第3講：非線性時間序列模型

第3講：非線性時間序列模型3.1一般非線性時間序列模型介紹3.2

條件異方差模型3.1一般非線性時間序列模型介紹在非線性時間序列分析中，選擇合適的非線性模型是首要工作。一般的非線性模型有如下形式：其中，

為滿足某些解析條件的非線性函數(shù)，為白噪聲序列。一些特殊的非線性時間序列模型（1）雙線性模型其中，為非負整數(shù)，為白噪聲序列。注：當所有都為零時，上式表示的就是ARMA(p,q)模型。因此雙線性模型就是在ARMA模型基礎上添加了表現(xiàn)非線性特征的乘積交叉項?？紤]如下簡單的雙線性模型上述模型可以看作是自回歸系數(shù)為的AR(1)模型，只是此時的自回歸系數(shù)比較特殊，是個隨機變量。（2）可加非線性自回歸模型其中，為常數(shù)，為個一元非參數(shù)型的未知函數(shù)，為白噪聲序列。（3）函數(shù)系數(shù)自回歸模型其中，為常數(shù)，為個一元非參數(shù)型的未知函數(shù)，為白噪聲序列。3.2

條件異方差模型在自回歸移動平均模型中，我們主要討論平穩(wěn)時間序列的建模問題，由于針對平穩(wěn)序列，實際上假定任一時點的隨機誤差項的期望值是相同的，一般為0，同時假定任一隨機誤差項平方的期望值就是隨機誤差的方差，即同方差。但是在金融市場上，金融資產(chǎn)報酬序列具有這樣的特性，大的報酬緊連著大的報酬，小的報酬緊連著小的報酬，稱為波動集群性(Mandelbrot,1963、Fama,1965)。波動集群性表明報酬波動是時變的，表明是異方差。異方差雖然不會影響回歸系數(shù)的最小二乘估計的無偏性，但是將影響到回歸系數(shù)估計的標準差和置信區(qū)間。圖1收益絕對值序列(1995-2000年日元兌美元匯率)這種序列的特征是（1）過程的方差不僅隨時間變化，而且有時變化得很激烈（異方差）；（2）按時間觀察，表現(xiàn)出“波動集群”（volatilityclustering）特征，即方差在一定時段中比較小，而在另一時段中比較大。（3）從取值的分布看表現(xiàn)的則是“高峰厚尾”（leptokurtosisandfat-tail）特征，即均值附近與尾區(qū)的概率值比正態(tài)分布大，而其余區(qū)域的概率比正態(tài)分布小。圖2給出高峰厚尾分布示意圖。圖2高峰厚尾分布示意圖顯然現(xiàn)期方差與前期的“波動”有關系。描述這類關系的模型稱為自回歸條件異方差（ARCH）模型（

Engle(恩格爾)，1982）。ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下，某一時刻一個噪聲的發(fā)生是服從正態(tài)分布。該正態(tài)分布的均值為零，方差是一個隨時間變化的量(即為條件異方差)。并且這個隨時間變化的方差是過去有限項噪聲值平方的線性組合(即為自回歸)。這樣就構(gòu)成了自回歸條件異方差模型。ARCH模型

為了說得更具體，讓我們回到k-變量回歸模型：(1)如果

ut

的均值為零，對yt

取基于(t-1)時刻的信息Ωt-1的期望，即E(yt|Ωt-1)，有如下的關系：

(2)由于yt

的均值近似等于式（1）的估計值，所以式（1）也稱為均值方程。

假設在時刻

(t1)

所有信息已知的條件下，擾動項ut的條件分布是：

(3)也就是，ut

遵循以0為均值，(0+1u2t-1)為方差的正態(tài)分布。

由于(3)中ut

的方差依賴于前期的平方擾動項，我們稱它為ARCH(1)過程：通常用極大似然估計得到參數(shù)0,1,2,,k,0,1的有效估計。容易加以推廣，ARCH

(q)過程可以寫為：

(4)這時方差方程中的(q+1)個參數(shù)0,1,2,,q也要和回歸模型中的參數(shù)0,1,2,,k一樣，利用極大似然估計法進行估計。

在ARCH(q)

