數(shù)字通信第10章-tc 差錯控制編碼

第10章差錯控制編碼10.1概述10.2常用的幾種簡單分組碼10.3線性分組碼10.4循環(huán)碼10.5卷積碼*10.6網(wǎng)格編碼調(diào)制10.1概述10.1.1信道編碼在數(shù)字通信中，根據(jù)不同的目的，編碼可分為信源編碼和信道編碼。信源編碼是為了提高數(shù)字信號的有效性以及為了使模擬信號數(shù)字化而采取的編碼。信道編碼是為了降低誤碼率，提高數(shù)字通信的可靠性而采取的編碼。數(shù)字信號在傳輸過程中，加性噪聲、碼間串?dāng)_等都會產(chǎn)生誤碼。為了提高系統(tǒng)的抗干擾性能，可以加大發(fā)射功率，降低接收設(shè)備本身的噪聲，以及合理選擇調(diào)制、解調(diào)方法等。此外，還可以采用信道編碼技術(shù)。10.1.2差錯控制方式圖10-1差錯控制方式

1.檢錯重發(fā)方式檢錯重發(fā)又稱自動請求重傳方式，記作ARQ(AutomaticRepeatRequest)。由發(fā)端送出能夠發(fā)現(xiàn)錯誤的碼，由收端判決傳輸中無錯誤產(chǎn)生，如果發(fā)現(xiàn)錯誤，則通過反向信道把這一判決結(jié)果反饋給發(fā)端，然后，發(fā)端把收端認(rèn)為錯誤的信息再次重發(fā)，從而達(dá)到正確傳輸?shù)哪康?。其特點是需要反饋信道，譯碼設(shè)備簡單，對突發(fā)錯誤和信道干擾較嚴(yán)重時有效，但實時性差，主要在計算機(jī)數(shù)據(jù)通信中得到應(yīng)用。

2.前向糾錯方式前向糾錯方式記作FEC(ForwordErrorCorrection)。發(fā)端發(fā)送能夠糾正錯誤的碼，收端收到信碼后自動地糾正傳輸中的錯誤。其特點是單向傳輸，實時性好，但譯碼設(shè)備較復(fù)雜。

3.混合糾錯方式混合糾錯方式記作HEC(HybridErrorCorrection)是FEC和ARQ方式的結(jié)合。發(fā)端發(fā)送具有自動糾錯同時又具有檢錯能力的碼。收端收到碼后，檢查差錯情況，如果錯誤在碼的糾錯能力范圍以內(nèi)，則自動糾錯，如果超過了碼的糾錯能力，但能檢測出來，則經(jīng)過反饋信道請求發(fā)端重發(fā)。這種方式具有自動糾錯和檢錯重發(fā)的優(yōu)點，可達(dá)到較低的誤碼率，因此，近年來得到廣泛應(yīng)用。按照噪聲或干擾的變化規(guī)律，可把信道分為三類：隨機(jī)信道、突發(fā)信道和混合信道。恒參高斯白噪聲信道是典型的隨機(jī)信道，其中差錯的出現(xiàn)是隨機(jī)的，而且錯誤之間是統(tǒng)計獨立的。具有脈沖干擾的信道是典型的突發(fā)信道，錯誤是成串成群出現(xiàn)的，即在短時間內(nèi)出現(xiàn)大量錯誤。短波信道和對流層散射信道是混合信道的典型例子，隨機(jī)錯誤和成串錯誤都占有相當(dāng)比例。對于不同類型的信道，應(yīng)采用不同的差錯控制方式。10.1.3糾錯碼的分類

(1)根據(jù)糾錯碼各碼組信息元和監(jiān)督元的函數(shù)關(guān)系，可分為線性碼和非線性碼。如果函數(shù)關(guān)系是線性的，即滿足一組線性方程式，則稱為線性碼，否則為非線性碼。

(2)根據(jù)信息元和監(jiān)督元的函數(shù)關(guān)系涉及的范圍，可分為分組碼和卷積碼。分組碼的各碼元僅與本組的信息元有關(guān)；卷積碼中的碼元不僅與本組的信息元有關(guān)，而且還與前面若干組的信息元有關(guān)。

