滬科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)全冊(cè)教學(xué)課件（2023年1月修訂）

滬科版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)全冊(cè)教學(xué)課件24.1

旋轉(zhuǎn)第1課時(shí)

旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)第24章圓這些運(yùn)動(dòng)有什么共同的特點(diǎn)？情境引入旋轉(zhuǎn)的概念BOA45°問(wèn)題

觀察下面的現(xiàn)象，它有什么特點(diǎn)？觀察與思考

鐘表的指針在不停地轉(zhuǎn)動(dòng)，從

12時(shí)到

4時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了______度.120

把時(shí)針當(dāng)成一個(gè)圖形，那么它可以繞著中心固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度.

思考：怎樣定義這種圖形變換？

風(fēng)車風(fēng)輪的每個(gè)葉片在風(fēng)的吹動(dòng)下轉(zhuǎn)動(dòng)到新的位置.怎樣來(lái)定義這種圖形變換？

把葉片當(dāng)成一個(gè)平面圖形，那么它可以繞著平面內(nèi)中心固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度.在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到另一個(gè)圖形的變換，叫做旋轉(zhuǎn).OP′P旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的定義這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心.轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角.圖中的點(diǎn)

P旋轉(zhuǎn)后成為點(diǎn)

P'，這兩個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn).知識(shí)要點(diǎn)

若葉片

A

繞

O

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到葉片

B，則旋轉(zhuǎn)中心是______，旋轉(zhuǎn)角是_________，旋轉(zhuǎn)角等于____°，其中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)有_______、_______、_______、_______、_______、_______.點(diǎn)O∠AOB60F與

AA與

BB與

CC與

DD與

EE與

F填一填：ACDEFBO旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)方向確定一次圖形的旋轉(zhuǎn)時(shí)，必須明確：注意：①旋轉(zhuǎn)的范圍是“平面內(nèi)”，其中“旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度”稱為旋轉(zhuǎn)的三要素；②旋轉(zhuǎn)變換同平移、軸對(duì)稱一樣屬于全等變換.歸納：A．30°B．45°C．90°D．135°例1如圖，點(diǎn)

A、B、C、D都在方格紙的格點(diǎn)上，若△AOB繞點(diǎn)

O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△COD的位置，則旋轉(zhuǎn)的角度為(

)解析：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線的夾角，就是旋轉(zhuǎn)角，由圖可知，OB、OD是對(duì)應(yīng)邊，∠BOD是旋轉(zhuǎn)角，所以旋轉(zhuǎn)角為90°.故選C.CCDABO典例精析旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)合作探究ABB′A′C．M．．．．45°繞點(diǎn)

C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°△ABC如何運(yùn)動(dòng)到△A′B′C的位置？N'NM′旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)_____；圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)有________________________________________________；圖中對(duì)應(yīng)線段有_______________________________；每對(duì)對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度關(guān)系是_____；圖中旋轉(zhuǎn)角等于_____°.C

點(diǎn)

A與點(diǎn)

A′，點(diǎn)

B與點(diǎn)

B′，點(diǎn)

M與點(diǎn)

M′，點(diǎn)

N與點(diǎn)

N′CA與

CA′、CB與

CB′、AB與

A′B′45相等根據(jù)右圖填空：B'A'C'ABCOAO=A'O，BO=B'O，CO=C'O∠AOA'=∠BOB'=∠COC'觀察下圖，你能找到三角形外相等的角和線段嗎？2.兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋

轉(zhuǎn)中心的連線所成的

角相等，都等于旋轉(zhuǎn)角；EABFCO1.對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的

距離相等；3.旋轉(zhuǎn)中心是唯一不動(dòng)的點(diǎn).旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知識(shí)要點(diǎn)DABO例2下圖為4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，你能畫(huà)出△OAB旋轉(zhuǎn)后的圖形△OA′B′嗎？A′B′DABCEE′例3

如圖，點(diǎn)

E是正方形

ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接

AE，BE，CE，將△ABE繞點(diǎn)

B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′處，若

AE＝1，BE＝2，CE＝3，則∠BE′C＝____度.解析：連接

EE′.

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知

AE=CE′

=1，BE=BE′，∠EBE′=90°，∴∠BE'E=45°，EE′=在△EE′C中，CE′2+EE′2=9=CE2，∴∠EE′C=90°.∴∠BE′C=∠BE′E+∠EE′C=135°.135例4

如圖，將等腰△ABC

繞頂點(diǎn)

B

逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

α°

到△A1BC1

的位置，AB

與

A1C1

相交于點(diǎn)

D，AC

與

A1C1，BC1

分別交于點(diǎn)

E，F(xiàn)．（1）求證：△BA1D≌△BCF；ACBA1C1EDF證明：在等腰△ABC

中，AB

=

BC，∠A

=∠C.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得A1B

=

AB

=

BC，∠A

=∠A1

=∠C，∠A1BD

=∠CBF.在△BA1D

與△BCF

中，∴△BA1D≌△BCF（ASA）.ACBA1C1EDF（2）當(dāng)∠C

=

α°

時(shí)，判定四邊形

A1BCE

的形狀，并說(shuō)明理由.解：四邊形

A1BCE

是菱形，理由如下：∵∠FBC=∠C=

α°，∠C=∠C1

=

α°，∴∠FBC=∠C1，A1C1∥BC.∴∠C1EC

=∠C.又∵△ABC，△A1BC1

為等腰三角形，∴∠A1

=∠C1

=∠C，∠A1

=∠C1EC.∴

A1B∥CE.∴

四邊形

A1BCE

是平行四邊形.又∵A1B

=

BC，∴

□

A1BCE

是菱形.ACBA1C1EDF旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形活動(dòng)在硬紙板上剪下兩張如下的圖形，然后將它們疊放在一起，在其中心釘上一枚圖釘，然后旋轉(zhuǎn)上面的硬紙板，旋轉(zhuǎn)多少角度后，它能與下面的硬紙板重合？合作探究

在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度

θ

(0°＜θ＜360°)后，能夠與原圖形重合，這樣的圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心.

