《離散型隨機(jī)變量及其分布列》同步練習(xí)（）

《離散型隨機(jī)變量及其分布列》同步練習(xí)1．(2022陜西，12分)在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產(chǎn)量(kg)300500概率作物市場價(jià)格(元/kg)610概率(1)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；(2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率．解：(1)設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300kg”，B表示事件“作物市場價(jià)格為6元/kg”，由題設(shè)知P(A)＝，P(B)＝，因?yàn)槔麧櫍疆a(chǎn)量×市場價(jià)格－成本，所以X所有可能的取值為500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800.P(X＝4000)＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝(1－×(1－＝，P(X＝2000)＝P(eq\x\to(A))P(B)＋P(A)P(eq\x\to(B))＝(1－×＋×(1－＝，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝×＝，所以X的分布列為X40002000800P(2)設(shè)Ci表示事件“第i季利潤不少于2000元”(i＝1,2,3)，由題意知C1，C2，C3相互獨(dú)立，由(1)知，P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝＋＝(i＝1,2,3)，3季的利潤均不少于2000元的概率為P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝＝；3季中有2季的利潤不少于2000元的概率為P(eq\x\to(C1)C2C3)＋P(C1eq\x\to(C2)C3)＋P(C1C2eq\x\to(C3))＝3××＝，所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率為＋＝.2．（2022新課標(biāo)全國Ⅰ，12分）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n＝3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n＝4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)．假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為eq\f(1,2)，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立．(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和互斥事件的概率、條件概率、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等，意在考查考生的閱讀理解能力及運(yùn)用所學(xué)概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件A，依題意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝eq\f(4,16)×eq\f(1,16)＋eq\f(1,16)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,64).(2)X可能的取值為400,500,800，并且P(X＝400)＝1－eq\f(4,16)－eq\f(1,16)＝eq\f(11,16)，P(X＝500)＝eq\f(1,16)，P(X＝800)＝eq\f(1,4).所以X的分布列為X400500800Peq\f(11,16)eq\f(1,16)eq\f(1,4)EX＝400×eq\f(11,16)＋500×eq\f(1,16)＋800×eq\f(1,4)＝.3．(2022山東，12分)甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是eq\f(1,2)外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是eq\f(2,3).假設(shè)各局比賽結(jié)果互相獨(dú)立．(1)分別求甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分、對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為3∶2，則勝利方得2分、對(duì)方得1分．求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：本題考查相互獨(dú)立事件的概率、二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)變量的概率分布與數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類與整合思想，考查運(yùn)算求解能力，考查分析問題和解決問題的能力．(1)記“甲隊(duì)以3∶0勝利”為事件A1，“甲隊(duì)以3∶1勝利”為事件A2，“甲隊(duì)以3∶2勝利”為事件A3，由題意知，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故P(A1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，P(A2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，P(A3)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(4,27).所以，甲隊(duì)以3∶0勝利、以3∶1勝利的概率都為eq\f(8,27)，以3∶2勝利的概率為eq\f(4,27).(2)設(shè)“乙隊(duì)以3∶2勝利”為事件A4，由題意知，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以P(A4)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(4,27).由題意知，隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0,1,2,3，根據(jù)事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(16,27)，又P(X＝1)＝P(A3)＝eq\f(4,27)，P(X＝2)＝P(A4)＝eq\f(4,27)，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝eq\f(3,27)，故X的分布列為X0123Peq\f(16,27)eq\f(4,27)eq\f(4,27)eq\f(3,27)所以EX＝0×eq\f(16,27)＋1×eq\f(4,27)＋2×eq\f(4,27)＋3×eq\f(3,27)＝eq\f(7,9).4．（2022湖南，12分）某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．(1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；(2)從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：本小題主要考查古典概型、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解，考查考生的閱讀理解能力、收集數(shù)據(jù)的能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．(1)所種作物總株數(shù)N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3，邊界上的作物株數(shù)為12.從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株的不同結(jié)果有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,12)＝36種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3＋3＋2＝8種．故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，它們恰好“相近”的概率為eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).(2)先求從所種作物中隨機(jī)選取的一株作物的年收獲量Y的分布列．因?yàn)镻(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可．記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù)(k＝1,2,3,4)，則n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.由P(X＝k)＝eq\f(nk,N)，得P(X＝1)＝eq\f(2,15)，P(X＝2)＝eq\f(4,15)，P(X＝3)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，P(X＝4)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).故所求的分布列為Y51484542Peq\f(2,15)eq\f(4,15)eq\f(2,5)eq\f(1,5)所求的數(shù)學(xué)期望為E(Y)＝51×eq\f(2,15)＋48×eq\f(4,15)＋45×eq\f(2,5)＋42×eq\f(1,5)＝eq\f(34＋64＋90＋42,5)＝46.解析：∵P(X＝0)＝eq\f(1,12)＝(1－p)2×eq\f(1,3)，∴p＝eq\f(1,2)，隨機(jī)變量X的可能值為0,1,2,3，因此P(X＝0)＝eq\f(1,12)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×(eq\f(1,2))2＋eq\f(2,3)×(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,3)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×(eq\f(1,2))2×2＋eq\f(1,3)×(eq\f(1,2))2＝eq\f(5,12)，P(X＝3)＝eq\f(2,3)×(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,6)，因此E(X)＝1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).