布萊克休爾斯莫頓期權(quán)定價(jià)模型

11.0第十一章布萊克-休爾斯-莫頓期權(quán)定價(jià)模型1973年，美國(guó)芝加哥大學(xué)教授提出了著名的定價(jià)模型，用于確定歐式股票期權(quán)價(jià)格，在學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界引起了強(qiáng)烈反響；同年，C.獨(dú)立地提出了一個(gè)更為一般化的模型。舒爾斯和默頓由此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。在本章中，我們將循序漸進(jìn)，盡量深入淺出地介紹布萊克-舒爾斯-默頓期權(quán)定價(jià)模型（下文簡(jiǎn)稱模型），并由此導(dǎo)出衍生證券定價(jià)的一般方法。

1布萊克-休爾斯-莫頓期權(quán)定價(jià)模型基本思路11.1我們?yōu)榱私o股票期權(quán)定價(jià)，必須先了解股票本身的走勢(shì)。因?yàn)楣善逼跈?quán)是其標(biāo)的資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在已知執(zhí)行價(jià)格、期權(quán)有效期、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的情況下，期權(quán)價(jià)格變化的唯一來(lái)源就是股票價(jià)格的變化，股票價(jià)格是影響期權(quán)價(jià)格的最根本因素。因此，要研究期權(quán)的價(jià)格，首先必須研究股票價(jià)格的變化規(guī)律。在了解了股票價(jià)格的規(guī)律后，我們?cè)噲D通過(guò)股票來(lái)復(fù)制期權(quán)，并以此為依據(jù)給期權(quán)定價(jià)。在下面幾節(jié)中我們會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述這種定價(jià)的思想。2股票價(jià)格的變化過(guò)程11.2市場(chǎng)有效理論與隨機(jī)過(guò)程

1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場(chǎng)假說(shuō)。該假說(shuō)認(rèn)為，證券價(jià)格對(duì)新的市場(chǎng)信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息。1、弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)2、半強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說(shuō)3、強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說(shuō)根據(jù)眾多學(xué)者的實(shí)證研究，發(fā)達(dá)國(guó)家的證券市場(chǎng)大體符合弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)。一般認(rèn)為，弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)與馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程（）是內(nèi)在一致的。因此我們可以用數(shù)學(xué)來(lái)刻畫股票的這種特征。有效市場(chǎng)三個(gè)層次3布朗運(yùn)動(dòng)11.2.1布朗運(yùn)動(dòng)（）起源于英國(guó)植物學(xué)家布郎對(duì)水杯中的花粉粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡的描述。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)：設(shè)代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度，代表變量z在時(shí)間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的具有兩種特征：特征1：和的關(guān)系滿足：=其中，代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。特征2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔，的值相互獨(dú)立。

4布朗運(yùn)動(dòng)11.2.1將標(biāo)準(zhǔn)布郎運(yùn)動(dòng)擴(kuò)展我們將得到普通布郎運(yùn)動(dòng)，令漂移率為a，方差率為b2，我們就可得到變量x的普通布朗運(yùn)動(dòng)：

