《正態(tài)分布》同步練習(xí)()

《正態(tài)分布》同步練習(xí)一、選擇題1．(2022·邯鄲摸底考試)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4，σ2)，若P(ξ>8)＝，則P(ξ<0)＝()A．B．C．D．[答案]B[解析]∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4，σ2)，μ＝4，P(ξ>8)＝，∴P(ξ<0)＝P(ξ>8)＝，故選B.2．總體密度曲線是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x－μ2,2σ2)，x∈R的圖象的正態(tài)總體有以下命題：(1)正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；(2)正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝σ對(duì)稱；(3)正態(tài)曲線與x軸一定不相交；(4)正態(tài)曲線與x軸一定相交．其中正確的命題是()A．(2)(4) B．(1)(4)C．(1)(3) D．(2)(3)[答案]C[解析]由正態(tài)函數(shù)圖象的基本特征知(1)(3)正確．故選C.3．正態(tài)分布密度函數(shù)為φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(8π))e－eq\f(x2,8)，x∈(－∞，＋∞)，則總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別是()A．0和8 B．0和4C．0和2 D．0和eq\r(2)[答案]C[解析]由題意知μ＝0，σ＝2.故選C.4．工人制造機(jī)器零件尺寸在正常情況下，服從正態(tài)分布N(μ，σ2).在一次正常的試驗(yàn)中，取10000個(gè)零件時(shí)，不屬于(μ－3σ，μ＋3σ)這個(gè)尺寸范圍的零件個(gè)數(shù)可能為()A．70個(gè) B．100個(gè)C．28個(gè) D．60個(gè)[答案]C[解析]∵正態(tài)分布N(μ，σ2)落在(μ－3σ，μ＋3σ)的概率為4，∴不屬于(μ－3σ，μ＋3σ)的概率為6.∴取10000個(gè)零件時(shí)，不屬于(μ－3σ，μ＋3σ)這個(gè)尺寸范圍的零件個(gè)數(shù)可能為26個(gè)左右．故選C.5．某次市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，甲、乙、丙三科考試成績的分布可視為正態(tài)分布，如圖所示，則下列說法中正確的一個(gè)是()A．乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)不相同B．甲、乙、丙三科的總體的平均數(shù)不相同C．丙科總體的平均數(shù)最小D．甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小[答案]D[解析]由圖象知甲、乙、丙三科的平均分一樣，但標(biāo)準(zhǔn)差不同，σ甲<σ乙<σ丙．6．設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(μ1σeq\o\al(2,1))(σ1＞0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2＞0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2[答案]A[解析]由密度函數(shù)的性質(zhì)知μ1＜μ2，σ1＜σ2.故選A.7．若隨機(jī)變量ξ的密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x2,2)，ξ在(－2，－1)和(1,2)內(nèi)取值的概率分別為p1、p2，則p1、p2的關(guān)系為()A．p1＞p2 B．p1＜p2C．p1＝p2 D．不確定[答案]C[解析]由題意知，μ＝0，σ＝1，所以曲線關(guān)于x＝0對(duì)稱，所以p1＝p2.故選C.二、填空題8．已知X～N,，則X落在區(qū)間,中的概率為____________．[答案]6[解析]因?yàn)棣蹋剑遥剑訶落在區(qū)間，中的概率為P－<X≤＋＝6.9．設(shè)隨機(jī)變量ξ～N(2,4)，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ))的值等于____________．[答案]1[解析]∵σ2＝4，∴D(ξ)＝4，∴D(eq\f(1,2)ξ)＝eq\f(1,4)D(ξ)＝1.三、解答題10．已知隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，且其正態(tài)曲線在(－∞，80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上為減函數(shù)，且P(72≤X≤88)＝.(1)求參數(shù)μ，σ的值；(2)求P(64<X≤72)．[解析](1)由于正態(tài)曲線在(－∞，80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上是減函數(shù)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝80對(duì)稱，即參數(shù)μ＝80.又P(72≤x≤88)＝.結(jié)合P(μ－σ<X<μ＋σ)＝，可知σ＝8.(2)∵P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝P(64<X<96)＝.又∵P(X<64)＝P(X>96)，∴P(X<64)＝eq\f(1,2)(1－＝eq\f(1,2)×＝.∴P(X>64)＝.又P(X≤72)＝eq\f(1,2)(1－P(72≤X≤88))＝eq\f(1,2)(1－＝5，P(64<X≤72)＝P(X>64)－P(X>72)＝－(1－5)＝5.一、選擇題1．(2022·吉林白山一中高二期末)設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，則c＝()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]由正態(tài)分布的性質(zhì)及條件P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)得，(c＋1)＋(c－1)＝2×2，∴c＝2.2．已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生的成績X～N(110,52)，據(jù)此估計(jì)，大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)？()A．(90,110] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115][答案]C[解析]由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考試成績?cè)趨^(qū)間(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分別應(yīng)是6,4,4.由于一共有60人參加考試，∴成績位于上述三個(gè)區(qū)間的人數(shù)分別是：60×6≈41人，60×4≈57人，60×4≈60人．故選C.3．(2022·哈師大附中高二期中)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,4)，則P(－3<ξ<5)＝()(參考數(shù)據(jù)：P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝A． B．C． D．[答案]B[解析]由ξ～N(1,4)知，μ＝1，σ＝2，∴μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝5，∴P(－3<ξ<5)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝，故選B.二、填空題4．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為，則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為________．[答案][解析]如圖所示，易得P(0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)，故P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×＝.三、解答題5．工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布N(4，eq\f(1,9))，問在一次正常的試驗(yàn)中，取1000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間(3,5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？[解析]∵X～N(4，eq\f(1,9))，∴μ＝4，σ＝eq\f(1,3).∴不屬于區(qū)間(3,5)的概率為P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3＜X＜5)＝1－P(4－1＜X＜4＋1)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－＝∴1000×＝3(個(gè))，即不屬于區(qū)間(3,5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有3個(gè)．6．一投資者在兩個(gè)投資方案中選擇一個(gè)，這兩個(gè)方案的利潤ξ(萬元)分別服從正態(tài)分布N(8,32)和N(6,22)，投資者需要“利潤超過5萬元”的概率盡量地大，那么他應(yīng)該選擇哪一個(gè)方案？[解析]由題意，只需求出兩個(gè)方案中“利潤超過5萬元”的概率哪個(gè)大，大的即為最佳選擇方案．對(duì)第一方案有ξ～N(8,32)，于是P(ξ＞5)＝1－P(ξ≤5)＝1－F(5)＝1－Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5－8,3)))＝1－Φ(－1)＝Φ(1)＝3.對(duì)第二方案有ξ～N(6,22)，于是P(ξ＞5)＝1－P(ξ≤5)＝1－F(5)＝1－Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5－6,2)))＝1－Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝.所以應(yīng)選第一個(gè)方案為好．7．某年級(jí)的一次信息技術(shù)測(cè)驗(yàn)成績近似服從正態(tài)分布(70,102)，如果規(guī)定低于60分為不及格，求：(1)成績不及格的人數(shù)占多少？(2)成績?cè)?0～90內(nèi)的學(xué)生占多少？[解析](1)設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機(jī)變量X，X～N(70,102)，則μ＝70