知識(shí)要點(diǎn)做一做下圖中不是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的是()B例5

如圖是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的五角星，若將它繞中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身重合，則至少應(yīng)將它旋轉(zhuǎn)

(

)A．60°B．72°C．90°D．144°解析：如圖，點(diǎn)

O

是五角星的中心，則∠AOB

=∠BOC

=∠COD

=∠DOE

=∠AOE．∵

它們都等于旋轉(zhuǎn)角，且和為

360°，∴

至少將它繞中心旋轉(zhuǎn)

360°÷5

=

72°，才能使其旋轉(zhuǎn)后與自身重合．BOABDEC將一個(gè)菱形繞它的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使它和原來(lái)的菱形重合，那么旋轉(zhuǎn)的角度至少是(

)A．360°B．270°C．180°D．90°C練一練1.下列事件中，屬于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的是(

)A．小明向北走了4米B．小朋友們?cè)谑幥锴r(shí)做的運(yùn)動(dòng)C．電梯從1樓上升到12樓D．一物體從高空墜下B2.下列圖形中，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)為(

)A．1

B．2

C．3

D．4C3.要使下面的圖形旋轉(zhuǎn)后與自身重合，至少應(yīng)將它繞

中心按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的度數(shù)為(

)

A．30°B．60°C．120°D．180°解析：此圖形可看作是把一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形等分為6個(gè)部分，每部分被分成的角是60°，故至少應(yīng)旋轉(zhuǎn)60°角才能與自身重合．B4.如圖，△A′OB′是△AOB繞點(diǎn)

O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

得到的.已知∠AOB=20°，∠A′OB=24°，AB=3，

OA=5，則

A′B′=

，OA′=

，旋轉(zhuǎn)角為

°.3544

5.如圖，正方形

A′B′C′D′是由正方形

ABCD按順時(shí)針?lè)?/p>

向旋轉(zhuǎn)

45°

而成的.（1）若

AB=4，則

S正方形A′B′C′D′=

；（2）∠BAB′=

°，

∠B′AD=

°；

（3）若連接

BB′，則

∠ABB′=

°.16454567.5ABCDE6.如圖，將Rt△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定

角度得Rt△ADE，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC

邊上.若AC=，∠B=60°，則CD的長(zhǎng)為

.1解析：在

Rt△ABC中，AC=，∠B=60°，

∴AB=

1，BC=

2.由旋轉(zhuǎn)得

AD=

AB，∴△ABD為等邊三角形.∴BD=AB=1.∴

CD=

BC－BD=

2－1

=

1.7.在圖中，將大寫(xiě)字母A

繞它的上頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

90°，作出旋轉(zhuǎn)后的圖案，同時(shí)作出字母A

向左平移5個(gè)單位的圖案.OCBEDC1B1D1

E1O2C2B2E2D2

能力提升：8.如圖，K是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，以AK為一邊作

正方形

AKLM，使L、M在AK的同旁，連接BK和

DM．試用旋轉(zhuǎn)的思想說(shuō)明線段

BK與

DM的數(shù)量關(guān)

系和位置關(guān)系．解：BK=DM，BK⊥DM.簡(jiǎn)要思路：由題意知，△ABK繞點(diǎn)

A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

得到△ADM，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BK=DM，BK⊥DM.ABCDKLM通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)活動(dòng)，你有什么收獲？謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時(shí)上課，不得無(wú)故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問(wèn)候。上課時(shí)衣著要整潔，不得穿無(wú)袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無(wú)關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽(tīng)課時(shí)有問(wèn)題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問(wèn)。上課期間離開(kāi)教室須經(jīng)老師允許后方可離開(kāi)。上課必須按座位表就坐。要愛(ài)護(hù)公共財(cái)物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫(xiě)、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開(kāi)教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。第2課時(shí)中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形24.1

旋轉(zhuǎn)第24章圓從

A旋轉(zhuǎn)到

B，旋轉(zhuǎn)中心是什么？旋轉(zhuǎn)角是多少？OABCD從

A旋轉(zhuǎn)到

C呢?從

A旋轉(zhuǎn)到

D呢?情境引入桌上有四張牌，將其中一張牌旋轉(zhuǎn)

180°

后牌面圖案沒(méi)有發(fā)生變化，你很快能猜出是哪一張嗎？中心對(duì)稱的性質(zhì)及其作圖重合OADBC

問(wèn)題1

觀察下列圖形的運(yùn)動(dòng)，說(shuō)一說(shuō)它們有什么共同點(diǎn).旋轉(zhuǎn)角都是180°觀察與思考O

如圖，將△ABC繞定點(diǎn)O

旋轉(zhuǎn)180°，得到△DEF，這時(shí)，△ABC與△DEF關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱叫做中心對(duì)稱，點(diǎn)

O就是對(duì)稱中心.知識(shí)要點(diǎn)ABCDEFO填一填：

如圖，△OCD與△OAB關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，則點(diǎn)___是對(duì)稱中心，點(diǎn)A與點(diǎn)___是對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)___是對(duì)稱點(diǎn).OBCADOCD1.中心對(duì)稱是一種特殊的旋轉(zhuǎn).其旋轉(zhuǎn)角是180°.2.中心對(duì)稱是兩個(gè)圖形之間一種特殊的位置關(guān)系.歸納總結(jié)問(wèn)題2

下圖中△A′B′C′與△ABC關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，對(duì)稱中心O與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線有什么關(guān)系?ABCB′C′OA′1.成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心（即每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與對(duì)稱中心三點(diǎn)共線），

且被對(duì)稱中心所平分.2.成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形.中心對(duì)稱的性質(zhì)：知識(shí)要點(diǎn)例1

如圖，已知四邊形ABCD和點(diǎn)

O，試畫(huà)出四邊形ABCD關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱的圖形A'B'C'D'.ABCDO分析：要畫(huà)出四邊形

ABCD關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱的圖形，只要畫(huà)出

A，B，C，D四點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)

O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再順次連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可.典例精析ABCD作法：1.連接AO并延長(zhǎng)到A'，使OA'=OA，得到點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'；D'2.同理，可作出點(diǎn)

B，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

B'，C'，D'；3.順次連接

A'，B'，C'，D'.則四邊形

A'B'C'D'即為所作.OA'B'C'【變式題】如圖，已知△ABC與△A′B′C′中心對(duì)稱，找出它們的對(duì)稱中心

O.ABCA′B′C′解法1：根據(jù)觀察，B、B′應(yīng)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接

