第3章-流體力學(xué)連續(xù)性方程微分形式

第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)第三節(jié)流體動力學(xué)基本方程式一、連續(xù)性微分方程二、理想流體運動微分方程三、粘性流體的運動微分方程第四節(jié)歐拉運動微分方程的積分一、在勢流條件下的積分二、沿流線的積分∴單位時間內(nèi)x方向流出流進的質(zhì)量流量差：ABCDA'

B'C'D'dzdydxzyxoMNuxuzuyo’第三節(jié)流體動力學(xué)基本方程式在流場內(nèi)取一微元六面體（如圖），邊長為dx,dy,dz，中心點O流速為（ux,uy,uz）以x軸方向為例：右表面流速一、連續(xù)性微分方程第三節(jié)流體動力學(xué)基本方程式左表面流速流體的連續(xù)性微分方程的一般形式：

質(zhì)量守恒定律：單位時間內(nèi)流出與流入六面體的流體質(zhì)量差之總和應(yīng)等于六面體內(nèi)因密度變化而減少的質(zhì)量，即：X方向y方向：z方向：第三節(jié)流體動力學(xué)基本方程式同理可得：在dt時間內(nèi)因密度變化而減少的質(zhì)量為：

適用范圍：理想流體或?qū)嶋H流體；恒定流或非恒定流；可壓縮流體。（不可壓縮流體）（1）可壓縮流體恒定流動的連續(xù)性微分方程

適用范圍：理想、實際、可壓縮、不可壓縮的恒定流。（2）不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程

物理意義：不可壓縮流體單位時間內(nèi)流入單位空間的流體體積（質(zhì)量），與流出的流體體積（質(zhì)量）之差等于零。適用范圍：理想、實際、恒定流或非恒定流的不可壓縮流體流動。第三節(jié)流體動力學(xué)基本方程式當(dāng)為恒定流時當(dāng)為不可壓縮流時例：有兩種二元流體，其流速可表示為：（1）ux=-2y,uy=3x；（2）ux=0,uy=3xy。試問這兩種流體是不可壓縮流體嗎？解：（1）符合不可壓縮流體的連續(xù)性方程?！嗍遣豢蓧嚎s流體。（2）不符合不可壓縮流體的連續(xù)性方程。∴不是不可壓縮流體。

理想流體的動水壓強特性與靜水壓強的特性相同：ABCDA'B'C'D'dzdxdyp(x,y,z)

o’zxyMNO第三節(jié)流體動力學(xué)基本方程式從理想流體中任取一(x,y,z)為中心的微元六面體為控制體，邊長為dx,dy,dz，中心點壓強為p(x,y,z)。受力分析(x方向為例)：1.表面力∵理想流體，∴=0左表面右表面二、理想流體運動微分方程流體平衡微分方程回顧

一、流體平衡微分方程——歐拉平衡方程p(x,y,z)M根據(jù)平衡條件，在y方向有Fy=0，即：整理得：ABCDA'B'C'D'dzdxdyxyzo在平衡流體中取一微元六面體，邊長分別為dx，dy，dz，設(shè)中心點的壓強為p(x,y,z)=p，對其進行受力分析：y向受力表面力：質(zhì)量力：

流體平衡微分方程（即歐拉平衡方程）：

物理意義：處于平衡狀態(tài)的流體，單位質(zhì)量流體所受的表面力分量與質(zhì)量力分量彼此相等。壓強沿軸向的變化率（）等于該軸向單位體積上的質(zhì)量力的分量（X,Y,Z）。（1）流體平衡微分方程回顧x方向（牛頓第二運動定律）：2.質(zhì)量力單位質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸上分量為X,Y,Z，∴質(zhì)量力為Xdxdydz適用范圍：恒定流或非恒定流，可壓縮流或不可壓縮流體。理想流體的運動微分方程（歐拉運動微分方程）第三節(jié)流體動力學(xué)基本方程式若加速度等于0，則上式就可轉(zhuǎn)化為歐拉平衡微分方程三、粘性流體的運動微分方程1、粘性流體的特點（2）實際的流動流體任一點的動壓強，由于粘性切應(yīng)力的存在，各向大小不等，即pxxpyypzz。任一點動壓強為：（1）實際流體的面積力包括：壓應(yīng)力和粘性引起的切應(yīng)力。該切應(yīng)力由廣義牛頓內(nèi)摩擦定律確定：第三節(jié)流體動力學(xué)基本方程式2、實際流體的運動微分方程式