(3)根據(jù)碼的用途，可分為檢錯碼和糾錯碼。檢錯碼以檢錯為目的，不一定能糾錯；而糾錯碼以糾錯為目的，一定能檢錯。10.2糾錯編碼的基本原理

1.分組碼-n個碼元成一組，稱為一個碼字。

分組碼一般可用(n,k)表示。其中，n是編碼碼組的碼元總位數(shù)，又稱為碼組長度，簡稱碼長,k是每組二進(jìn)制信息碼元的數(shù)目。n-k=r為每個碼組中的監(jiān)督碼元數(shù)目。簡單地說，分組碼是對每段k位長的信息組以一定的規(guī)則增加r個監(jiān)督元，組成長為n的碼字。在二進(jìn)制情況下，共有個不同的信息組，相應(yīng)地可得到個不同的碼字，稱為許用碼組。其余個碼字未被選用，稱為禁用碼組。在分組碼中，非零碼元的數(shù)目稱為碼字的漢明重量，簡稱碼重。例如，碼字10110，碼重w=3。兩個等長碼組之間相應(yīng)位取值不同的數(shù)目稱為這兩個碼組的漢明(Hamming)距離，簡稱碼距。例如11000與10011之間的距離d=3。碼組集中任意兩個碼字之間距離的最小值稱為碼的最小距離，用d０表示。最小碼距是碼的一個重要參數(shù)，它是衡量碼檢錯、糾錯能力的依據(jù)。2.檢錯和糾錯能力例如：重復(fù)碼----若分組碼碼字中的監(jiān)督元在信息元之后，而且是信息元的簡單重復(fù)。重復(fù)碼是一種簡單實用的檢錯碼，并有一定的糾錯能力。(2,1)重復(fù)碼，兩個許用碼組是00與11，d0=2，收端譯碼，出現(xiàn)01、10禁用碼組時，可以發(fā)現(xiàn)傳輸中的一位錯誤。(3,1)重復(fù)碼，兩個許用碼組是000與111,d0=3;當(dāng)收端出現(xiàn)兩個或三個1時，判為1，否則判為0。此時，可以糾正單個錯誤，或者該碼可以檢出兩個錯誤。碼的最小距離d0直接關(guān)系著碼的檢錯和糾錯能力；任一(n,k)分組碼，若要在碼字內(nèi):(1)檢測e個隨機(jī)錯誤，則要求碼的最小距離d0≥e+1;(2)糾正t個隨機(jī)錯誤，則要求碼的最小距離d0≥2t+1;(3)糾正t個同時檢測e(≥t)個隨機(jī)錯誤，則要求碼的最小距離d0≥t+e+1。

3.編碼效率用差錯控制編碼提高通信系統(tǒng)的可靠性，是以降低有效性為代價換來的。我們定義編碼效率R來衡量有效性:R=k/n其中,k是信息元的個數(shù)，n為碼長。對糾錯碼的基本要求是:檢錯和糾錯能力盡量強(qiáng)；編碼效率盡量高；編碼規(guī)律盡量簡單。實際中要根據(jù)具體指標(biāo)要求，保證有一定糾、檢錯能力和編碼效率，并且易于實現(xiàn)。10.3常用的幾種簡單分組碼10.3.1奇偶監(jiān)督碼奇偶監(jiān)督碼是在原信息碼后面附加一個監(jiān)督元，使得碼組中“1”的個數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)。或者說，它是含一個監(jiān)督元，碼重為奇數(shù)或偶數(shù)的(n,n-1)系統(tǒng)分組碼。奇偶監(jiān)督碼又分為奇監(jiān)督碼和偶監(jiān)督碼。設(shè)碼字A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，對偶監(jiān)督碼有奇監(jiān)督碼情況相似，只是碼組中“1”的數(shù)目為奇數(shù)，即滿足條件而檢錯能力與偶監(jiān)督碼相同。奇偶監(jiān)督碼的編碼效率R為10.3.2水平奇偶監(jiān)督碼（克服不能檢測突發(fā)錯誤的缺點）