BB′，用刻度尺找出

BB′的中點(diǎn)

O，則點(diǎn)

O即為所求（如圖）.OO解法2：根據(jù)觀察，B、B′及

C、C′應(yīng)是兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接

BB′、CC′，相交于點(diǎn)

O，則點(diǎn)

O即為所求(如圖).ABCA′B′C′注：如果限定只能用無(wú)刻度直尺作圖，我們可用解法2.例2

如圖，已知△AOB與△DOC成中心對(duì)稱，△AOB的面積是12，AB=3，則△DOC中

CD邊上的高為_(kāi)__.解析：設(shè)

AB邊上的高為

h．∵△AOB的面積是12，AB＝3，易得

h＝8．

又∵△AOB與

△DOC成中心對(duì)稱，∴△COD≌△AOB．∴△DOC中

CD邊上的高是8．8中心對(duì)稱圖形AB將下面的圖形繞

O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，你有什么發(fā)現(xiàn)？O（1）都繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了180度；（2）都與原圖形完全重合.觀察與思考O

把一個(gè)圖形繞某一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)就是對(duì)稱中心.BACD中心對(duì)稱圖形的定義注意：中心對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形.知識(shí)要點(diǎn)O√√(1)(2)(3)√(4)做一做：下列圖形中哪些是中心對(duì)稱圖形？×在生活中，有許多中心對(duì)稱圖形，你能舉出一些例子嗎？

例3

如圖，矩形

ABCD的對(duì)角線

AC和

BD相交于點(diǎn)

O，過(guò)點(diǎn)

O的直線分別交

AD和

BC于點(diǎn)

E、F，AB=2，BC=3，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)___.解析：由于矩形是中心對(duì)稱圖形，所以依題意可知△BOF與△DOE關(guān)于點(diǎn)

O成中心對(duì)稱，由此圖中陰影部分的三個(gè)三角形就可以轉(zhuǎn)化到Rt△ADC中，易得陰影部分的面積為3．3例4如圖，已知

E(－4，2)，F(xiàn)(－1，－1)，以O(shè)為中心，作△EFO的中心對(duì)稱圖形，則點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

E′的坐標(biāo)為_(kāi)________．解析：由中心對(duì)稱可得到新的點(diǎn)與原來(lái)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∴

點(diǎn)E

(－4，2)

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′的坐標(biāo)為(4，－2)．(4，－2)方法總結(jié)：關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的兩點(diǎn)，橫、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)．圖(1)圖(2)解密魔術(shù)1.判斷正誤：

（1）成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定是全等形，但全等的兩個(gè)圖形不一定是軸對(duì)稱的圖形.（）

（2）成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定是全等形.但全等的兩個(gè)圖形不一定是成中心對(duì)稱的圖形.（）

（3）全等的兩個(gè)圖形，不是成中心對(duì)稱的圖形，就是成軸對(duì)稱的圖形.（）√√×2.如下所示的

4

組圖形中，左邊數(shù)字與右邊數(shù)字成中

心對(duì)稱的有(

)

A.1組

B.2組

C.3組

D.4組C3.下列標(biāo)志圖中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是(

)B4.如圖，□ABCD中，△AOB繞著點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)

180°

后，能夠與

重合，則這一點(diǎn)稱為

，點(diǎn)

A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是

，△AOD與△COB關(guān)于點(diǎn)

成

對(duì)稱.ABDCOO△COD對(duì)稱中心點(diǎn)

CO中心5.如圖，線段AB和CD關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，若∠B=40°，則∠D的度數(shù)為

.ＯBCAD40°6.如圖的網(wǎng)格中有一個(gè)四邊形和兩個(gè)三角形．(1)請(qǐng)你先畫(huà)出三個(gè)圖形關(guān)于

點(diǎn)

O成中心對(duì)稱的圖形；(2)將(1)中畫(huà)出的圖形與原圖形看成一個(gè)整體圖形，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)整體圖形對(duì)稱軸的條數(shù)；這個(gè)整體圖形至少旋轉(zhuǎn)多少度才能與自身重合?O解：這個(gè)整體圖形的對(duì)稱軸有4條；此圖形最少旋轉(zhuǎn)

90°

才能與自身重合．能力提升：7.用無(wú)刻度的直尺畫(huà)一條直線把下面圖形分成面積相等的兩部分，你怎樣畫(huà)？方法總結(jié)：對(duì)于這種由兩個(gè)中心對(duì)稱圖形組成的復(fù)合圖形，平分面積時(shí)，關(guān)鍵找到它們的對(duì)稱中心，再過(guò)對(duì)稱中心作直線.通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)活動(dòng)，你有什么收獲？謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時(shí)上課，不得無(wú)故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問(wèn)候。上課時(shí)衣著要整潔，不得穿無(wú)袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無(wú)關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽(tīng)課時(shí)有問(wèn)題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問(wèn)。上課期間離開(kāi)教室須經(jīng)老師允許后方可離開(kāi)。上課必須按座位表就坐。要愛(ài)護(hù)公共財(cái)物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫(xiě)、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開(kāi)教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。24.1

旋轉(zhuǎn)第3課時(shí)旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用第24章圓你能找出圖案中的全等圖形嗎？這幅圖案可看成是怎樣制作的呢？圖片引入運(yùn)動(dòng)美★★★★★★★★★★★★組合美坐標(biāo)平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)變換AB122－1－2－2xyO1－1合作探究B

如圖，△AOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(2，1)，O(0，0)，B(2，0).(1)分別畫(huà)出△AOB以原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°、180°、270°、360°

而得到的△A′OB′，并填寫(xiě)表格.A122－1－2－2xyO1－1B原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)A(2，1)O(0，0)B(2，0)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)90°旋轉(zhuǎn)180°旋轉(zhuǎn)270°旋轉(zhuǎn)360°(－1，2)(－2，－1)(1，－2)(2，1)(0，0)(0，2)(0，0)(0，0)(0，0)(－2，0)(0，－2)(2，0)(2)分別比較點(diǎn)A′與點(diǎn)A、點(diǎn)B′與點(diǎn)B、點(diǎn)C與點(diǎn)C′的坐標(biāo)，能得到怎樣的結(jié)論？

通過(guò)作圖、分析能看到，把一個(gè)圖形以坐標(biāo)原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心作幾個(gè)特殊角度的旋轉(zhuǎn)，可得如下結(jié)果：原圖形上任一點(diǎn)的坐標(biāo)以點(diǎn)

O為旋轉(zhuǎn)中心按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)(－y，x)(－x，－y)(y，－x)(x，y)旋轉(zhuǎn)90°旋轉(zhuǎn)180°旋轉(zhuǎn)270°旋轉(zhuǎn)360°練一練1.如圖，在方格紙上建立的平面直角坐標(biāo)系中，將△ABO

繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得△A′B′O，則點(diǎn)A′

的坐標(biāo)為

.

