第五講抽樣分布與參數(shù)估計(jì)

第五講抽樣分布與參數(shù)估計(jì)1【教學(xué)目的和要點(diǎn)】

▼通過(guò)本講學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該掌握構(gòu)建樣本平均數(shù)和樣本比例的抽樣分布以及掌握如何根據(jù)樣本的信息推斷總體的信息。2本講內(nèi)容■有關(guān)概念■抽樣分布■參數(shù)估計(jì)

?單一總體均值估計(jì)

?單一總體比率估計(jì)

?兩個(gè)總體均值之差估計(jì)■確定樣本容量3有關(guān)概念參數(shù)與統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)誤差4參數(shù)與統(tǒng)計(jì)量參數(shù)：反應(yīng)總體分布特征的指標(biāo)統(tǒng)稱為總體參數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。常用的有統(tǒng)計(jì)量：反應(yīng)樣本分布特征的指標(biāo)統(tǒng)稱為樣本統(tǒng)計(jì)量，簡(jiǎn)稱統(tǒng)計(jì)量。常用5總體參數(shù)樣本統(tǒng)計(jì)量平均數(shù)方差比率6統(tǒng)計(jì)誤差統(tǒng)計(jì)誤差非抽樣誤差抽樣誤差：登記性誤差非隨機(jī)性誤差隨機(jī)性誤差可以度量和控制7抽樣分布樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布稱為抽樣分布。用以描述抽樣誤差的規(guī)律性，是統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)。8樣本平均數(shù)的概率分布的引出9EAI公司的抽樣問(wèn)題EAI公司的人事主管正在制定一項(xiàng)公司25000名人員的簡(jiǎn)報(bào)。其中包括中層管理人員的人均年薪和公司中已完成管理培訓(xùn)項(xiàng)目的管理人員所占的比率。想知道的指標(biāo)為：參數(shù)：實(shí)際可以得到的數(shù)據(jù)為統(tǒng)計(jì)量101112有關(guān)統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布單一樣本均值的抽樣分布兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布樣本比率的抽樣分布13

的抽樣分布單一樣本均值的抽樣分布正態(tài)分布再生定理中心極限定理兩樣本均值差異的抽樣分布14正態(tài)分布再生定理

■當(dāng)總體服從正態(tài)分布時(shí)(分布規(guī)律全部知道)，從中抽取樣本容量為n的樣本，樣本均值一定服從正態(tài)分布。

■樣本均值的期望值和方差？它們與總體的期望值和方差有何關(guān)系樣本均值的期望值等于總體均值方差（有退還抽樣、無(wú)退還抽樣)（退還抽樣）（不退還抽樣）15中心極限定理

■設(shè)某總體的元素總量為N，期望值為，標(biāo)準(zhǔn)差為；若從該總體中隨機(jī)抽取樣本容量為n的樣本，當(dāng)n很大（n>30)時(shí)，則樣本平均數(shù)的抽樣分布近似為正態(tài)分布，即：（退還抽樣）（不退還抽樣）16兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布從兩個(gè)總體中分別獨(dú)立的抽取樣本容量分別為n1和n2的兩個(gè)樣本，在重復(fù)選取容量為n1和n2的樣本時(shí)，由兩個(gè)樣本均值之差的所有可能形式的相對(duì)頻數(shù)構(gòu)成它們分布形態(tài)，也稱為兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布.17兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布（大樣本）兩個(gè)總體均值之差，即其分布的方差為各自的方差之和，即從而18二項(xiàng)分布概率函數(shù)如果X是一個(gè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，樣本容量為n，事件發(fā)生的概率為p，則其中x=0,1,2,…,n。19二項(xiàng)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如果X是一個(gè)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，樣本容量為n，成功概率為p，則其均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：20二項(xiàng)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差我們有時(shí)更加關(guān)心出現(xiàn)成功的比率x/n21比率的抽樣分布設(shè)某二項(xiàng)分布總體，總體比率為，若從該總體中隨機(jī)抽取樣本容量為n的樣本，當(dāng)樣本容量足夠大（）時(shí)，樣本比率p的抽樣