110010100000100001101001111000011100111000001010101010111000111100信息碼元監(jiān)督元10.3.3行列監(jiān)督碼（克服不能發(fā)現(xiàn)偶數(shù)個錯誤的缺點）圖10-2(66,50)行列監(jiān)督碼10.3.4群計數(shù)碼將信息碼元中“1”的個數(shù)用二進(jìn)制表示，放在信息元后面作為監(jiān)督元。如1010111，有5個1，監(jiān)督元為101，所以群計數(shù)碼為101011110110.3.5恒比碼碼字中1的數(shù)目與0的數(shù)目保持恒定比例的碼稱為恒比碼。由于恒比碼中，每個碼組均含有相同數(shù)目的1和0，因此恒比碼又稱等重碼，定1碼。這種碼在檢測時，只要計算接收碼元中1的數(shù)目是否正確，就知道有無錯誤。

目前我國電傳通信中普遍采用3∶2碼，又稱“5中取3”的恒比碼，即每個碼組的長度為5，其中3個“1”。許用碼組恰好可表示10個阿拉伯?dāng)?shù)字，如表10-1所示。而每個漢字又是以四位十進(jìn)制數(shù)來代表的。實踐證明，采用這種碼后，我國漢字電報的差錯率大為降低。表10-33∶2恒比碼10.4線性分組碼線性分組碼：每個監(jiān)督元都是某些信息元的模二和。如：(7,4)分組碼。設(shè)其碼字為A=［a6

a5

a4

a3

a2

a1

a0］，其中前4位是信息元，后3位是監(jiān)督元，可用下列線性方程組來描述該分組碼，產(chǎn)生監(jiān)督元。10.4.1基本概念（10-4）表10-4(7,4)碼的碼字表10.4.2漢明碼一種用來糾正單個錯誤的線性分組碼，監(jiān)督元個數(shù)r與碼字長度n之間滿足關(guān)系：10.4.3監(jiān)督矩陣H(10-4)其中,P為r×k階矩陣，Ir為r×r階單位矩陣?？梢詫懗蒆=［PIr］形式的矩陣稱為典型監(jiān)督矩陣。

HAT=0T，說明H矩陣與碼字的轉(zhuǎn)置乘積必為零，可以用來作為判斷接收碼字A是否出錯的依據(jù)。并簡記為將(10-4)補(bǔ)充為下列方程10.4.4生成矩陣G

可改寫為矩陣形式典型生成矩陣10.4.5伴隨式(校正子)S和檢錯設(shè)發(fā)送碼組A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，在傳輸過程中可能發(fā)生誤碼。接收碼組B=［bn-1,bn-2,…,b1,b0］，則收發(fā)碼組之差定義為錯誤圖樣E，也稱為誤差矢量，即其中E=［en-1,en-2,…,e1,e0］，且當(dāng)bi=ai

當(dāng)bi≠ai

(10-23)式(10-23)也可寫作令S=BHT，稱為伴隨式或校正子。表10-7(7,4)碼S與E的對應(yīng)關(guān)系漢明碼的生成步驟：1.確定k和r2.選擇校正子S和錯誤圖樣E的對應(yīng)關(guān)系3.列出r個監(jiān)督方程4.求監(jiān)督元（或者生成矩陣）10.5循環(huán)碼表10-8(7,3)循環(huán)碼的全部碼組10.5.1循環(huán)特性在代數(shù)理論中，為了便于計算，常用碼多項式表示碼字。(n,k)循環(huán)碼的碼字，其碼多項式(以降冪順序排列)為10.5.2生成多項式及生成矩陣如果一種碼的所有碼多項式都是多項式g(x)的倍式，則稱g(x)為該碼的生成多項式。在(n,k)循環(huán)碼中任意碼多項式A(x)都是最低次碼多項式的倍式。如表10-4的(7,3)循環(huán)碼中，其它碼多項式都是g(x)的倍式，即循環(huán)碼的生成矩陣常用多項式的形式來表示例如(7,3)循環(huán)碼，n=7,k=3,r=4,其生成多項式及生成矩陣分別為10.4.2監(jiān)督多項式及監(jiān)督矩陣為了便于對循環(huán)碼編譯碼，通常還定義監(jiān)督多項式，令

其中g(shù)(x)是常數(shù)項為1的r次多項式，是生成多項式；h(x)是常數(shù)項為1的k次多項式，稱為監(jiān)督多項式。同理，可得監(jiān)督矩陣H

是h(x)的逆多項式。例如(7，3)循環(huán)碼，g(x)=x4+x3+x2+1，則其中10.6卷積碼10.6.1