解析：根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)

A、B

旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

A′、B′

的位置，然后與點(diǎn)

O

順次連接即可.如圖，點(diǎn)

A′

的坐標(biāo)為

(1，3).(1，3)2.填空：(1)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2，－3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)P′的坐標(biāo)是________．(2)點(diǎn)M(3，－5)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后到達(dá)的位置是

________．(3)點(diǎn)

P(2，n)與點(diǎn)

Q(m，－3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則

(m＋n)2023＝______．解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(2，n)與點(diǎn)Q(m，－3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以

m＝－2，n＝3．則(m＋n)2023＝(－2＋3)2023＝1.(－2，3)1(－3，5)例1

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)

B

的坐標(biāo)是(1，0)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，b)，將線段

BA

繞點(diǎn)

B

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°

得到線段

BA′，則點(diǎn)

A′

的坐標(biāo)是

．典例精析解析：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸，過(guò)點(diǎn)A′作A′D⊥x軸，垂足分別為C、D，顯然Rt△ABC≌Rt△BA′D.∵點(diǎn)A(a，b)，點(diǎn)B(1，0)，∴

OD＝OB＋BD＝OB＋AC＝1＋b，A′D＝BC＝OC－OB＝a－1.

∵

點(diǎn)A′在第四象限，∴

點(diǎn)

A′

的坐標(biāo)是

(b＋1，－a＋1)．動(dòng)態(tài)圖形的操作與圖案設(shè)計(jì)試說(shuō)出構(gòu)成下列圖形的基本圖形．觀察與思考（1）（2）（3）（4）基本圖案圖案的形成過(guò)程分析圖案的形成過(guò)程基本圖案圖案的形成過(guò)程分析圖案的形成過(guò)程歸納：圖形的變換可以通過(guò)選擇不同的變換方式得到，可能需要旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱、平移等多種變換組合才能得到完美的圖案.例2用四塊如圖(1)的正方形卡片拼成一個(gè)新的正方形，使拼成的圖案是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)你在圖(2)、圖(3)、圖(4)中各畫(huà)出一種拼法(要求三種畫(huà)法各不相同，且其中至少有一個(gè)既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形)．解：如圖所示.（答案不唯一）例3如圖是一個(gè)

4×4

的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.請(qǐng)你在網(wǎng)格中以左上角的三角形為基本圖形，通過(guò)平移、軸對(duì)稱或旋轉(zhuǎn)變換，設(shè)計(jì)一個(gè)精美圖案，使其滿足：①既是軸對(duì)稱圖形，又是以點(diǎn)

O

為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；②所作圖案用陰影標(biāo)識(shí)，且陰影部分面積為

4.分析：所給左上角的三角形的面積為1×1÷2＝0.5，故設(shè)計(jì)圖案總共需要陰影三角形4÷0.5＝8(個(gè)).解：答案不唯一，以下圖案供參考.1.在下列某品牌

T

恤的四個(gè)洗滌說(shuō)明圖案的設(shè)計(jì)中，沒(méi)有運(yùn)用旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱知識(shí)的是

(

)ABCDC3.若點(diǎn)

A(m，－2)，B(1，n)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則

m=

，

n=

.－122.將點(diǎn)P(2，－3)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

270°

得到的點(diǎn)P′

的坐標(biāo)為(

)A.(－2，－3)B.(－3，2)C.(－3，－2)D.(2，3)C4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－3，4)，將

OA

繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

至OA′，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)是

.(－4，－3)5.已知a＜0，則點(diǎn)P(－a2，－a+1)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)

P′在

象限.解析：∵點(diǎn)P

(－a2，－a+1)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(a2，a－1)，a＜0，∴a2＞0，a－1＜0，∴點(diǎn)P′在第四象限．第四6.如圖，△ABC

各頂點(diǎn)的坐標(biāo)為

A(－5，4)，B(－1，1)，

C(－5，1)．(1)將△ABC

繞著原點(diǎn)

O

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°

得到△A′B′C′，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出△A′B′C′；(2)寫(xiě)出點(diǎn)

A′

的坐標(biāo).A′BxyOCB′C′A解：(1)如圖所示.(2)A′

點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，5)．7.

如圖是五個(gè)小正方形在3×3的正方形網(wǎng)格中拼成的圖形，請(qǐng)你移動(dòng)其中一個(gè)或兩個(gè)小正方形，重新拼成一

個(gè)圖形，使得所拼成的圖形滿足下列條件，并分別畫(huà)

在圖①、圖②、圖③中（只需各畫(huà)一個(gè)）.①是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形；②是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形；③既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．圖①圖②圖③能力提升：8.試寫(xiě)出直線y=3x－5關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線的函數(shù)關(guān)系式.解：y=3x+5.通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)活動(dòng)，你有什么收獲？謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時(shí)上課，不得無(wú)故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問(wèn)候。上課時(shí)衣著要整潔，不得穿無(wú)袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無(wú)關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽(tīng)課時(shí)有問(wèn)題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問(wèn)。上課期間離開(kāi)教室須經(jīng)老師允許后方可離開(kāi)。上課必須按座位表就坐。要愛(ài)護(hù)公共財(cái)物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫(xiě)、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開(kāi)教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。24.2

