本科經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)第2章(第4版)

第2章線性回歸的基本思想——雙變量模型2.1回歸的含義2.2總體回歸函數(shù)2.3總體回歸函數(shù)的統(tǒng)計(jì)或隨機(jī)設(shè)定2.4隨機(jī)誤差項(xiàng)的性質(zhì)2.5樣本回歸函數(shù)2.6“線性”回歸的特殊含義2.7從雙變量回歸到多元線性回歸2.8參數(shù)估計(jì)：普通最小二乘法2.9綜合2.10一些例子2.11總結(jié)2.1

回歸的含義回歸分析是用來研究一個(gè)變量（稱之為被解釋變量explainedvariable或應(yīng)變量dependentvariable）與另一個(gè)或多個(gè)變量（稱之為解釋變量explanatoryvariable或自變量independentvariable）之間關(guān)系的一種分析方法。例如研究商品的需求量與該商品的價(jià)格、消費(fèi)者的收入以及其他同類商品的價(jià)格之間的關(guān)系。通常我們用Y表示應(yīng)變量，用X表示自變量。

回歸分析是用來處理一個(gè)應(yīng)變量與另一個(gè)或多個(gè)自變量的關(guān)系，但它并不一定表明因果關(guān)系的存在。兩個(gè)變量是否存在因果關(guān)系，哪一個(gè)是應(yīng)變量，哪一個(gè)是自變量是由正確的經(jīng)濟(jì)理論決定的。

需要注意的是具有因果關(guān)系的變量之間一定具有數(shù)學(xué)上的相關(guān)關(guān)系，而具有相關(guān)關(guān)系的變量之間并不一定具有因果關(guān)系。

例如：中國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值與印度的人口之間具有較強(qiáng)的相關(guān)性（相關(guān)系數(shù)較高），因?yàn)槎叨家暂^快的速度增長(zhǎng)，但顯然二者之間不具有因果關(guān)系?；貧w分析的應(yīng)用（1）通過已知變量的值來估計(jì)應(yīng)變量的均值（2）根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論建立適當(dāng)?shù)募僭O(shè)并對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)（3）根據(jù)自變量的值對(duì)應(yīng)變量的均值進(jìn)行預(yù)測(cè)（4）上述多個(gè)目標(biāo)的綜合2.2

總體回歸函數(shù):假想一例

下面我們通過一個(gè)具體例子說明回歸分析的用途。分析步驟：（1）以家庭年收入X為橫軸，學(xué)生的數(shù)學(xué)S.A.T分?jǐn)?shù)Y為縱軸，對(duì)表中數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖。（2）分析兩變量間的關(guān)系（3）做出總體回歸直線圖2-1家庭年收入與數(shù)學(xué)S.A.T分?jǐn)?shù)

總體回歸函數(shù)PRFB1和B2是參數(shù)(parameters)，也稱回歸系數(shù)(regressioncoefficients)。B1又稱為截距(intercept)，B2又稱為斜率(slope)。斜率度量了X每變動(dòng)一個(gè)單位，Y的條件均值的變化率。Y的條件期望，可簡(jiǎn)寫為E(Y)注意：回歸分析是條件回歸分析(conditionalregressionanalysis)。(2-1)隨機(jī)總體回歸方程(stochasticPRF)ui表示隨機(jī)誤差項(xiàng)(randomerrorterm)，簡(jiǎn)稱誤差項(xiàng)。2.3

總體回歸函數(shù)的統(tǒng)計(jì)或隨機(jī)設(shè)定

(2-2)2.4

隨機(jī)誤差項(xiàng)的性質(zhì)

（1）在解釋變量中被忽略的因素的影響；（2）變量觀測(cè)值的觀測(cè)誤差的影響；（3）其它隨機(jī)因素的影響包括人類行為中的一些內(nèi)在隨機(jī)性；（4）

奧卡姆的剃刀原則——“簡(jiǎn)單優(yōu)于復(fù)雜”。2.5

樣本回歸函數(shù)如何估計(jì)總體回歸函數(shù)，即求參數(shù)B1、B2呢？前面我們已經(jīng)介紹了：總體回歸函數(shù)PRF隨機(jī)總體回歸方程(stochasticPRF)(2-1)(2-2)如果已知整個(gè)總體的數(shù)據(jù)，如上例，問題就比較簡(jiǎn)單，但在實(shí)際中，我們往往不能得到整個(gè)總體的數(shù)據(jù)，只有來自總體的某一個(gè)樣本數(shù)據(jù)，我們?cè)撛趺醋?？?-2、2-3來自表2-1總體的兩個(gè)隨機(jī)樣本做散點(diǎn)圖及估計(jì)樣本回歸直線如下：樣本回歸直線可用樣本回歸函數(shù)SRF來表示：(2-3)(2-1)隨機(jī)的樣本函數(shù)：(2-4)(2-2)樣本回歸函數(shù)隨機(jī)樣本回歸函數(shù)總體回歸函數(shù)隨機(jī)總體回歸方程觀察值可表示為(2-3)(2-4)(2-1)(2-2)(2-6)(2-7)線性O(shè)LS總結(jié)圖2-4

