(yīng)用問題函數(shù)

f

在閉域上連續(xù)函數(shù)

f

在閉域上可達到最值最值可疑點邊界上的最值點特別,當區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小