標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)是普通布朗運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特例，即漂移率為0，方差為1的普通布郎運(yùn)動(dòng)。5布朗運(yùn)動(dòng)11.2.1普通布朗運(yùn)動(dòng)的離差形式為，顯然，Δx也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為1、顯然，遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)的變量x是關(guān)于時(shí)間和dz的動(dòng)態(tài)過(guò)程，其中第一項(xiàng)adt為確定項(xiàng)，它意味著x的期望漂移率是每單位時(shí)間為a。第二項(xiàng)bdz是隨機(jī)項(xiàng)，它表明對(duì)x的動(dòng)態(tài)過(guò)程添加的噪音。這種噪音是由維納過(guò)程的b倍給出的。2、在任意時(shí)間長(zhǎng)度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為b2T。6伊藤過(guò)程與伊藤引理11.3

普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，我們就可以得到這就是伊藤過(guò)程（）。其中，是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。7伊藤過(guò)程與伊藤引理11.3在伊藤過(guò)程的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家伊藤（）進(jìn)一步推導(dǎo)出：若變量x遵循伊藤過(guò)程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過(guò)程：其中，是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。這就是著名的伊藤引理。8伊藤過(guò)程與伊藤引理11.3案例11.1運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo)所遵循的隨機(jī)過(guò)程假設(shè)變量S服從其中μ和σ都為常數(shù)，則遵循怎樣的隨機(jī)過(guò)程？由于μ和σ是常數(shù)，S顯然服從，的伊藤過(guò)程，我們可以運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo)所遵循的隨機(jī)過(guò)程。令，則代入式我們就可得到所遵循的隨機(jī)過(guò)程為由于是股票的連續(xù)復(fù)利收益率，得出的公式說(shuō)明股票的連續(xù)復(fù)利收益率服從期望值，方差為的正態(tài)分布。**隨機(jī)微積分與非隨機(jī)微積分的差別9股票價(jià)格的變化過(guò)程：幾何布朗運(yùn)動(dòng)11.2.4一般來(lái)說(shuō)，金融研究者認(rèn)為證券價(jià)格的變化過(guò)程可以用漂移率為μS、方差率為S2的伊藤過(guò)程（即幾何布朗運(yùn)動(dòng)）來(lái)表示：之所以采用幾何布朗運(yùn)動(dòng)其主要原因有兩個(gè)：一是可以避免股票價(jià)格為負(fù)從而與有限責(zé)任相矛盾的問(wèn)題，二是幾何布朗運(yùn)動(dòng)意味著股票連續(xù)復(fù)利收益率服從正態(tài)分布，這與實(shí)際較為吻合。10股票價(jià)格的變化過(guò)程：幾何布朗運(yùn)動(dòng)11.2.4從案例例11.1我們們已經(jīng)經(jīng)知道道，如如果股股票價(jià)價(jià)格服服從幾幾何布布朗運(yùn)運(yùn)動(dòng)，，則有有從自然然對(duì)數(shù)數(shù)的定定義域域可知知，S不能能為負(fù)負(fù)數(shù)。。另外外從上上式可可以看看出，，股票票價(jià)格格的對(duì)對(duì)數(shù)服服從普普通布布朗運(yùn)運(yùn)動(dòng)，，因?yàn)闉樗呔哂泻愫愣ǖ牡钠埔坡屎秃愣ǘǖ姆椒讲盥事省?。由前前文的的分析析可知知，?dāng)當(dāng)一個(gè)個(gè)變量量服從從普通通布朗朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)，其其在任任意時(shí)時(shí)間長(zhǎng)長(zhǎng)度內(nèi)內(nèi)的變變化值值都服服從均均值為為、、方差差為的的正正態(tài)分分布。。也就就是說(shuō)說(shuō)，11股票價(jià)格的變化過(guò)程：幾何布朗運(yùn)動(dòng)11.2.4由上一一頁(yè)的的推導(dǎo)導(dǎo)可知知證券券價(jià)格格對(duì)數(shù)數(shù)服從從正態(tài)態(tài)分布布。如如果一一個(gè)變變量的的自然然對(duì)數(shù)數(shù)服從從正態(tài)態(tài)分布布，則則稱這這個(gè)變變量服服從對(duì)對(duì)數(shù)正正態(tài)分分布。。這表表明服服從對(duì)對(duì)數(shù)正正態(tài)分分布。。根據(jù)據(jù)對(duì)數(shù)數(shù)正態(tài)態(tài)分布布的特特性，，以及及符號(hào)號(hào)的定定義，，我們們可以以得到到和實(shí)際上上就是是股票票價(jià)格格在T－t期間間的連連續(xù)復(fù)復(fù)利收收益率率，則T－－t期期間年年化的的連續(xù)續(xù)復(fù)利利收益益率可可以表表示為為，，從式式（11.9））可知知隨機(jī)機(jī)變量量服服從正正態(tài)分分布12預(yù)期收益率與波動(dòng)率11.2.5:1、幾幾何布布朗運(yùn)運(yùn)動(dòng)中中的期期望收收益率率。