總體回歸線與樣本回歸線......e1u1Y1AenunXY0需求量?jī)r(jià)格2.6“線性”回歸的特殊含義解釋變量線性與參數(shù)線性圖2-5

線性和非線性需求曲線非線性舉例：1.解釋變量線性例如：2.參數(shù)線性非線性舉例：例如：圖2-5線性和非線性需求曲線1111XXYY價(jià)格價(jià)格需求量a)線性需求曲線b)非線性需求曲線2.7從雙變量回歸到多元線性回歸多元線性回歸：如果數(shù)學(xué)S.A.T分?jǐn)?shù)是收入(X2)、選修數(shù)學(xué)課程(X3)和年齡(X4)的函數(shù)，則擴(kuò)展的數(shù)學(xué)S.A.T分?jǐn)?shù)的函數(shù)如下：個(gè)體學(xué)生分?jǐn)?shù)函數(shù)（即隨機(jī)總體回歸函數(shù)）為：（2-11）（2-12）2.8參數(shù)估計(jì)：普通最小二乘法普通最小二乘法(OLS)最小二乘原理總體回歸方程：樣本回歸函數(shù)：因而[利用(2-3)]最小二乘原理就是選擇合適參數(shù)使得全部觀察值的殘差平方和(RSS)最小，數(shù)學(xué)形式為：

(2-13)普通最小二乘法就是尋找使RSS達(dá)到最小時(shí)的參數(shù)作為參數(shù)估計(jì)值的一種方法。利用極值原理可以得到：(2-16)(2-17)正規(guī)方程(2-14)(2-15)求解得到：普通最小二乘估計(jì)量的一些重要性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）2.9綜合解得：利用OLS方法估計(jì)樣本回歸方程，具體計(jì)算步驟如表2-4（見下頁(yè)）：斜率：截矩：對(duì)數(shù)學(xué)S.A.T分?jǐn)?shù)回歸結(jié)果的解釋對(duì)數(shù)學(xué)S.A.T分?jǐn)?shù)的估計(jì)結(jié)果解釋如下：斜率系數(shù)0.0013表示，在其他條件保持不變的情況下，家庭年收入每增加一美元，數(shù)學(xué)S.A.T分?jǐn)?shù)將平均增加約0.0013分。截距432.41表示，當(dāng)家庭年收入為0時(shí)，數(shù)學(xué)S.A.T的平均分?jǐn)?shù)約為432分。截距一般沒有什么特殊的經(jīng)濟(jì)含義。2.10一些例子例2-1：受教育年限與平均小時(shí)工資根據(jù)由528個(gè)觀察值組成的樣本，表2-5（見下頁(yè)）給出了平均小時(shí)工資Y和受教育年限X的數(shù)據(jù)。根據(jù)勞動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的人力資本理論，預(yù)期平均工資隨受教育年限的增加而增加，二者正相關(guān)。數(shù)據(jù)的回歸結(jié)果如下：

回歸結(jié)果表明，在其他條件不變的情況下，受教育年限每增加一年，平均小時(shí)工資增加72美分。前面已經(jīng)提到過，在大多數(shù)情況下，截距沒有什么明顯的經(jīng)濟(jì)含義，本例亦如此。例2-2：奧肯定律：布魯金斯學(xué)會(huì)主席，前總統(tǒng)經(jīng)濟(jì)顧問委員會(huì)主席奧肯（ArthurOkun）根據(jù)美國(guó)1947-1960年的數(shù)據(jù)，得到如下回歸方程，稱之為奧肯定律：其中，Yt表示失業(yè)率的變動(dòng)（百分?jǐn)?shù)），Xt表示實(shí)際產(chǎn)出的增長(zhǎng)率（百分率），用實(shí)際GNP度量，2.5是對(duì)美國(guó)歷史的觀察得到的長(zhǎng)期產(chǎn)出增長(zhǎng)率。在上面方程中，截距為零，斜率為-0.4。奧肯定律是說實(shí)際GNP的增長(zhǎng)每超過2.5%一個(gè)百分點(diǎn)，失業(yè)率將降低0.4個(gè)百分點(diǎn)。奧肯定律被用來預(yù)測(cè)失業(yè)率減少到一定的百分點(diǎn)而所需的實(shí)際GNP的增長(zhǎng)率。當(dāng)實(shí)際GNP增長(zhǎng)率為5%時(shí)，將使失業(yè)率減少一個(gè)百分點(diǎn)，或者說若使增長(zhǎng)率達(dá)到7.5%，則減少失業(yè)率2個(gè)百分點(diǎn)。例2-3：股票價(jià)格與利率股票價(jià)格和利率是重要的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。利用S&P500綜合指數(shù)(1941～1943年＝10)度量股票價(jià)格，三月期國(guó)債利率(％)度量利率。表2-13給出了1980～1999年這些變量的數(shù)據(jù)。根據(jù)散點(diǎn)圖（下頁(yè)）（見Excel文件和Eviews文件），兩變量間的關(guān)系可能不是線性的，我們可以嘗試擬合如下模型：利用Eviews軟件得到如下結(jié)果：如果我們擬合線性模型，可以得到：究竟哪一個(gè)模型更好？我們應(yīng)該如何進(jìn)行模型的選擇？例2-4：美國(guó)中等房?jī)r(jià)與貸款利率（1980～2007年）為了研究貸款利率對(duì)房?jī)r(jià)的影響，表2-7給出了紐約1980～2007年中等房?jī)r(jià)和30年固定貸款利率的數(shù)據(jù)。（散點(diǎn)圖見下頁(yè)）回歸結(jié)果表明，如果貸款利率提高一個(gè)百分點(diǎn)，則中等房?jī)r(jià)平均降低約17.4個(gè)單位，即17400美元。問題：降低利率是否對(duì)房?jī)r(jià)有顯著的影響？是否應(yīng)該考慮中等家庭收入水平的影響？例2-5：古董鐘與拍賣價(jià)格德國(guó)Triberg鐘表公司每年都舉行鐘表拍賣會(huì)。表2-14給出了32個(gè)鐘表的信息數(shù)據(jù)（鐘表的年代、投標(biāo)人的個(gè)數(shù)、中標(biāo)的價(jià)格）。