陜西省安康市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量聯(lián)考試題（一模） 數(shù)學(xué)（理） Word版含解析

絕密★啟用前安康市2023屆高三年級(jí)第一次質(zhì)量聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)（理科）考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)城內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與解三角形、平面向量與復(fù)數(shù)，數(shù)列、立體幾何．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則（）A．2B．C．D．2．記集合，則（）A．B．C．D．3．若，則（）A．B．C．D．4．設(shè)，則成立的一個(gè)必要不充分條件是（）A．B．C．D．5．正方體中，E為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．6．已知函數(shù)，則該函數(shù)的圖象在處的切線方程為（）A．B．C．D．7．記函數(shù)的最小正周期為T，若，且的最小值為1．則曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為（）A．B．C．D．8．南京市地鐵S8號(hào)線經(jīng)擴(kuò)建后于2022年國(guó)慶當(dāng)天正式運(yùn)行，從起點(diǎn)站長(zhǎng)江大橋北站到終點(diǎn)站金牛湖站總行程大約為51.3千米，小張是陜西來南京游玩的一名旅客，從起點(diǎn)站開始，他利用手機(jī)上的里程表測(cè)出前兩站的距離大約為2千米，以后每經(jīng)過一站里程約增加0.1千米，據(jù)此他測(cè)算出本條地鐵線路的站點(diǎn)（含起始站與終點(diǎn)站）數(shù)一共有（）A．18B．19C．21D．229．已知O是內(nèi)一點(diǎn)，，若與的面積之比為，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．B．C．D．10．定義在R上的函數(shù)滿足對(duì)任意的x恒有，且，則的值為（）A．2026B．1015C．1014D．101311．若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍為（）A．B．C．D．12．如圖，在多面體中，底面為菱形，平面，點(diǎn)M在棱上，且，平面與平面的夾角為，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．平面平面B．C．點(diǎn)M到平面的距離為D．多面體的體積為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知命題，使得，則為______________．14．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則______________．15．已知圓錐的側(cè)面由函數(shù)的圖象繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得，圓錐的側(cè)面由函數(shù)的圖象繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得，記圓錐與圓錐的體積分別為和，則______________．16．設(shè)等比數(shù)列滿足，記為中在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則數(shù)列的前50項(xiàng)和______________．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．18．（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．19．（本小題滿分12分）已知中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）若，求外接圓的面積；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．20．（本小題滿分12分）如圖，已知為圓錐底面的直徑，點(diǎn)C在圓錐底面的圓周上，平分，D是上一點(diǎn)，且平面平面．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．當(dāng)時(shí)，方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍以及的值．22．（本小題滿分12分）設(shè)向量．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，者存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．安康市2023屆高三年級(jí)第一次質(zhì)量聯(lián)考試卷·數(shù)學(xué)（理科）參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．B由，得，所以，故．故選B．2．B集合，，所以．故選B．3．C由，得，所以．故選C．4．D當(dāng)時(shí)，選項(xiàng)A、B不符合題意，對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)得到，反之亦成立，故為充要條件，故C錯(cuò)誤；由可得，又，可得，反之不一定成立．故選D．5．A平移到，再連接，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，易得，由余弦定理得．故選A．6．A因?yàn)椋?，解得，所以，所以切線方程為：，即，故選A．7．C由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)?，所以，所以，又函?shù)的最小值為1，所以，所以，令，所以對(duì)稱中心為，只有選項(xiàng)C符合題意．故選C．8．B由題意設(shè)前兩站的距離為千米，第二站與第三站之間的距離為千米，…，第n站與第站之間的距離為千米，是等差數(shù)列，首項(xiàng)是，公差，則，解得，則站點(diǎn)數(shù)一共有19個(gè)．故選B．9．D由得，設(shè)，則．∴A，B，D三點(diǎn)共線，如圖所示：∵與反向共線，，∴，∴，∴．故選D．10．B根據(jù)得，又，所以，所以，所以．故選B．11．A令，得，設(shè)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，且，其圖象如圖所示：若使得函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則．故選A．12．D對(duì)于A，取的中點(diǎn)G，連接交于N，連接，因?yàn)槭橇庑?，所以，且N是的中點(diǎn)，所以且，又，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面平面，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫?，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)H，由四邊形是菱形，，則，所以是正三角形，所以，所以，又平面，以A為原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即令，得，平面的法向量可取，所以，解得，故B正確；對(duì)于C，結(jié)合B，所以，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即取，得，所以點(diǎn)M到平面的距離，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤．故選D．13．14．4因?yàn)樵谥?，若，所以，所以，即，由正弦定理得，化?jiǎn)得，所以．15．當(dāng)線段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，圍成一個(gè)半徑為2，高為4的圓錐，其體積為，當(dāng)線段繞直線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，此時(shí)線段旋轉(zhuǎn)一周圍成一個(gè)半徑為，高為的圓錐，其體積為，所以．16．114設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，解得，故，因?yàn)闉橹性趨^(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故．17．解：（1）∵，∴，即，∴函數(shù)的定義域?yàn)?，∵函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又∵在上為增函數(shù)，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)的最小值為0，，∵函數(shù)的最小值為0，∴函數(shù)的最小值為1，所以，①又，②聯(lián)立①②解得：，∴存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)的最小值為0．18．（1）解：設(shè)的公差為d，由題意得：解得所以，由，得，又，所以是公比為的等比數(shù)列，所以．（2）證明：，．要證，即證，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，所以得證．19．解：（1）由題知：，由正弦定理可化為，即，由余弦定理知，又，故．設(shè)外接圓的半徑為R，則，所以，所以外接圓的面積為．（2）因?yàn)闉殇J角三角形且，則即所以．又由正弦定理，得，所以．又，則，故面積的取值范圍是．20．（1）證明：因?yàn)?，且平分，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕?）取的中點(diǎn)M，連接，則兩兩垂直，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系則，由（1）知平面，所以是平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面的法向量，因?yàn)?，則取，則，因此，所以二面角的正弦值為．21．解：（1）由圖示得：，又，所以，所以，所以．又因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，即，所以，解得，又，所以，所以．（2）根據(jù)題意得，當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則，所以．因?yàn)橛腥齻€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，所以，即，所以．22．（1）解：根據(jù)已知得，則，若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．若，由，得或，由，得，所以