2、根根據(jù)資資本資資產(chǎn)定定價(jià)原原理，，取取決于于該證證券的的系統(tǒng)統(tǒng)性風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)、、無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利利率水水平、、以及及市場(chǎng)場(chǎng)的風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)收收益偏偏好。。由于于后者者涉及及主觀觀因素素，因因此其其決定定本身身就較較復(fù)雜雜。然然而幸幸運(yùn)的的是，，我們們將在在下文文證明明，衍衍生證證券的的定價(jià)價(jià)與標(biāo)標(biāo)的資資產(chǎn)的的預(yù)期期收益益率是是無(wú)關(guān)關(guān)的。。3、、較長(zhǎng)長(zhǎng)時(shí)間間段后后的連連續(xù)復(fù)復(fù)利收收益率率的期期望值值等于于<，，這這是因因?yàn)檩^較長(zhǎng)時(shí)時(shí)間段段后的的連續(xù)續(xù)復(fù)利利收益益率的的期望望值是是較短短時(shí)間間內(nèi)收收益率率幾何何平均均的結(jié)結(jié)果，，而較較短時(shí)時(shí)間內(nèi)內(nèi)的收收益率率則是是算術(shù)術(shù)平均均的結(jié)結(jié)果。。13預(yù)期收益率與波動(dòng)率11.2.51、證證券價(jià)價(jià)格的的年波波動(dòng)率率，又又是股股票價(jià)價(jià)格對(duì)對(duì)數(shù)收收益率率的年年標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差2、一一般從從歷史史的證證券價(jià)價(jià)格數(shù)數(shù)據(jù)中中計(jì)算算出樣樣本對(duì)對(duì)數(shù)收收益率率的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差，再再對(duì)時(shí)時(shí)間標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化化，得得到年年標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差，，即為為波動(dòng)動(dòng)率的的估計(jì)計(jì)值。。在計(jì)計(jì)算中中，一一般來(lái)來(lái)說(shuō)時(shí)時(shí)間距距離計(jì)計(jì)算時(shí)時(shí)越近近越好好；時(shí)時(shí)間窗窗口太太短也也不好好；一一般來(lái)來(lái)說(shuō)采采用交交易天天數(shù)計(jì)計(jì)算波波動(dòng)率率而不不采用用日歷歷天數(shù)數(shù)。:14衍生品價(jià)格所服從的隨機(jī)過(guò)程11.2.６當(dāng)股票票價(jià)格格服從從幾何何布朗朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)，由由于衍衍生證證券價(jià)價(jià)格G是標(biāo)標(biāo)的證證券價(jià)價(jià)格S和時(shí)時(shí)間t的函函數(shù)G()，根根據(jù)伊伊藤引引理，，衍生生證券券的價(jià)價(jià)格G應(yīng)遵遵循如如下過(guò)過(guò)程：：比較（（11.1）和和（11.11）可可看出出，衍衍生證證券價(jià)價(jià)格G和股股票價(jià)價(jià)格S都受受同一一個(gè)不不確定定性來(lái)來(lái)源的的影響響，這這點(diǎn)對(duì)對(duì)于以以后推推導(dǎo)衍衍生證證券的的定價(jià)價(jià)公式式很重重要。。15布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.1假設(shè)：：1、證證券價(jià)價(jià)格遵遵循幾幾何布布朗運(yùn)運(yùn)動(dòng)，，即和和為為常常數(shù)；；2、允允許賣賣空標(biāo)標(biāo)的證證券；；3、沒(méi)沒(méi)有交交易費(fèi)費(fèi)用和和稅收收，所所有證證券都都是完完全可可分的的；4、衍衍生證證券有有效期期內(nèi)標(biāo)標(biāo)的證證券沒(méi)沒(méi)有現(xiàn)現(xiàn)金收收益支支付；；5、存存在無(wú)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)套利利機(jī)會(huì)會(huì)；6、證證券交交易是是連續(xù)續(xù)的，，價(jià)格格變動(dòng)動(dòng)也是是連續(xù)續(xù)的；；7、衍衍生證證券有有效期期內(nèi)，，無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利利率r為常常數(shù)。。