分布近似為正態(tài)分布，即：（退還抽樣）（不退還抽樣）22樣本均值抽樣分布總結(jié)正態(tài)分布非正態(tài)分布23參數(shù)估計(jì)估計(jì)方法點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)單一總體均值估計(jì)單一總體比率估計(jì)兩個(gè)總體均值之差估計(jì)24參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)過(guò)程總體均值μ=？從總體中選取幾項(xiàng)組成一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本對(duì)樣本數(shù)據(jù)的匯總提供了樣本均值的值用的值對(duì)μ值進(jìn)行推斷25參數(shù)估計(jì)案例1

EAI公司的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題EAI公司的人事主管正在制定一項(xiàng)公司25000名人員的簡(jiǎn)報(bào)。其中包括中層管理人員的人均年薪和公司中已完成管理培訓(xùn)項(xiàng)目的管理人員所占的比率。想知道的指標(biāo)為：參數(shù)：實(shí)際可以得到的數(shù)據(jù)為統(tǒng)計(jì)量26參數(shù)估計(jì)案例2----哈佛大學(xué)哈佛大學(xué)每年收到7,000個(gè)優(yōu)秀學(xué)生的入學(xué)申請(qǐng)，申請(qǐng)表中包含了大量申請(qǐng)人的信息。包括個(gè)人學(xué)術(shù)能力測(cè)試(SAT)成績(jī)和是否是本州居民。入學(xué)主管需要知道下面一些信息：平均SAT成績(jī)本州居民比例27簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的數(shù)據(jù)

No.

Applicant

SATScore

In-State 1BonnieReight 1025 Yes 2 WillieNeilson 950 Yes 3 FannieLennox1090 No 4 DerekClapton 1120 Yes 5 WinonaDriver 1015 Yes . . . . . . . . 50 KevinCostmore

965

No Total49,850 34Yes28統(tǒng)計(jì)量29參數(shù)估計(jì)案例3：

鄭州市大瓶裝純水市場(chǎng)估計(jì)

1.

估計(jì)當(dāng)前的市場(chǎng)容量2.

預(yù)測(cè)未來(lái)市場(chǎng)的潛力3.

計(jì)算各純水品牌的知名度4.

估計(jì)各純水品牌的覆蓋率5.

估計(jì)各純水品牌的市場(chǎng)占有率6.

估計(jì)各純水品牌的滿意度7.

中美純水價(jià)格定位30參數(shù)估計(jì)案例4：都市研究公司該公司是一家消費(fèi)者研究組織,它設(shè)計(jì)調(diào)查對(duì)消費(fèi)者所使用的大量的產(chǎn)品和服務(wù)進(jìn)行評(píng)估。在某一項(xiàng)調(diào)研中，該公司調(diào)查消費(fèi)者對(duì)A城市某一主要制造商生產(chǎn)的汽車的性能的滿意度感興趣。分發(fā)給制造商所生產(chǎn)的一種最大型號(hào)小汽車用戶的調(diào)查表表明，許多人抱怨該車的變速箱過(guò)早出現(xiàn)問(wèn)題。為了更好地了解變速箱的缺陷問(wèn)題，該公司采用由A城市一家變速箱維修公司所提供的變速箱維修的樣本數(shù)據(jù)31數(shù)據(jù)(失效前的平均里程)85092.0059465.0032534.0032464.0039323.0094219.0092857.0065605.0064342.0067998.00101769.0121352.074276.0040001.0025066.0069922.0074425.00118444.079294.0086813.0037831.0073341.00138114.085586.0077539.0032609.0077437.0064090.0059902.0089641.00116803.063436.0085861.0061978.0059817.0095774.0069568.0066998.0072069.0077098.0035662.0067202.0053500.0064544.00116269.089341.0085288.0053402.0082256.0088798.0032問(wèn)題用適當(dāng)?shù)拿枋鼋y(tǒng)計(jì)方法分析變速箱數(shù)據(jù)建立變速箱失效汽車總體的在變速箱失效之前行使的平均里程的95％的置信區(qū)間。并給出這個(gè)區(qū)間估計(jì)的管理解釋。根據(jù)一些經(jīng)歷過(guò)變速箱失效的車主們的意見(jiàn)來(lái)討論你的統(tǒng)計(jì)結(jié)果的含義？如果該公司想在誤差為5000英里，估計(jì)變速箱失效汽車總體在變速箱失效時(shí)所行使的均值里程的95％的置信區(qū)間，則應(yīng)該抽取多少條維修記錄？為了更充分地評(píng)價(jià)變速箱失效問(wèn)題，你還需要收集哪些信息？