圓的基本性質(zhì)第1課時(shí)與圓有關(guān)的概念及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系第24章圓觀察下列生活中的圖片，找一找你所熟悉的圖形.圖片引入騎車運(yùn)動(dòng)看了此畫(huà)，你有何想法?思考：車輪為什么做成圓形？做成三角形、正方形可以嗎？車輪為圓形的原理分析（請(qǐng)依次點(diǎn)擊按鈕觀看動(dòng)畫(huà)）：?jiǎn)栴}1

一些學(xué)生正在做投圈游戲，他們呈“一”字排開(kāi).這樣的隊(duì)形對(duì)每一人都公平嗎？你認(rèn)為他們應(yīng)當(dāng)排成什么樣的隊(duì)形？探究圓的概念合作探究甲丙乙丁為了使游戲公平，應(yīng)在目標(biāo)周圍圍成一個(gè)圓圈排隊(duì)，因?yàn)閳A上各點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑.為什么？·rOP?圓的旋轉(zhuǎn)定義

在平面內(nèi)，線段

OP繞著它固定的一個(gè)端點(diǎn)

O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)P所形成的封閉曲線叫做圓．固定的端點(diǎn)

O叫做圓心，線段

OP的長(zhǎng)r叫做半徑．以點(diǎn)

O

為圓心的圓，記作“⊙O”

讀作“圓

O”.問(wèn)題2

觀察畫(huà)圓的過(guò)程，你能說(shuō)出圓是如何畫(huà)出來(lái)的嗎？

一是圓心，圓心確定其位置；二是半徑，半徑確定其大?。膱A

等圓

半徑相同，圓心不同圓心相同，半徑不同?確定一個(gè)圓的要素(1)圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)

(圓心

O)的距離都等于

.(2)平面內(nèi)到定點(diǎn)

(圓心

O)的距離等于定長(zhǎng)

(半徑

r)

的所

有點(diǎn)都在

.

由此，我們可以得到圓的集合定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)

(圓心

O)的距離等于定長(zhǎng)

(半徑

r)

的所有點(diǎn)組成的圖形.Orrrrr定長(zhǎng)(半徑

r)同一個(gè)圓上想一想：從畫(huà)圓的過(guò)程可以看出什么呢？·例1如圖，已知

AB，CD

為⊙O的直徑.求證：AD∥CB.

典例精析證明：連接

AC，DB.∵AB，CD

為⊙O

的直徑，∴OA=OB，

OC=OD.∴四邊形

ADBC

為平行四邊形.∴AD∥CB.ABCDO矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O.求證：A、B、C、D在以O(shè)為圓心的同一圓上.ABCDO證明：∵四邊形

ABCD是矩形，∴∴A、B、C、D在以

O為圓心，以

OA為半徑的圓上.練一練問(wèn)題1

觀察下圖中點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有哪幾種？.o.C....B.A..有三種：點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系觀察與思考問(wèn)題2

設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓的半徑為r，量一量在點(diǎn)和圓三種不同位置關(guān)系下，d與r有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)P在⊙O內(nèi)

點(diǎn)P在⊙O上點(diǎn)P在⊙O外dddrPdPrd

Prd＜rr=＞r

反過(guò)來(lái)，由

d與

r的數(shù)量關(guān)系，怎樣判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系呢？1.⊙O

的半徑為

10

cm，A、B、C

三點(diǎn)到圓心的距離分

別為

8

cm、10

cm、12

cm，則點(diǎn)

A、B、C

與⊙O

的

位置關(guān)系是點(diǎn)

A

在

；點(diǎn)

B

在

；點(diǎn)

C

在

.

圓內(nèi)圓上圓外2.圓心為

O的兩個(gè)同心圓，半徑分別為1和2，若OP

=

，則點(diǎn)P在

(

)A.大圓內(nèi)B.小圓內(nèi)C.小圓外D.大圓內(nèi)，小圓外oD練一練點(diǎn)和圓的位置關(guān)系rPdPrd

PrdRrP點(diǎn)

P在⊙O內(nèi)

d<r點(diǎn)

P在⊙O上

d=r點(diǎn)

P在⊙O外

d>r

點(diǎn)

P在圓環(huán)內(nèi)

r≤d≤R數(shù)形結(jié)合：位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系知識(shí)要點(diǎn)例2如圖，已知矩形ABCD的邊AB=3，AD=4.（1）以A為圓心，4為半徑作⊙A，則點(diǎn)B、C、D與

⊙A的位置關(guān)系如何？解：∵AB=3＜4，∴點(diǎn)B在⊙A內(nèi)．∵AD=4，∴點(diǎn)D在⊙A上．∵＞4，∴點(diǎn)C在⊙A外.（2）若以

A點(diǎn)為圓心作⊙A，

使

B、C、D三點(diǎn)中至少

有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少

有一點(diǎn)在圓外，求⊙A

的半徑

r的取值范圍.解：由題意得，點(diǎn)

B一定在圓內(nèi)，點(diǎn)

C一定在圓外，∴

3＜r＜5.【變式題】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

(2，1)，P是x軸上一點(diǎn)，要使△PAO為等腰三角形，滿足條件的

P有幾個(gè)？求出點(diǎn)P的坐標(biāo).方法總結(jié)：在沒(méi)有明確腰和底邊的情況下，構(gòu)造等腰三角形要注意分類討論.·COAB??。?/p>

圓的有關(guān)概念(

連接圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，用符號(hào)“”表示.

如圖中的

和

．?弦：

·COAB

連接圓上任意兩點(diǎn)的線段（如圖中的

AB，AC）叫做弦.