16布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.1由于證證券價(jià)價(jià)格S遵循循幾何何布朗朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)，因因此有有：其在一一個(gè)小小的時(shí)時(shí)間間間隔中中，S的變變化值值為為：：在一個(gè)個(gè)小的的時(shí)間間間隔隔中，，f的的變化化值為為：：設(shè)f是是依賴賴于S的衍衍生證證券的的價(jià)格格，則則f一一定是是S和和t的的函數(shù)數(shù)，根根據(jù)伊伊藤引引理可可得：：17布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.1為了消消除風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)源源，，可以以構(gòu)建建一個(gè)個(gè)包括括一單單位衍衍生證證券空空頭和和單單位位標(biāo)的的證券券多頭頭的組組合。。令代代表該該投資資組合合的價(jià)價(jià)值，，則：：在時(shí)時(shí)間間后，，該投投資組組合的的價(jià)值值變化化為為：代入和和可可得得18布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.1中不含任何風(fēng)險(xiǎn)源，因此組合必須獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益，即代入上式可得化簡(jiǎn)為**這就是著名的布萊克——舒爾斯微分分程，它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券的定價(jià)。19布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.1觀察布布萊克克－舒舒爾斯斯微分分方程程，我我們可可以發(fā)發(fā)現(xiàn)，，受制制于主主觀的的風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)收益益偏好好的標(biāo)標(biāo)的證證券預(yù)預(yù)期收收益率率并未未包括括在衍衍生證證券的的價(jià)值值決定定公式式中。。這意意味著著，無(wú)無(wú)論風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)收收益偏偏好狀狀態(tài)如如何，，都不不會(huì)對(duì)對(duì)f的的值產(chǎn)產(chǎn)生影影響。。因此此我們們可以以作出出一個(gè)個(gè)可以以大大大簡(jiǎn)化化我們們工作作的假假設(shè)：：在對(duì)對(duì)衍生生證券券定價(jià)價(jià)時(shí)，，所有有投資資者都都是風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)中中性的的。盡盡管這這只是是一個(gè)個(gè)人為為的假假定，，但通通過(guò)這這種假假定所所獲得得的結(jié)結(jié)論不不僅適適用于于投資資者風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)中中性情情況，，也適適用于于投資資者厭厭惡風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)的的所有有情況況。在風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中性性的條條件下下，所所有證證券的的預(yù)期期收益益率都都可以以等于于無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利利率r，所所有現(xiàn)現(xiàn)金流流量都都可以以通過(guò)過(guò)無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利利率進(jìn)進(jìn)行貼貼現(xiàn)求求得現(xiàn)現(xiàn)值。。這就就是風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)中中性定定價(jià)原原理。。20布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.1假設(shè)一種不不支付紅利利股票目前前的市價(jià)為為10元，，我們知道道在3個(gè)月月后，該股股票價(jià)格要要么是11元，要么么是9元?！，F(xiàn)在我們們要找出一一份3個(gè)月月期協(xié)議價(jià)價(jià)格為10.5元的的該股票歐歐式看漲期期權(quán)的價(jià)值值。由于歐式期期權(quán)不會(huì)提提前執(zhí)行，，其價(jià)值取取決于3個(gè)個(gè)月后股票票的市價(jià)。。若3個(gè)月月后該股票票價(jià)格等于于11元，，則該期權(quán)權(quán)價(jià)值為0.5元；；若3個(gè)月月后該股票票價(jià)格等于于9元，則則該期權(quán)價(jià)價(jià)值為0。。風(fēng)險(xiǎn)中性定定價(jià)原理的的應(yīng)用21為了找出該該期權(quán)的價(jià)價(jià)值，我們們可構(gòu)建一一個(gè)由一單單位看漲期期權(quán)空頭和和單單位的標(biāo)標(biāo)的股票多多頭組成的的組合。