特征值和特征向量矩陣的相似對角化

第四章特征值和特征向量、一特征值與特征向量的概念二特征值和特征向量的求法第一節(jié)特征值與特征向量三特征值和特征向量的性質一、特征值與特征向量的概念定義Ａ為ｎ階方陣，λ為數，為ｎ維非零向量，若則λ稱為Ａ的特征值，稱為Ａ的特征向量．（１）注②并不一定唯一；③ｎ階方陣Ａ的特征值，就是使齊次線性方程組①特征向量，特征值問題只針對方陣；有非零解的λ值，即滿足的λ都是方陣Ａ的特征值．④一個特征向量只能屬于一個特征值；⑤一個特征值有無窮個特征向量；若，則定義設n階方陣則稱為方陣A的特征多項式.定義稱以λ為未知數的一元ｎ次方程為Ａ的特征方程,稱為特征方程組.二、特征值與特征向量的求法注：n階方陣A的特征多項式為的n次多項式，n階方陣A在復數范圍內有n個特征值.例1求矩陣的特征值和特征向量.求n階方陣A的特征值與特征向量的步驟：1.計算特征多項式2.求出特征方程的根即為A的特征值3.求方程組的基礎解系即為A的屬于特征值的線性無關特征向量，基礎解系的線性組合即為全部特征向量.例2求矩陣的特征值和特征向量.例3求矩陣的特征值和特征向量.注：比較例2和例3的結果可得如下結論：屬于某一特征值的線性無關的特征向量可能不止一個.定理設ｎ階方陣的特征值為則證明①當是Ａ的特征值時，Ａ的特征多項式可分解為令得即二、特征值和特征向量的性質定理一個n階方陣與其轉置矩陣有相同的特征值.證明②因為行列式它的展開式中，主對角線上元素的乘積是其中的一項，由行列式的定義，展開式中的其它項至多含ｎ－２個主對角線上的元素，含的項只能在主對角線上元素的乘積項中．故有比較①，有因此，特征多項式中定義方陣Ａ的主對角線上的元素之和稱為方陣Ａ的跡.記為推論１ｎ階方陣Ａ可逆Ａ的ｎ個特征值全不為零.若數λ為可逆陣的Ａ的特征值，則則為的特征值．推論２則為的特征值．推論３則為的特征值．推論４則為的特征值．推論５特別單位陣Ｅ的一個特征值為１．定理三、應用舉例１、若λ＝２為可逆陣Ａ的特征值，則的一個特征值為（）２、證ｎ階方陣Ａ的滿足，則Ａ的特征值為０或１．３、三階方陣Ａ的三個特征值為１、２、０，則（）４、求下列方陣的特征值與特征向量四、特征向量的性質定理互不相等的特征值所對應的特征向量線性無關。定理互不相等的特征值對應的各自線性無關的特征向量并在一塊，所得的向量組仍然線性無關。一相似矩陣的定義、性質二矩陣可相似對角化的條件三應用舉例第二節(jié)矩陣相似對角化一、定義定義設Ａ、Ｂ都是ｎ階矩陣，若有可逆矩陣Ｐ，使得則稱Ｂ是Ａ的相似矩陣，或者說矩陣Ａ與Ｂ相似．稱為對Ａ進行相似變換，對Ａ進行運算可逆矩陣Ｐ稱為把Ａ變成Ｂ的相似變換矩陣．記作：Ａ∽Ｂ．二、性質（1）反身性：（2）對稱性：（3）傳遞性：Ａ∽Ａ；Ａ∽Ｂ，則Ｂ∽Ａ；Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，則Ａ∽Ｃ；定理4.6若ｎ階矩陣Ａ與Ｂ相似，則推論若ｎ階矩陣Ａ與對角矩陣相似，就是Ａ的ｎ個特征值．則（1）（2）Ａ與Ｂ有相同的特征多項式和特征值．（3）（4）若能尋得相似變換矩陣Ｐ使對ｎ階方陣Ａ，稱之為把方陣Ａ對角化．三、可相似對角化的條件定理4.6的推論說明，如果ｎ階矩陣Ａ與對角矩陣Λ相似，那么，使得的矩陣Ｐ又是怎樣構成的呢？則Λ的主對角線上的元素就是Ａ的全部特征值．