經(jīng)過(guò)圓心的弦（如圖中的

AB）叫做直徑．注意：1.弦和直徑都是線段；2.直徑是特殊的弦，它經(jīng)過(guò)圓心，是圓中最長(zhǎng)的弦，但弦不一定是直徑.?半圓、優(yōu)弧及劣?。?/p>

圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．劣弧與優(yōu)弧·COAB半圓

大于半圓的弧（如圖中的

，一般用三個(gè)字母表示）叫做優(yōu)??；小于半圓的弧（如圖中的）叫做劣弧.?等圓：

·COA

能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓，等圓的半徑相等.·CO1A?等?。?/p>

在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.長(zhǎng)度相等的弧是等弧嗎？例3

如圖.(1)請(qǐng)寫(xiě)出以點(diǎn)

A為端點(diǎn)的劣弧及優(yōu)??；(2)請(qǐng)寫(xiě)出以點(diǎn)

A為端點(diǎn)的弦及直徑；

弦

AF，AB，AC.其中弦AB也是直徑.(3)請(qǐng)任選一條弦，寫(xiě)出這條弦所對(duì)的弧.ABCEFDO劣?。簝?yōu)?。捍鸢覆晃ㄒ?，如：弦

AF，它所對(duì)的弧是和

.練一練

有下列五個(gè)說(shuō)法：①半徑確定了，圓就確定了；②直徑是弦；③弦是直徑；④半圓是弧，但弧不一定是半圓；⑤任意一條直徑都是圓的對(duì)稱軸．其中錯(cuò)誤說(shuō)法的個(gè)數(shù)是(

)

A．1

B．2

C．3

D．4解析：根據(jù)圓、直徑、弦、半圓等概念來(lái)判斷．半徑只能確定圓的大小，不能確定圓的位置；直徑是弦，但弦不一定是直徑；對(duì)稱軸是直線，故應(yīng)說(shuō)任意一條直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸．故①③⑤錯(cuò)誤.C1.根據(jù)圓的定義，圓指的是“圓周”，而不是“圓面”；2.直徑是圓中最長(zhǎng)的弦.證明：·COAB

連接

OC．在△AOC中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系有

OA+OC>AC，而

AB=

2OA，OA=OC，∴AB>AC.知識(shí)要點(diǎn)例4

如圖，AB

是⊙O

的直徑，CD

是⊙O

的弦，AB，CD

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)

E.

已知

AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC

的度數(shù)．解：如圖，連接

OD.∵

AB

是⊙O

的直徑，OC，OD

是半徑，AB=2DE，∴OD=DE.∴∠DOE=∠E=18°.∴∠ODC=∠DOE＋∠E=36°.∵

OC=OD，∴∠C=∠ODC=36°.∴∠AOC=∠C＋∠E=36°＋18°=54°.例5如圖，MN是半圓

O的直徑，正方形

ABCD的頂點(diǎn)

A、D在半圓上，B、C在

MN上，求證：OB=OC.ⅠⅡ10？2x在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，即(2x)2+x2=102.ABOCDMN算一算：設(shè)⊙O的半徑為10，則正方形

ABCD的邊長(zhǎng)為

.x連接

OA，OD，則OA=OD，由三角形全等可證

OB=OC.xxxx【變式題】如圖，在扇形

MON中，∠MON

=45°，半徑

MO=NO=10，正方形

ABCD的頂點(diǎn)

B、C、D在半徑

上，頂點(diǎn)

A在圓弧上，求正方形

ABCD的邊長(zhǎng).解：連接

OA，如圖.又∵∠DOC=45°，∴CD=OC.設(shè)AB=x，則AB=BC=DC=OC=x.∵OA=OM=10，∴

(2x)2+x2=102.在Rt△ABO中，在正方形

ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=∠DCB=90°.解得45°1.判斷下列說(shuō)法的正誤，并說(shuō)明理由或舉反例.(1)弦是直徑；(2)半圓是弧；(3)過(guò)圓心的線段是直徑；(4)過(guò)圓心的直線是直徑；(5)半圓是最長(zhǎng)的弧；(6)直徑是最長(zhǎng)的弦；(7)長(zhǎng)度相等的弧是等弧.2.填空：（1）______是圓中最長(zhǎng)的弦，它是______的

2

倍．（2）圖中有

條直徑，

條非直徑的弦，

圓中以

A

為一個(gè)端點(diǎn)的優(yōu)弧有

條，

劣弧有

條．直徑半徑1244ABCDOFE

3.正方形

ABCD

的邊長(zhǎng)為

2

cm，以

A

為圓心，2

cm

長(zhǎng)為

半徑作⊙A，則點(diǎn)

B

在⊙A

；點(diǎn)

C

在⊙A

；點(diǎn)

D

在⊙A

.上外上4.如圖，MN為⊙O的弦，∠MON=70°，則∠M=

°.5.一點(diǎn)到⊙O上的最近距離為

4

cm，最遠(yuǎn)距離為

10

cm，

則這個(gè)圓的半徑是

.7cm或3cmMON55·2

cm3

cm6.畫(huà)出由所有到已知點(diǎn)

O

的距離大于或等于

2

cm

并且

小于或等于

3

cm

的點(diǎn)組成的圖形.O7.如圖，OA、OB

是⊙O

的半徑，點(diǎn)

C、D

分別為

OA、

OB

的中點(diǎn)，求證：AD=BC.證明：∵

OA、OB

是⊙O

的半徑，∴

OA=OB.∵

點(diǎn)

C、D

分別為

OA、OB

的中點(diǎn)，∴

OA=2OC，OB=2OD.∴

OC=OD.又∵∠O=∠O，∴△AOD≌△BOC

(SAS).∴

BC=AD.解：漁船應(yīng)沿著射線

OP

的方向航行才能盡快離開(kāi)危險(xiǎn)區(qū)．理由如下：設(shè)射線

OP

交⊙O

于點(diǎn)

A，過(guò)點(diǎn)

P

任意作一條弦

CD，連接

OD.在△ODP中，OD－OP＜PD，又∵OD=OA，∴OA－OP＜PD.∴

PA＜PD，即

PA

為最短路線，故漁船沿射線

OP

方向航行才能盡快離開(kāi)危險(xiǎn)區(qū).能力提升：8.如圖，點(diǎn)

O

處有一燈塔，警示⊙O

內(nèi)部為危險(xiǎn)區(qū)，一漁船誤入危險(xiǎn)區(qū)點(diǎn)

P

處，該漁船應(yīng)該按什么方向航行才能盡快離開(kāi)危險(xiǎn)區(qū)？試說(shuō)明理由．ADPCO通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)活動(dòng)，你有什么收獲？謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時(shí)上課，不得無(wú)故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問(wèn)候。上課時(shí)衣著要整潔，不得穿無(wú)袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無(wú)關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽(tīng)課時(shí)有問(wèn)題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問(wèn)。上課期間離開(kāi)教室須經(jīng)老師允許后方可離開(kāi)。上課必須按座位表就坐。要愛(ài)護(hù)公共財(cái)物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫(xiě)、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開(kāi)教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。第2課時(shí)垂徑分弦24.2

圓的基本性質(zhì)第24章圓視頻引入點(diǎn)擊視頻開(kāi)始播放→

趙州橋的主橋是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦長(zhǎng))為

37.4m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為

7.2m，你知道如何求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？垂徑定理及其推論合作探究問(wèn)題1

在紙上任意畫(huà)一個(gè)⊙O，沿⊙O的一條直徑將

⊙O折疊，你發(fā)現(xiàn)了什么？O圓是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是圓所在平面內(nèi)任意一條過(guò)圓心的直線.