若若3個(gè)月后后該股票價(jià)價(jià)格等于11元時(shí)，，該組合價(jià)價(jià)值等于(11－－0.5)元；若3個(gè)月后該該股票價(jià)格格等于9元元時(shí)，該組組合價(jià)值等等于9元元。為了了使該組合合價(jià)值處于于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)狀狀態(tài)，我們們應(yīng)選擇適適當(dāng)?shù)闹抵?，使?個(gè)月后后該組合的的價(jià)值不變變，這意味味著：11－－0.5=9=0.25因此，一個(gè)個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組組合應(yīng)包括括一份看漲漲期權(quán)空頭頭和0.25股標(biāo)的的股票。無(wú)無(wú)論3個(gè)月月后股票價(jià)價(jià)格等于11元還是是9元，該該組合價(jià)值值都將等于于2.25元。布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.122假設(shè)現(xiàn)在的的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年年利率等于于10%，，則該組合合的現(xiàn)值應(yīng)應(yīng)為：由于該組合合中有一單單位看漲期期權(quán)空頭和和0.25單位股票票多頭，而而目前股票票市場(chǎng)為10元，因因此：這就是說(shuō)，，該看漲期期權(quán)的價(jià)值值應(yīng)為0.31元，，否則就會(huì)會(huì)存在無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)機(jī)會(huì)。布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.123布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.1從該例子可可以看出，，在確定期期權(quán)價(jià)值時(shí)時(shí)，我們并并不需要知知道股票價(jià)價(jià)格上漲到到11元的的概率和下下降到9元元的概率。。但這并不不意味著概概率可以隨隨心所欲地地給定。事事實(shí)上，只只要股票的的預(yù)期收益益率給定，，股票上升升和下降的的概率也就就確定了。。例如，在在風(fēng)險(xiǎn)中性性世界中，，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利利率為10%，則股股票上升的的概率P可可以通過(guò)下下式來(lái)求：：62.66%。24布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)模型11.3.1又如，如果果在現(xiàn)實(shí)世世界中股票票的預(yù)期收收益率為15%，則則股票的上上升概率可可以通過(guò)下下式來(lái)求：：69.11%?？梢?，投資資者厭惡風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)程度決決定了股票票的預(yù)期收收益率，而而股票的預(yù)預(yù)期收益率率決定了股股票升跌的的概率。然然而，無(wú)論論投資者厭厭惡風(fēng)險(xiǎn)程程度如何，，從而無(wú)論論該股票上上升或下降降的概率如如何，該期期權(quán)的價(jià)值值都等于0.31元元。25布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.2在風(fēng)險(xiǎn)中性性的條件下下，無(wú)收益益資產(chǎn)歐式式看漲期權(quán)權(quán)到期時(shí)（（T時(shí)刻））的期望值值為：其中，表示風(fēng)險(xiǎn)中中性條件下下的期望值值。根據(jù)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)中性定定價(jià)原理，歐式式看漲期權(quán)權(quán)的價(jià)格c等于將此此期望值按按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的的現(xiàn)值，即即：26布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.2對(duì)右右邊求值是是一種積分分過(guò)程，結(jié)結(jié)果為：其中，N（x）為為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布變量量的累計(jì)概概率分布函函數(shù)(即這這個(gè)變量小小于x的概概率)，根根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正正態(tài)分布函函數(shù)特性，，我們有。。這就是無(wú)收收益資產(chǎn)歐歐式看漲期期權(quán)的定價(jià)價(jià)公式。27對(duì)于布萊克克－舒爾斯斯期權(quán)定價(jià)價(jià)公式的理理解：在公式中，，N(d2)是在風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)中性世世界中大于于X的概率率，或者說(shuō)說(shuō)是歐式看看漲期權(quán)被被執(zhí)行的概概率，()(d2)是X的風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)中性期期望值的現(xiàn)現(xiàn)值。