33●點(diǎn)估計(jì)●區(qū)間估計(jì)

參數(shù)估計(jì)的方法

34點(diǎn)估計(jì)定義：以實(shí)際抽樣得到的某一估計(jì)量的單一值作為相應(yīng)總體參數(shù)的估計(jì)值的估計(jì)稱為點(diǎn)估計(jì)估計(jì)量?jī)?yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性:有效性:一致性:當(dāng)樣本量增加,估計(jì)精度提高35常用的優(yōu)良估計(jì)量我們用來(lái)點(diǎn)估計(jì)總體均值.s

來(lái)點(diǎn)估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差.

p

來(lái)點(diǎn)估計(jì)總體比例π.36調(diào)查數(shù)據(jù)家庭用戶單位用戶樣本容量800151用水單位6651用水單位占樣本容量的比重8.3%33.8%樣本平均月用水量3.26桶43.4桶樣本用水量的標(biāo)準(zhǔn)差2.947.2937鄭州市大瓶裝純水市場(chǎng)容量的估計(jì)

(點(diǎn)估計(jì))

38區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)的定義區(qū)間估計(jì)的原理區(qū)間估計(jì)的程序單一總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)單一總體比率的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)39區(qū)間估計(jì)的定義?區(qū)間估計(jì)是在一定的置信系數(shù)的保證下，根據(jù)統(tǒng)計(jì)量得到的一個(gè)取值范圍去估計(jì)總體的參數(shù)。40如果有那么有有95.44%的把握估計(jì)區(qū)間包含總體均值區(qū)間估計(jì)的基本原理41區(qū)間估計(jì)的幾個(gè)關(guān)鍵概念置信系數(shù)使人相信區(qū)間包含總體均值的概率,一般取0.90,0.95,0.99.它的大小說(shuō)明估計(jì)的把握性的大小(Z=1.651.962.58).置信區(qū)間:在一定概率的保證下,包含總體均值的區(qū)間,區(qū)間的寬窄說(shuō)明估計(jì)精度的大小.區(qū)間越寬,估計(jì)的精度就小;否則就大.臨界值:置信區(qū)間的上限和下限注意置信系數(shù)和區(qū)間寬窄的關(guān)系42區(qū)間估計(jì)的程序選定置信系數(shù)抽取一個(gè)樣本容量為n的樣本計(jì)算相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量確定統(tǒng)計(jì)量的概率分布得到置信區(qū)間的臨界值得到參數(shù)的置信區(qū)間43單一總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)當(dāng)σ已知時(shí)μ的置信區(qū)間當(dāng)σ未知時(shí)μ的置信區(qū)間大樣本小樣本44當(dāng)已知時(shí)計(jì)算μ的置信區(qū)間的步驟選定置信系數(shù)抽取一個(gè)樣本容量為n的樣本計(jì)算確定統(tǒng)計(jì)量的概率分布求置信區(qū)間的臨界值單一總體平均數(shù)的置信區(qū)間的臨界值為45當(dāng)未知時(shí)的單一總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)（大樣本）