答案：eq\f(5,3)5．（2022山東，12分）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶．某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為eq\f(3,4)，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為eq\f(2,3)，每命中一次得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊．(1)求該射手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.解：(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D，由題意知P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝P(D)＝eq\f(2,3)，由于A＝Beq\x\to(C)eq\x\to(D)＋eq\x\to(B)Ceq\x\to(D)＋eq\x\to(B)eq\x\to(C)D，根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得P(A)＝P(Beq\x\to(C)eq\x\to(D)＋eq\x\to(B)Ceq\x\to(D)＋eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝P(Beq\x\to(C)eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B)Ceq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝P(B)P(eq\x\to(C))P(eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B))P(C)P(eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))P(D)＝eq\f(3,4)×(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(2,3))＋(1－eq\f(3,4))×eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,3))＋(1－eq\f(3,4))×(1－eq\f(2,3))×eq\f(2,3)＝eq\f(7,36).(2)根據(jù)題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得P(X＝0)＝P(eq\x\to(B)eq\x\to(C)eq\x\to(D))＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝(1－eq\f(3,4))×(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(2,3))＝eq\f(1,36).P(X＝1)＝P(Beq\x\to(C)eq\x\to(D))＝P(B)P(eq\x\to(C))P(eq\x\to(D))＝eq\f(3,4)×(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(2,3))＝eq\f(1,12).P(X＝2)＝P(eq\x\to(B)Ceq\x\to(D)＋eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝P(eq\x\to(B)Ceq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝(1－eq\f(3,4))×eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,3))＋(1－eq\f(3,4))×(1－eq\f(2,3))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，P(X＝3)＝P(BCeq\x\to(D)＋Beq\x\to(C)D)＝P(BCeq\x\to(D))＋P(Beq\x\to(C)D)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,3))＋eq\f(3,4)×(1－eq\f(2,3))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝P(eq\x\to(B)CD)＝(1－eq\f(3,4))×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，P(X＝5)＝P(BCD)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).故X的分布列為X012345Peq\f(1,36)eq\f(1,12)eq\f(1,9)eq\f(1,3)eq\f(1,9)eq\f(1,3)所以EX＝0×eq\f(1,36)＋1×eq\f(1,12)＋2×eq\f(1,9)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,9)＋5×eq\f(1,3)＝eq\f(41,12).6．（2022江蘇，10分）設(shè)ξ為隨機(jī)變量．從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E(ξ)．解：(1)若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為正方體8個(gè)頂點(diǎn)中的1個(gè)，過任意1個(gè)頂點(diǎn)恰有3條棱，所以共有8Ceq\o\al(2,3)對(duì)相交棱，因此P(ξ＝0)＝eq\f(8C\o\al(2,3),C\o\al(2,12))＝eq\f(8×3,66)＝eq\f(4,11).(2)若兩條棱平行，則它們的距離為1或eq\r(2)，其中距離為eq\r(2)的共有6對(duì)，故P(ξ＝eq\r(2))＝eq\f(6,C\o\al(2,12))＝eq\f(1,11)，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝eq\r(2))＝1－eq\f(4,11)－eq\f(1,11)＝eq\f(6,11)，所以隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ01eq\r(2)P(ξ)eq\f(4,11)eq\f(6,11)eq\f(1,11)因此E(ξ)＝1×eq\f(6,11)＋eq\r(2)×eq\f(1,11)＝eq\f(6＋\r(2),11).7．(2022新課標(biāo)全國，12分)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：A配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]頻數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]頻數(shù)412423210(1)分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；(2)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2，t<94，,2，94≤t<102，,4，t≥102.))從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．(以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率)解：(1)由試驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為eq\f(22＋8,100)＝，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為.由試驗(yàn)結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為eq\f(32＋10,100)＝，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為.(2)用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間[90,94)，[94,102)，[102,110]的頻率分別為,,，因此P(X＝－2)＝，P(X＝2)＝，P(X＝4)＝，即X的分布列為X－224PX的數(shù)學(xué)期望EX＝－2×＋2×＋4×＝.8．(2022山東，12分)某學(xué)校舉行知識(shí)競賽，第一輪選拔共設(shè)有A、B、C、D四個(gè)問題，規(guī)則如下：(1)每位參加者計(jì)分器的初始分均為10分，答對(duì)問題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分，答錯(cuò)任一題減2分；(2)每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；(3)每位參加者按問題A、B、C、D順序作答，直至答題結(jié)束．假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問題A、B、C、D回答正確的概率依次為eq\f(3,4)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．①求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；②用ξ表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ.解：設(shè)A，B，C，D分別為第一、二、三、四個(gè)問題．用Mi(i＝1,2,3,4)表示甲同學(xué)第i個(gè)問題回答正確，用Ni(i＝1,2,3,4)表示甲同學(xué)第i個(gè)問題回答錯(cuò)誤．則Mi與Ni是對(duì)立事件(i＝1,2,3,4)，由題意得P(M1)＝eq\f(3,4)，P(M2)＝eq\f(1,2)，P(M3)＝eq\f(1,3)，P(M4)＝eq\f(1,4)，所以P(N1)＝eq\f(1,4)，P(N2)＝eq\f(1,2)，P(N3)＝eq\f(2,3)，P(N4)＝eq\f(3,4).(1)記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事