過程中，為使ut2方差平穩(wěn)，所以進一步要求相應的特征方程（5）的根全部位于單位圓外。如果i（i=1,2,…,q）都非負，式（5）等價于1+2+…+q1。ARCH模型主要的優(yōu)點ARCH模型突破了傳統(tǒng)時間序列模型中同方差的假設并更好地與金融實際相結(jié)合：（1）ARCH模型條件方差表達成過去干擾項的回歸函數(shù)形式，這種形式恰好能反映金融市場波動集聚性特點，即較大幅度的波動后緊接著較大幅度的波動，較小幅度的波動后緊接著較小幅度的波動；（2）ARCH能描述金融市場上資產(chǎn)收益率變量的厚尾性；（3）序列存在ARCH效應時，直接用最小二乘法估計參數(shù)會產(chǎn)生偏差，使用ARCH模型可以在一定程度上避免此偏差，提高參數(shù)的估計精度，提高預測精度。ARCH模型主要的缺陷：（1）在實際應用中為得到更好的擬合效果常常需要很大的階數(shù)q，此增大的計算量；（2）條件方差假設為線性函數(shù)，而現(xiàn)實中線性情況只是特例。GARCH模型若在干擾項本期條件方差的決定模型中引入條件方差本身的滯后值，如，便得到最簡單的GARCH（1,1）模型，即：

模型中給出的條件方差方程是下面三項的函數(shù)：（1）常數(shù)項：（2）用均值方程的殘差平方的一階滯后量來度量從前期得到的波動性的信息：（ARCH項）。（3）上一期的預測方差：（GARCH項）。

進一步擴展，GARCH(p,q)模型是指：

即模型中有條件方差的p階滯后和誤差平方項的q階滯后。相對于ARCH模型，GARCH模型的優(yōu)點在于：可以用低階的GARCH模型來代表高階的ARCH模型，從而使得模型的識別和估計都變得比較容易。GARCH模型僅僅包含三個參數(shù)就可以表達ARCH存在的無窮多個參數(shù)的方程。除了上述GARCH模型之外，ARCH模型主要還有一些一些推廣形式：（1）ARCH-M模型：描述資產(chǎn)預期收益與預期風險的關聯(lián)；（2）TARCH和EGARCH模型：都可以用來描述信息非對稱性。

ARCH類模型分析檢驗的一般步驟ARCH族模型分析一般包括如下五個主要步驟：

第一步，考察時間序列的統(tǒng)計特征。檢驗序列值的均值、方差、峰度（描述分布形態(tài)的陡緩程度，尾部的厚度）、偏度（相對于均值不對稱程度）及Jarque-Bera（正態(tài)分布檢驗）等指標，從而分析其正態(tài)性。如果序列顯示出高峰厚尾的分布特征（如序列呈偏態(tài)、峰度系數(shù)大于3）、Jarque-Bera統(tǒng)計量顯示其具有非正態(tài)性，則可初步表明，序列可能存在ARCH現(xiàn)象。

第二步，序列平穩(wěn)性檢驗只有時間序列是平穩(wěn)的，即其隨機特征不隨時間變化，那么我們才可以利用經(jīng)典線形回歸方法來對其進行接下來的研究。在此部分采用ADF來對平穩(wěn)性進行檢驗。如果ADF統(tǒng)計量小于相應的臨界值，則序列是平穩(wěn)的。如果ADF統(tǒng)計量大于相應的臨界值，則表明序列非平穩(wěn)。第三步，確定均值方程，正式檢驗殘差序列是否確實存在自回歸條件異方差。在對序列進行ADF檢驗，驗證其為平穩(wěn)序列后，用其前期值的自回歸模型表示均值方程，即：其滯后階數(shù)p可用自相關函數(shù)、偏自相關函數(shù)來確定，各參數(shù)可以用最小二乘法（OLS）求得?？梢酝ㄟ^ARCH-LM檢驗考察是否存在ARCH現(xiàn)象。該方法是對殘差平方按如下方程進行回歸：進而得到回歸可決系數(shù)R2?？梢宰C明TR2服從，其中T為觀察值的個數(shù)。故若TR2大于一定顯著性水平下的臨界值，則拒絕零假設H0：