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文檔簡介
2022年四川省遂寧市普通高校對口單招高等數(shù)學(xué)一自考預(yù)測試題(含答案)學(xué)校:________班級:________姓名:________考號:________
一、單選題(20題)1.()A.A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對收斂D.斂散性不能確定
2.方程y'-3y'+2y=xe2x的待定特解y*應(yīng)取().A.A.Axe2x
B.(Ax+B)e2x
C.Ax2e2x
D.x(Ax+B)e2x
3.A.A.
B.
C.
D.
4.
5.設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3),則方程f(x)=0有()。A.一個實根B.兩個實根C.三個實根D.無實根
6.微分方程y'+y=0的通解為y=A.e-x+C
B.-e-x+C
C.Ce-x
D.Cex
7.
8.
9.函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x-3單調(diào)減少的區(qū)間為A.(-∞,1]B.[1,2]C.[2,+∞)D.[1,+∞)
10.方程2x2-y2=1表示的二次曲面是()。A.球面B.柱面C.旋轉(zhuǎn)拋物面D.圓錐面
11.如圖所示兩楔形塊A、B自重不計,二者接觸面光滑,受大小相等、方向相反且沿同一直線的兩個力的作用,則()。
A.A平衡,B不平衡B.A不平衡,B平衡C.A、B均不平衡D.A、B均平衡
12.
13.設(shè)球面方程為(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=4,則該球的球心坐標與半徑分別為()A.(-1,2,-3);2B.(-1,2,-3);4C.(1,-2,3);2D.(1,-2,3);4
14.當(dāng)x→0時,x是ln(1+x2)的
A.高階無窮小B.同階但不等價無窮小C.等價無窮小D.低階無窮小
15.
16.
17.
18.設(shè)y=2-x,則y'等于()。A.2-xx
B.-2-x
C.2-xln2
D.-2-xln2
19.A.exln2
B.e2xln2
C.ex+ln2
D.e2x+ln2
20.
二、填空題(20題)21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.y″+5y′=0的特征方程為——.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.曲線y=x3-6x的拐點坐標為______.
38.
39.過點M0(1,-2,0)且與直線垂直的平面方程為______.
40.________.
三、計算題(20題)41.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.
42.
43.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值.
44.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間,并求該曲線在點(1,1)處的切線l的方程.
45.
46.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點.
47.證明:
48.求微分方程的通解.
49.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂,何時條件收斂,何時發(fā)散,其中常數(shù)a>0.
50.求曲線在點(1,3)處的切線方程.
51.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p,當(dāng)p=10時,若價格上漲1%,需求量增(減)百分之幾?
52.
53.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B,在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi),以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示).設(shè)梯形上底CD長為2x,面積為
S(x).
(1)寫出S(x)的表達式;
(2)求S(x)的最大值.
54.
55.當(dāng)x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量,則
56.
57.
58.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
59.
60.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù).
四、解答題(10題)61.
62.
63.
64.
65.計算
66.(本題滿分8分)
67.設(shè)y=ln(1+x2),求dy。
68.
69.
70.求微分方程y"-y'-2y=0的通解。
五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.求df(x)。
六、解答題(0題)72.
參考答案
1.C
2.D本題考查的知識點為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程特解y*的取法:
若自由項f(x)=Pn(x)eαx,當(dāng)α不為特征根時,可設(shè)特解為
y*=Qn(x)eαx,
Qn(x)為x的待定n次多項式.
當(dāng)α為單特征根時,可設(shè)特解為
y*=xQn(x)eαx,
當(dāng)α為二重特征根時,可設(shè)特解為
y*=x2Qn(x)eαx.
所給方程對應(yīng)齊次方程的特征方程為
r2-3r+2=0.
特征根為r1=1,r2=2.
自由項f(x)=xe2x,相當(dāng)于α=2為單特征根.又因為Pn(x)為一次式,因此應(yīng)選D.