問(wèn)題2

已知：如圖，在⊙O

中，CD

是直徑，AB

是弦，且

CD⊥AB，垂足為

E.求證：AE

=EB，

，.證明：連接

OA，OB，則

OA

=OB.∵CD⊥AB，∴OE⊥AB.∴

OE

平分

AB，即

CD

垂直平分

AB．∴點(diǎn)

A

與點(diǎn)

B

關(guān)于直線

CD

對(duì)稱.·OABDEC分析：只要能說(shuō)明⊙O

關(guān)于直線CD對(duì)稱，那么所有結(jié)論都能得證.同理，如果點(diǎn)

P

是⊙O

上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

P

作直線

CD

的垂線，與⊙O

相交于另一點(diǎn)

Q，則點(diǎn)

P

與點(diǎn)

Q

也關(guān)于直線

CD

對(duì)稱．∴⊙O

關(guān)于直線

CD

對(duì)稱.∴

AE

=EB，，.P·OABDECQ垂徑定理·OABCDE

垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.∵CD是

⊙O

的直徑，CD⊥AB，推導(dǎo)格式：溫馨提示：垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理，三種語(yǔ)言要會(huì)相互轉(zhuǎn)化，形成整體，才能運(yùn)用自如.歸納總結(jié)∴AE=BE，

，想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明為什么.是不是，因?yàn)闆](méi)有垂直是不是，因?yàn)?/p>

AB，CD都不是直徑OABCABOEABDCOEABOCDE垂徑定理的幾種基本圖形：ABOCDEABOEDABODCABOC歸納總結(jié)

如果直徑平分弦（不是直徑），那么該直徑垂直于這條弦，且平分這條弦所對(duì)的兩條弧嗎？思考：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑

CD，使

AE=BE.(1)CD⊥AB嗎？為什么？(2)

與

相等嗎？

與

相等嗎？為什么？·OABCDE解：(1)CD⊥AB，理由如下：連接

AO，BO，如圖，則

AO=BO.又∵AE=BE，OE=OE，∴△AOE≌△BOE（SSS）.∴∠AEO=∠BEO=90°，即

CD⊥AB.(2)由垂徑定理可得

=

，

=.思考：“不是直徑”這個(gè)說(shuō)明能去掉嗎？如果不能，請(qǐng)舉出反例.

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理的推論·OABCD特別說(shuō)明：圓的兩條直徑是互相平分的.歸納總結(jié)例

1

如圖，⊙O的半徑為

5cm，弦

AB為6cm，求圓心到弦

AB的距離.·OABE解：連接

OA，過(guò)

O作OE⊥AB于

E，則又∵OA

=

5

cm，∴在

Rt△OEA

中，垂徑定理及其推論的計(jì)算典例精析答：圓心到弦

AB的距離是4cm.圓心到弦的距離叫做弦心距【變式題】如圖，OE⊥AB于

E，若⊙O的半徑為10cm，OE=6cm，則

AB=

cm.·OABE解析：連接

OA，如圖.∵OE⊥AB，∴AB=2AE=2×8=16（cm）.16∴例2

如圖，⊙O的弦

AB=8cm，直徑

CE⊥AB于

D，DC=2cm，求半徑

OC的長(zhǎng).·OABECD解：連接

OA．∵

CE⊥AB于

D，∴設(shè)OC=xcm，則

OD=(x－2)cm.根據(jù)勾股定理，得解得x=5.即半徑

OC的長(zhǎng)為5cm.x2=42+(x－2)2，例3已知：⊙O中弦

AB∥CD，求證：=..MCDABON證明：作直徑MN⊥AB，如圖.∵

AB∥CD，∴

MN⊥CD.則=，=.（垂直平分弦的直徑平分弦所對(duì)的弧）∴－=－.∴=.

解決有關(guān)弦的問(wèn)題，經(jīng)常過(guò)圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，并構(gòu)造半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.歸納總結(jié)例4趙州橋的主橋是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦長(zhǎng))為37.4m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，求趙州橋主橋拱的半徑.垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用由垂徑定理，得

AD=AB=18.7m，設(shè)⊙O的半徑為

R.在Rt△AOD中，AO=R，OD=R-7.2，AD=18.7.由勾股定理，得ABOCD解得R≈27.9.即趙州橋主橋拱的半徑約為27.9m.∴R2=(R

-

7.2)2

+18.72，解：如圖，過(guò)橋拱所在圓的圓心

O作

AB的垂線，交

于點(diǎn)

C，交

AB于點(diǎn)

D，則

CD=7.2m.練一練：如圖

a、b，一弓形弦長(zhǎng)為cm，弓形所在的圓的半徑為

7cm，則弓形的高為＿_(dá)__＿＿_(dá)___.C

DCBOADOAB圖a圖b2cm或

12cm

在圓中解決有關(guān)弦長(zhǎng)

a，半徑

r，弦心距

d(圓心到弦的距離)，弓形高

h的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，常常通過(guò)連半徑或作弦的垂線段構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.垂徑定理中常見(jiàn)輔助線的添法弦長(zhǎng)

a，弦心距

d，弓形高

h，半徑

r之間的關(guān)系：弓形中的重要數(shù)量關(guān)系d+h=r

OABC·歸納總結(jié)ABCDOhrd1.已知⊙O中，弦

AB=8cm，圓心到

AB

的距離為

3cm，則此圓的半徑為

cm.52.已知⊙O的直徑

AB=20cm，∠BAC=30°，則弦AC=

cm.