(d1)=()(d1)是的的風(fēng)險(xiǎn)中性性期望值的的現(xiàn)值。。因此，這個(gè)個(gè)公式就是是未來(lái)收益益期望值的的貼現(xiàn)。布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.228布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.2無(wú)收益資產(chǎn)產(chǎn)的歐式看看跌期權(quán)的的定價(jià)公式式根據(jù)歐式看看漲期權(quán)和和看跌期權(quán)權(quán)之間存在在平價(jià)關(guān)系系，可以得得到無(wú)收益益資產(chǎn)歐式式看跌期權(quán)權(quán)的定價(jià)公公式：29布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.2無(wú)收益資產(chǎn)產(chǎn)美式看漲漲期權(quán)的定定價(jià)公式在標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)無(wú)收益情情況下，美美式看漲期期權(quán)提前執(zhí)執(zhí)行是不合合理的，因因此，無(wú)收收益資產(chǎn)美美式看漲期期權(quán)的定價(jià)價(jià)公式同樣樣是：30布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.3有收益資產(chǎn)產(chǎn)的歐式期期權(quán)的定價(jià)價(jià)公式對(duì)于有收益益標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)的歐式期期權(quán)，在收收益已知情情況下，我我們可以把把標(biāo)的證券券價(jià)格分解解成兩部分分：期權(quán)有有效期內(nèi)已已知現(xiàn)金收收益的現(xiàn)值值部分和一一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)部分。當(dāng)當(dāng)期權(quán)到期期時(shí)，這部部分現(xiàn)值將將由于標(biāo)的的資產(chǎn)支付付現(xiàn)金收益益而消失。。因此，我我們只要用用S表示有有風(fēng)險(xiǎn)部分分的證券價(jià)價(jià)格。σ表表示風(fēng)險(xiǎn)部部分遵循隨隨機(jī)過(guò)程的的波動(dòng)率，，就可直接接套用公式:分別計(jì)算出出有收益資資產(chǎn)的歐式式看漲期權(quán)權(quán)和看跌期期權(quán)的價(jià)值值。31因此，當(dāng)標(biāo)標(biāo)的證券已已知收益的的現(xiàn)值為I時(shí)，我們們只要用（（S－I））代替S即即可求出固固定收益證證券歐式看看漲和看跌跌期權(quán)的價(jià)價(jià)格。當(dāng)標(biāo)的證券券的收益為為按連續(xù)復(fù)復(fù)利計(jì)算的的固定收益益率q（單單位為年））時(shí)，我們們只要將代替S就可可求出支付付連續(xù)復(fù)利利收益率證券的歐式式看漲和看看跌期權(quán)的的價(jià)格。一般來(lái)說(shuō)，，期貨期權(quán)權(quán)、股指期期權(quán)和外匯匯期權(quán)都可可以看作標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)支支付連續(xù)復(fù)復(fù)利收益率率的期權(quán)。。其中，歐歐式期貨期期權(quán)可以看看作一個(gè)支支付連續(xù)紅紅利率為r的資產(chǎn)的的歐式期權(quán)權(quán)；股指期期權(quán)則是以以市場(chǎng)平均均股利支付付率為收益益率，外匯匯期權(quán)標(biāo)的的資產(chǎn)的連連續(xù)紅利率率為該外匯匯在所在國(guó)國(guó)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率。布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.332有收益資產(chǎn)產(chǎn)的美式看看漲期權(quán)的的定價(jià)當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)有收益時(shí)時(shí)，美式看看漲期權(quán)就就有提前執(zhí)執(zhí)行的可能能，因此有有收益資產(chǎn)產(chǎn)美式期權(quán)權(quán)的定價(jià)較較為復(fù)雜，，布萊克提提出了一種種近似似處理方法法。該方法法是先確定定提前執(zhí)行行美式看漲漲期權(quán)是否否合理，若若不合理，，則按歐式式期權(quán)處理理；若在提前執(zhí)行可可能是合理理價(jià)格，然后后將二者之之中的較大大者作為美美式期權(quán)的的價(jià)格。在在大多數(shù)情情況下，這這種近似效效果都不錯(cuò)錯(cuò)。