設存在Ｐ可逆，使得有于是有因為Ｐ可逆，故于是是Ａ的ｎ個線性無關的特征向量。反之，即設可逆，且則Ｐ若Ａ有ｎ個線性無關的特征向量所以即Ａ與對角矩陣Λ相似．定理4.7ｎ階矩陣Ａ能與對角矩陣Λ相似Ａ有ｎ個線性無關的特征向量．推論如果ｎ階矩陣Ａ有ｎ個不同的特征值，則矩陣Ａ注意Ｐ中的列向量的排列順序要與的順序一致．（1）可相似對角化．（2）是的基礎解系中的解向量，因的取法不是唯一的，故因此Ｐ也是不唯一的．（3）所以如果不計的排列順序，的根只有ｎ個（重根按重數計算）又是唯一的．則例1設問x為何值時，矩陣A可相似對角化？例2設求3.實對稱矩陣的相似對角化1.n元實向量的內積、施密特正交化方法、正交矩陣2.實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質第三節(jié)實對稱矩陣的相似對角化一、內積的定義與性質1、定義設ｎ維實向量稱實數為向量α與β的內積，記作注：內積是向量的一種運算，用矩陣形式表示，有２、性質（1）對稱性：（2）線性性：（3）正定性：當且僅當時推廣性質：１、長度的概念二、向量的長度與夾角令為ｎ維向量α的長度（?；蚍稊担?特別長度為１的向量稱為單位向量.定理4.10（Cauchy不等式）任意兩個n維實向量恒有等號成立當且僅當線性相關.（1）非負性：（2）齊次性：（3）三角不等式：２、性質注①當時，②由非零向量α得到單位向量是α的單位向量.稱為把α單位化或標準化.的過程３、夾角設α與β為ｎ維空間的兩個非零向量，α與β的夾角的余弦為因此α與β的夾角為例解練習三、正交向量組及其求法1、正交當，稱α與β正交，記作注①若，則α與任何向量都正交.②③對于非零向量α與β，2、正交組若向量組中的向量兩兩正交，且均為非零向量，則這個向量組稱為正交向量組，簡稱正交組.3、標準正交組由單位向量組成的正交組稱為標準正交組.定理4.11正交向量組必為線性無關組.是標準正交向量組例1已知三元向量試求一個非零向量，使稱為正交向量組.7、施密特（Schmidt）正交化法1）正交化令將一組線性無關的向量組化為標準正交向量組.就得到一個標準正交向量組.上述方法稱為施密特（Schmidt）正交化法.2）標準化令注則兩兩正交，且與等價.上述方法中的兩個向量組對任意的與都是等價的.例2用施密特正交化方法將如下向量組化為標準正交向量組.四、正交矩陣及其性質1、定義如果ｎ階矩陣滿足：則稱Ａ為正交矩陣.則可表示為若Ａ按列分塊表示為Ａ＝亦即其中

Ａ的列（或行）向量組是標準正交組.定理4.14方陣A為正交矩陣的充要條件是3、正交變換若Ｐ為正交矩陣，則線性變換ｙ=Ｐｘ稱為正交變換.正交變換后向量長度不變,內積不變,注夾角不變.若A，B是正交矩陣，則也是正交矩陣.判斷下列矩陣是否為正交矩陣.定理4.15實對稱矩陣的特征值為實數.定理4.16實對稱矩陣的互異特征值對應的特征向量正交.定理4.17若ｎ階實對稱陣Ａ的重特征值對應的線性無關的特征向量恰有個．（不證）定理4.18

若Ａ為ｎ階對稱陣，則必有正交矩陣Ｐ，使得六、實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質推論實對稱矩陣的特征向量是實向量.

根據上述結論，利用正交矩陣可將實對稱矩陣化為對角矩陣，其具