同樣取一微元六面體作為控制體。x方向（牛頓第二運動定律）：第三節(jié)流體動力學(xué)基本方程式'yz'yx

p'yyxzxypxxzxzypzz'xy'xz

p'xxyzyxpyy'zy’zx

p'zzdzdxdyxyz左右向壓力x向受力質(zhì)量力前后面切力上下向切力1）不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程：2）切應(yīng)力與主應(yīng)力的關(guān)系表達式不可壓縮粘性流體運動微分方程：納維埃-斯托克斯方程（Navier-Stokes，N-S)方程：考慮條件：第三節(jié)流體動力學(xué)基本方程式拉普拉斯算符，例：第四節(jié)歐拉運動微分方程的積分一、在勢流條件下的積分由于歐拉運動微分方程是一個一階非線性偏微分方程組（遷移加速度的三項中包含了未知數(shù)與其偏導(dǎo)數(shù)的乘積），因而至今還無法在一般情況下積分，只能在一定條件下積分。歐拉運動微分方程組各式分別乘以dx，dy，dz（流場任意相鄰兩點間距ds的坐標(biāo)分量），然而相加得：<I><II><III>考慮條件第四節(jié)歐拉運動微分方程的積分1、恒定流<II>=3、質(zhì)量力只有重力，即X=Y=0，Z=-g4、有勢流動：2、均勻不可壓縮流體，即=Const；

<II>=<I><II><III>積分得：第四節(jié)歐拉運動微分方程的積分由以上得：由歐拉加速度由理想勢流伯努里方程符號說明單位重流體的位能（比位能）位置水頭單位重流體的壓能（比壓能）壓強水頭單位重流體的動能（比動能）流速水頭單位重流體總勢能（比勢能）測壓管水頭總比能總水頭物理意義幾何意義

物理意義：在同一恒定不可壓縮流體重力勢流中，理想流體各點的總比能相等即在整個勢流場中，伯努里常數(shù)C均相等。（應(yīng)用條件：“——”所示）或第四節(jié)歐拉運動微分方程的積分二、沿流線的積分2、恒定流中流線與跡線重合：

注意：積分常數(shù)C，在不可壓縮恒定流流動中，沿同一流線保持不變。一般不同流線各不相同（有旋流）。（應(yīng)用條件：“——”所示，可以是有旋流）沿流線（或元流）的能量方程：1、只有重力作用的不可壓縮恒定流：第四節(jié)歐拉運動微分方程的積分1、實際流體區(qū)別于理想流體有何特點？理想流體的運動微分方程與實際流體的運動微分方程有何聯(lián)系？2、連續(xù)性微分方程有哪幾種形式？不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程說明了什么問題？一般形式，恒定流，不可壓縮流；質(zhì)量守恒實際流體具有粘性，存在切應(yīng)力；實際流體的運動微分方程中等式的左邊比理想流體運動微分方程增加了由于粘性而產(chǎn)生的切應(yīng)力這一項。3、歐拉運動微分方程組在勢流條件下的積分形式的應(yīng)用與沿流線的積分有何不同？End形式完全相同，但含義不一樣。勢流條件下積分形式是針對理想流體的恒定有勢流動中的任何質(zhì)點，而不局限于同一流線。它不適用于有旋流。沿流線積分形式是針對理想流體恒定流流動中同一條流線的質(zhì)點。它適用于有旋流。本課完