時(shí)刻到期的的歐式看漲漲期權(quán)的的，則要分分別計(jì)算在在T時(shí)刻和和布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.333美式看跌期期權(quán)的定價(jià)價(jià)美式看跌期期權(quán)無(wú)論標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)有有無(wú)收益都都有提前執(zhí)執(zhí)行的可能能，而且與與其對(duì)應(yīng)的的看漲期權(quán)權(quán)也不存在在精確的平平價(jià)關(guān)系，，因此我們們一般通過(guò)過(guò)數(shù)值方法法來(lái)求美式式看跌期權(quán)權(quán)的價(jià)值。。布萊克—舒爾斯—默頓期權(quán)定價(jià)公式11.3.334B-S-M期權(quán)定價(jià)公式的參數(shù)估計(jì)11.3.４我們已經(jīng)經(jīng)知道，，期權(quán)定定價(jià)公式式中的期期權(quán)價(jià)格格取決于于下列五五個(gè)參數(shù)數(shù)：標(biāo)的的資產(chǎn)市市場(chǎng)價(jià)格格、執(zhí)行行價(jià)格、、到期期期限、無(wú)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利利率和標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)價(jià)格波波動(dòng)率（（即標(biāo)的的資產(chǎn)收收益率的的標(biāo)準(zhǔn)差差）。在在這些參參數(shù)當(dāng)中中，前三三個(gè)都是是很容易易獲得的的確定數(shù)數(shù)值。但但是無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利率率和標(biāo)的的資產(chǎn)價(jià)價(jià)格波動(dòng)動(dòng)率則需需要通過(guò)過(guò)一定的的計(jì)算求求得估計(jì)計(jì)值。35B-S-M期權(quán)定價(jià)公式的參數(shù)估計(jì)11.3.４（一）估估計(jì)無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利率率在發(fā)達(dá)的的金融市市場(chǎng)上，，很容易易獲得無(wú)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利利率的估估計(jì)值，，但在實(shí)實(shí)際應(yīng)用用時(shí)仍然然需要注注意幾個(gè)個(gè)問(wèn)題。。首先，，要選擇擇正確的的利率。。要注意意選擇無(wú)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的的即期利利率（即即零息票票債券的的到期收收益率）），而不不能選擇擇附息票票債券的的到期收收益率，，并且要要轉(zhuǎn)化為為連續(xù)復(fù)復(fù)利的形形式，才才可以在在公式中中應(yīng)用。。一般來(lái)來(lái)說(shuō)，在在美國(guó)人人們大多多選擇美美國(guó)國(guó)庫(kù)庫(kù)券利率率作為無(wú)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利利率的估估計(jì)值，，在中國(guó)國(guó)過(guò)去通通常使用用銀行存存款利率率，現(xiàn)在在則可以以從銀行行間債券券市場(chǎng)的的價(jià)格中中確定國(guó)國(guó)債即期期利率作作為無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利率率。其次次，要注注意選擇擇利率期期限。如如果利率率期限結(jié)結(jié)構(gòu)曲線線傾斜嚴(yán)嚴(yán)重，那那么不同同到期日日的收益益率很可可能相差差很大，，我們必必須選擇擇距離期期權(quán)到期期日最近近的利率率作為無(wú)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利利率。36B-S-M期權(quán)定價(jià)公式的參數(shù)估計(jì)11.3.４（二）估估計(jì)標(biāo)的的資產(chǎn)價(jià)價(jià)格的波波動(dòng)率估計(jì)標(biāo)的的資產(chǎn)價(jià)價(jià)格的波波動(dòng)率要要比估計(jì)計(jì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率困難得得多，也也更為重重要。估估計(jì)標(biāo)的的資產(chǎn)價(jià)價(jià)格波動(dòng)動(dòng)率有兩種種方法：：歷史波波動(dòng)率和和隱含波波動(dòng)率。。37B-S-M期權(quán)定價(jià)公式的參數(shù)估計(jì)11.3.４歷史波動(dòng)動(dòng)率所謂歷史史波動(dòng)率率就是從從標(biāo)的資資產(chǎn)價(jià)格格的歷史史數(shù)據(jù)中中計(jì)算出出價(jià)格對(duì)對(duì)數(shù)收益率率的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差，具具體方法法一般有有兩種，，第一種種直接用用一般統(tǒng)統(tǒng)計(jì)方法法計(jì)算樣本本對(duì)數(shù)收收益率標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差，，案例11.7以股票票價(jià)格為為例給出出了這種種方法的一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)單說(shuō)說(shuō)明。