3.（分類討論題）已知⊙O的半徑為

10cm，弦

MN∥EF，且

MN=12cm，EF=16cm，則弦

MN和

EF之間的距離為

cm.14或24.如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于

D，OE⊥AC于

E，求證：四邊形

ADOE是正方形．D·OABCE證明：∵∴四邊形

ADOE為矩形，又∵

AC=AB，∴AE=AD.∴四邊形

ADOE為正方形.∴

5.如圖，在以

O

為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦

AB

交小圓于

C，D

兩點(diǎn).你認(rèn)為

AC和

BD

相等嗎？為什么？解：AC=BD.理由如下：

過(guò)點(diǎn)

O作

OE⊥AB，垂足為

E.則

AE=BE，CE

=

DE.∴AE－CE=BE－DE，

即

AC=BD..ACDBOE方法總結(jié)：解決有關(guān)弦的問(wèn)題，常過(guò)圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑．解：連接

OC，如圖.

●

OCDEF┗根據(jù)勾股定理，得6.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中的

，點(diǎn)

O是

的圓心)，其中

CD=600m，E為

上的一點(diǎn)，且

OE⊥CD，垂足為

F，EF=90m.求這段彎路的半徑.設(shè)這段彎路的半徑為

Rm，則

OF=(R-90)m.∵OE⊥CD，∴CF=CD=300(m).

●

OCDEF┗解得

R=545.∴這段彎路的半徑約為

545m.∴6.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中的

，點(diǎn)

O是

的圓心)，其中

CD=600m，E為

上的一點(diǎn)，且

OE⊥CD，垂足為

F，EF=90m.求這段彎路的半徑.拓展提升：7.如圖，⊙O的直徑為

10，弦

AB=8，P為

AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么

OP長(zhǎng)的取值范圍是

.3≤OP≤5BAOP通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)活動(dòng)，你有什么收獲？謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時(shí)上課，不得無(wú)故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問(wèn)候。上課時(shí)衣著要整潔，不得穿無(wú)袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無(wú)關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽(tīng)課時(shí)有問(wèn)題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問(wèn)。上課期間離開(kāi)教室須經(jīng)老師允許后方可離開(kāi)。上課必須按座位表就坐。要愛(ài)護(hù)公共財(cái)物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫(xiě)、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開(kāi)教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。第3課時(shí)圓心角、弧、弦、弦心距間關(guān)系24.2

圓的基本性質(zhì)第24章圓情境引入

飛鏢靶、鬧鐘以及被均分的蛋糕等圓形中，都存在著角，那么這些角有什么共同的特征呢？圓的對(duì)稱性觀察與思考把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，仍與原來(lái)的圓重合嗎？α圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，具有旋轉(zhuǎn)不變性，旋轉(zhuǎn)中心為圓心.·O圓心角概念學(xué)習(xí)OABM1.圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角，如∠AOB.3.圓心角∠AOB所對(duì)的弦為

AB.2.圓心角∠AOB

所對(duì)的弧為

.判斷下列各圖中的角是不是圓心角，并說(shuō)明理由.不是不是不是是練一練圓心角、弧、弦、弦心距間關(guān)系·OABCD由圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，我們發(fā)現(xiàn)：在☉O中，如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，OE=OF.（證明過(guò)程見(jiàn)課本）EF觀察與思考

在☉O中，如果∠AOB=∠COD，那么

與

，弦

AB與弦

CD，垂線段

OE與

OF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)弦的弦心距相等．①∠AOB

=∠COD③

AB

=

CDABODC要點(diǎn)歸納弧、弦與圓心角的關(guān)系定理EF④

OE

=

OF②想一想：定理“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等”中，可否把條件“在同圓或等圓中”去掉？為什么？不可以，如圖.ABODC·OABCDEF

在☉O中，如果

=

，那么圓心角∠AOB與

∠COD，AB與

CD，OE與

OF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

在☉O中，如果

AB=CD，那么圓心角∠AOB與∠COD，

與

，OE

與

OF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

在☉O中，如果

OE=OF，那么圓心角∠AOB與∠COD，AB與

CD，

與

有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及這兩個(gè)角所對(duì)的弧、所對(duì)的弦、所對(duì)弦的弦心距中，有一組量相等，那么其余各組量都分別相等．弧、弦與圓心角關(guān)系定理的推論要點(diǎn)歸納圓心角相等弦相等弦心距相等(3)圓心角相等，所對(duì)的弦相等.（

）(2)等弧所對(duì)的弦相等.（）(1)等弦所對(duì)的弧相等.（）××√練一練判斷正誤：典例精析例1

如圖，等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在☉O上.求證：∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.ABCO證明：連接

OA，OB，OC，如圖.∵AB=BC=CA，∴∠AOB=∠BOC=∠COA弧、弦與圓心角關(guān)系定理及推論的運(yùn)用∴AB=AC，△ABC是等腰三角形.又∵∠ACB=60°，∴△ABC是等邊三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.ABCO方法總結(jié)：弧、圓心角、弦之間等量關(guān)系的靈活轉(zhuǎn)化是解決圓相關(guān)問(wèn)題的重要法寶.【變式題】如圖，在☉O中，

=

，∠ACB=60°，求證：∠AOB=∠BOC=∠AOC.證明：∵

=

，

如圖，AB

是☉O的直徑，

∠COD

=35°，求∠AOE的度數(shù)．解：∵練一練·AOBCDE∴∴例2已知：如圖，點(diǎn)

O是∠FAD平分線上的一點(diǎn)，☉O分別交∠FAD的兩邊于點(diǎn)

C，D和點(diǎn)

E，F(xiàn).

求證：CD=EF.OADEFC證明：過(guò)點(diǎn)

O作

OK⊥CD，OH⊥EF，垂足分別為

K，H，如圖.H

K

∵點(diǎn)O

在∠FAD

的平分線上，∴CD=EF.∴OK=OH（角平分線的性質(zhì)）.例3

如圖，AB，CD是☉O的兩條直徑，CE為☉O的弦，且

CE∥AB，弧

CE為40°，求∠BOD的度數(shù).

OCEABD解：連接

OE，如圖.∵

弧

CE為40°，∴∠COE=40°.∵

CE∥AB，∴∠BOD=∠C=70°.1.