■由于未知，一般情況下用S替代，■單一總體平均數(shù)的置信區(qū)間的臨界值仍為46單一總體平均數(shù)的置信區(qū)間的臨界值為47T分布（背景材料）t分布又稱學(xué)生分布(STUDENT分布)由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家威廉西利.戈塞特于1908年提出，他當(dāng)時(shí)受雇于愛(ài)爾蘭首都的一家啤酒廠，由于該廠不允許雇員用自己的名字發(fā)表成果，于是他采用了學(xué)生這個(gè)筆名發(fā)表文章，闡述他發(fā)明的小樣本理論。48T分布（t分布的性質(zhì)）1.t分布是對(duì)稱的，即E（t）=E（z）=0

當(dāng)樣本容量n較小時(shí)，t分布的標(biāo)準(zhǔn)差大于1，當(dāng)時(shí)其標(biāo)準(zhǔn)差就趨于1，t分布就近于正態(tài)分布，因?yàn)榇藭r(shí)S和接近。49

T分布（t分布的性質(zhì)）2.t分布是一個(gè)分布族，不同的n（在統(tǒng)計(jì)上也稱自由度）對(duì)應(yīng)于不同的分布。但它們的均值都等于零。3.與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相比。t分布的中心部位較低，兩個(gè)尾部較高。50z分布t

分布（n=2）t分布n=15t分布與z分布的比較圖51單一總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)舉例1

（s已知，總體服從任意分布，大樣本）CJF有限公司的參數(shù)估計(jì)52CJF有限公司的參數(shù)估計(jì)背景：CJF有限公司是一家專營(yíng)體育設(shè)備和器材的郵購(gòu)公司，公司努力為顧客提供盡可能好的服務(wù)。為了跟蹤服務(wù)質(zhì)量，CJF每個(gè)月選取顧客的郵購(gòu)訂單組成簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，公司與樣本中每一顧客取得聯(lián)系并詢問(wèn)顧客對(duì)服務(wù)水平等一系列問(wèn)題的評(píng)價(jià)。顧客的回答用于計(jì)算樣本中每一顧客的滿意得分，得分值從0（最差等級(jí)）到100（最好等級(jí)）。然后計(jì)算樣本滿意得分的均值。53以往各月的調(diào)查顯示，雖然每個(gè)月顧客滿意得分的樣本均值都在改變，但是滿意得分的樣本標(biāo)準(zhǔn)差趨于穩(wěn)定在數(shù)值20附近，于是，我們假定總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=20。最近一次CJF對(duì)顧客滿意程度調(diào)查提供了100名顧客的滿意得分?jǐn)?shù)據(jù)（n=100），滿意得分的樣本均值=82。問(wèn)題CJF希望估計(jì)最近一次所有顧客的滿意得分的均值方法：點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)54CJF有限公司平均滿意得分的估計(jì)82±1.96*282±3.92（78.08，85.92）注意：如何確定100名顧客的滿意得分?jǐn)?shù)據(jù)樣本均值的概率分布55當(dāng)已知時(shí)的區(qū)間估計(jì)的步驟選定置信系數(shù)確定統(tǒng)計(jì)量的概率分布抽取一個(gè)樣本容量為n的樣本計(jì)算求置信區(qū)間的臨界值單一總體平均數(shù)的置信區(qū)間的臨界值為56單一總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)舉例2：哈佛大學(xué)哈佛大學(xué)每年收到7,000個(gè)優(yōu)秀學(xué)生的入學(xué)申請(qǐng)，申請(qǐng)表中包含了大量申請(qǐng)人的信息。包括個(gè)人學(xué)術(shù)能力測(cè)試(SAT)成績(jī)和是否是本州居民。根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析，總體標(biāo)準(zhǔn)差的經(jīng)驗(yàn)值為76分。入學(xué)主管需要知道下面一些信息----平均SAT成績(jī)？方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本一個(gè)，容量50人數(shù)據(jù)處理結(jié)果，樣本均值為997分。問(wèn)題：估計(jì)7,000個(gè)優(yōu)秀學(xué)生的平均SAT成績(jī)57時(shí)的單一總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)舉例，教材168頁(yè)58s未知

大樣本時(shí)的總體均值區(qū)間估計(jì)