第第二種則則包括廣廣義自回回歸條件件異方差差模型（，，）、隨機(jī)機(jī)波動(dòng)率率模型等等。隱含波動(dòng)動(dòng)率資本市場(chǎng)場(chǎng)具有強(qiáng)強(qiáng)大的信信息功能能。資本本市場(chǎng)上上股票價(jià)價(jià)格、債債券價(jià)格格、期權(quán)權(quán)價(jià)格等等都包含含了重要要的信息息。在現(xiàn)現(xiàn)實(shí)中，，我們常常常已經(jīng)經(jīng)知道了了期權(quán)價(jià)價(jià)格，這這時(shí)我們們就可以以利用期期權(quán)價(jià)格格來(lái)倒推推出其中中隱含的的波動(dòng)率率信息。。所謂的的隱含波波動(dòng)率，，即根據(jù)據(jù)期權(quán)定定價(jià)公式式，將公公式中除除了波動(dòng)動(dòng)率以外外的參數(shù)數(shù)和市場(chǎng)場(chǎng)上的期期權(quán)報(bào)價(jià)價(jià)代入，，計(jì)算得得到的波波動(dòng)率數(shù)數(shù)據(jù)，然然后用于于其它條條件類似似的期權(quán)權(quán)定價(jià)、、風(fēng)險(xiǎn)管管理等。。顯然，，這里計(jì)計(jì)算得到到的波動(dòng)動(dòng)率可以以看作是是市場(chǎng)對(duì)對(duì)未來(lái)波波動(dòng)率的的預(yù)期。。38造成用布布萊克———舒爾爾斯期權(quán)權(quán)定價(jià)公公式估計(jì)計(jì)的期權(quán)權(quán)價(jià)格與與市場(chǎng)價(jià)價(jià)格存在在差異的的原因主主要有以以下幾個(gè)個(gè)：計(jì)算錯(cuò)誤誤；2.期權(quán)權(quán)市場(chǎng)價(jià)價(jià)格偏離離均衡；；3.使用用錯(cuò)誤的的參數(shù)；；4.布萊萊克———舒爾斯斯期權(quán)定定價(jià)公式式建立在在眾多假假定的基基礎(chǔ)上。。B-S-M期權(quán)定價(jià)公式的精確度評(píng)價(jià)與拓展11.４.１39B-S-M期權(quán)定價(jià)公式的精確度評(píng)價(jià)與拓展11.４.２期權(quán)定價(jià)價(jià)模型拓拓展一、無(wú)交交易成本本假設(shè)的的放松二、常數(shù)數(shù)波動(dòng)率率假設(shè)的的放松三、參數(shù)數(shù)假設(shè)的的放松四、資產(chǎn)產(chǎn)價(jià)格連連續(xù)變動(dòng)動(dòng)假設(shè)的的放松40ＴＨＥＥＥＮＤＤ41謝謝謝12月月-2209:15:2209:1509:1512月月-2212月月-2209:1509:1509:15:2212月-2212月-2209:15:222022/12/319:15:229、靜夜四無(wú)無(wú)鄰，荒居居舊業(yè)貧。。。12月-2212月-22Saturday,December31,202210、雨中黃葉葉樹，燈下下白頭人。。。09:15:2209:15:2209:1512/31/20229:15:22AM11、以我我獨(dú)沈沈久，，愧君君相見見頻。。。12月月-2209:15:2209:15Dec-2231-Dec-2212、故人人江海海別，，幾度度隔山山川。。。09:15:2209:15:2209:15Saturday,December31,202213、乍見翻翻疑夢(mèng)，，相悲各各問(wèn)年。。。12月-2212月-2209:15:2209:15:22December31,202214、他鄉(xiāng)生生白發(fā)，，舊國(guó)見見青山。。。31十十二月20229:15:22上午午09:15:2212月-2215、比比不不了了得得就就不不比比，，得得不不到到的的就就不不要要。。。。。十二二月月229:15上上午午12月月-2209:15December31,202216、行動(dòng)出成果果，工作出財(cái)財(cái)富。。2022/12/319:15:2309:15:2331December202217、做前前，能能夠環(huán)環(huán)視四四周；；做時(shí)時(shí)，你你只能能或者者最好好沿著著以腳腳為起起點(diǎn)的的射線線向前前。。。9:15:23上上午9:15上上午午09:15:2312月月-229、沒(méi)有失敗敗，只有暫暫時(shí)停止成成功！。12月-2212月-22Saturday,December31,202210、很多事情努努力了未必有有結(jié)果，但是是不努力卻什什么改變也沒(méi)沒(méi)有。。09:15:2309:15:2309:1512/31/20229:15:23AM11、成成功功就就是是日日復(fù)復(fù)一一日日那那一一點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)小小小小努努力力的的積積累累。。。。12月月-2209:15:2309:15Dec-2231-Dec-2212、世間成成事，不不求其絕絕對(duì)圓滿滿，留一一份不