3.C
4.D解析:un、vn可能為任意數(shù)值,因此正項級數(shù)的比較判別法不能成立,可知應(yīng)選D。
5.B
6.C
7.C
8.A
9.Bf(x)=2x3-9x2+12x-3的定義域為(-∞,+∞)
f'(x)=6x2-18x+12=6(x23x+2)=6(x-1)(x-2)。
令f'(x)=0得駐點x1=1,x2=2。
當(dāng)x<1時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)增加。
當(dāng)1<x<2時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)減少。
當(dāng)x>2時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)增加。因此知應(yīng)選B。
10.B
11.C
12.D
13.C
14.D解析:
15.B
16.D
17.C解析:
18.D本題考查的知識點為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的鏈式法則。由于y=2-xY'=2-x·ln2·(-x)'=-2-xln2.考生易錯誤選C,這是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時丟掉項而造成的!因此考生應(yīng)熟記:若y=f(u),u=u(x),則
不要丟項。
19.B因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y,此為常系數(shù)一階線性齊次方程,其特征根為r=2,所以其通解為y=Ce2x,又當(dāng)x=0時,f(0)=ln2,所以C=ln2,故f(x)=e2xln2.
20.C
21.0
22.
解析:
23.1.
本題考查的知識點為函數(shù)在一點處導(dǎo)數(shù)的定義.
由于f(1)=2,可知
24.
25.
26.本題考查的知識點為重要極限公式。
27.(1/3)ln3x+C
28.由特征方程的定義可知,所給方程的特征方程為
29.
30.0
31.
32.
33.-2
34.e2
35.6x2
36.3x+y-5z+1=03x+y-5z+1=0解析:
37.(0,0)本題考查的知識點為求曲線的拐點.
依求曲線拐點的一般步驟,只需
(1)先求出y".
(2)令y"=0得出x1,…,xk.
(3)判定在點x1,x2,…,xk兩側(cè),y"的符號是否異號.若在xk的兩側(cè)y"異號,則點(xk,f(xk)為曲線y=f(x)的拐點.
y=x3-6x,
y'=3x2-6,y"=6x.
令y"=0,得到x=0.當(dāng)x=0時,y=0.
當(dāng)x<0時,y"<0;當(dāng)x>0時,y">0.因此點(0,0)為曲線y=x3-6x的拐點.
本題出現(xiàn)較多的錯誤為:填x=0.這個錯誤產(chǎn)生的原因是對曲線拐點的概念不清楚.拐點的定義是:連續(xù)曲線y=f(x)上的凸與凹的分界點稱之為曲線的拐點.其一般形式為(x0,f(x0)),這是應(yīng)該引起注意的,也就是當(dāng)判定y"在x0的兩側(cè)異號之后,再求出f(x0),則拐點為(x0,f(x0)).
注意極值點與拐點的不同之處!
38.1
39.3(x-1)-(y+2)+z=0(或3x-y+z=5)本題考查的知識點為平面與直線的方程.
由題設(shè)條件可知應(yīng)該利用點法式方程來確定所求平面方程.
所給直線l的方向向量s=(3,-1,1).若所求平面π垂直于直線l,則平面π的法向量n∥s,不妨取n=s=(3,-1,1).則由平面的點法式方程可知
3(x-1)-[y-(-2)]+(z-0)=0,
即3(x-1)-(y+2)+z=0
為所求平面方程.
或?qū)憺?x-y+z-5=0.
上述兩個結(jié)果都正確,前者3(x-1)-(y+2)z=0稱為平面的點法式方程,而后者3x-y+z-5=0稱為平面的一般式方程.
40.
41.由二重積分物理意義知
42.
43.函數(shù)的定義域為
注意
44.
45.
46.
列表:
說明
47.
48.
49.
50.曲線方程為,點(1,3)在曲線上.
因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0.
如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在,則表明曲線y=f(x)在點
(x0,fx0))處存在切線,且切線的斜率為f′(x0).切線方程為
51.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p
∴當(dāng)P=10時價格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,
∴當(dāng)P=10時,價格上漲1%需求量減少2.5%
52.
則
53.
54.
55.由等價無窮小量的定義可知
56.由一階線性微分方程
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