《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》課件第二十五講1

第八章

現(xiàn)象間的相關(guān)分析

問題思考：當(dāng)今社會(huì)，電視已成為人們生活中的伴侶，每當(dāng)你看電視，特別是看到精彩內(nèi)容的時(shí)候，往往被一些廠商的廣告打擾。這些廣告是“免費(fèi)的午餐”嗎？據(jù)說，有的廠商花費(fèi)大量的資金在電視上做廣告。1995年，孔府宴酒為了奪得中央電視臺(tái)廣告標(biāo)王的寶座，花了3079萬元的廣告費(fèi)，然而到了2004年，蒙牛乳業(yè)竟花了相當(dāng)于孔府宴酒廣告費(fèi)的十倍價(jià)錢（3.1億元）才成為中央電視臺(tái)的廣告標(biāo)王。這是為什么？第八章

現(xiàn)象間的相關(guān)分析

事物的普遍聯(lián)系決定了現(xiàn)象之間的相互影響和制約，人們往往利用現(xiàn)象之間的相互影響和相互制約關(guān)系來分析事物和決策未來。例如，在社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，企業(yè)常常用廣告來擴(kuò)大商品的社會(huì)影響，通過增加廣告播放的次數(shù)和頻率，加強(qiáng)對(duì)消費(fèi)者的刺激，進(jìn)而促進(jìn)商品銷售量的提高；工廠根據(jù)商品的市場銷售狀況來組織產(chǎn)品的生產(chǎn)、設(shè)計(jì)和研制；農(nóng)民根據(jù)社會(huì)對(duì)農(nóng)產(chǎn)品的需求，決定自己的種植品種和種植面積；居民家庭根據(jù)其收入狀況決定自己的消費(fèi)品種、消費(fèi)數(shù)量和消費(fèi)檔次。xy1、函數(shù)關(guān)系（1）是一一對(duì)應(yīng)的確定關(guān)系（2）設(shè)有兩個(gè)變量x和y，變量y隨變量x一起變化，并完全依賴于x

，當(dāng)變量x取某個(gè)數(shù)值時(shí)，

y依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值，則稱y是x的函數(shù)，記為y=f(x)，其中x稱為自變量，y稱為因變量（3）各觀測點(diǎn)落在一條線上

一、相關(guān)關(guān)系的概念

函數(shù)關(guān)系

(幾個(gè)例子)某種商品的銷售額y與銷售量x之間的關(guān)系可表示為y=px(p為單價(jià))圓的面積S與半徑R之間的關(guān)系可表示為S=R2

企業(yè)的原材料消耗額y與產(chǎn)量x1

、單位產(chǎn)量消耗x2

、原材料價(jià)格x3之間的關(guān)系可表示為

y=x1x2x3

2、相關(guān)關(guān)系

在反映客觀事物數(shù)量特征的諸變量之間，必然產(chǎn)生和存在一定的關(guān)系：某一變量程度不同地取決于另外一個(gè)或一組變量，這種關(guān)系通常叫做依存關(guān)系。在大量的依存關(guān)系中，可以區(qū)分為函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系。

相關(guān)關(guān)系的理解應(yīng)把握兩個(gè)要點(diǎn)(也是它的重要特點(diǎn))：一是就事物質(zhì)的規(guī)定性而言，變量之間確實(shí)存在相互依存關(guān)系，即一個(gè)變量發(fā)生變化，另一個(gè)變量必然會(huì)相應(yīng)地發(fā)生變化。二是就事物量的規(guī)定性而言，變量之間的依存關(guān)系表現(xiàn)為一定的范圍，其具體數(shù)值不是惟一確定的。相關(guān)關(guān)系

(correlation)（1）一個(gè)變量的取值不能由另一個(gè)變量唯一確定（2）當(dāng)變量

x取某個(gè)值時(shí)，變量y的取值對(duì)應(yīng)著一個(gè)分布各觀測點(diǎn)分布在直線周圍

yx相關(guān)關(guān)系

(幾個(gè)例子)子女的身高與其父母身高的關(guān)系從遺傳學(xué)角度看，父母身高較高時(shí)，其子女的身高一般也比較高。但實(shí)際情況并不完全是這樣，因?yàn)樽优纳砀卟⒉煌耆怯筛改干砀咭粋€(gè)因素所決定的，還有其他許多因素的影響一個(gè)人的收入水平同他受教育程度的關(guān)系收入水平相同的人，他們受教育的程度也不可能不同，而受教育程度相同的人，他們的收入水平也往往不同。因?yàn)槭杖胨诫m然與受教育程度有關(guān)系，但它并不是決定收入的惟一因素，還有職業(yè)、工作年限等諸多因素的影響農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量與降雨量之間的關(guān)系在一定條件下，降雨量越多，單位面積產(chǎn)量就越高。但產(chǎn)量并不是由降雨量一個(gè)因素決定的，還有施肥量、溫度、管理水平等其他許多因素的影響3、函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的關(guān)系

相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別，突出表現(xiàn)在變量之間的具體關(guān)系值是否唯一確定。凡現(xiàn)象之間的關(guān)系值是唯一確定的就屬于函數(shù)關(guān)系；凡現(xiàn)象之間的關(guān)系值不是唯一確定的則屬于相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系之間具有密切聯(lián)系，一方面，由于在觀察或測量中存在誤差等原因，實(shí)際工作中的函數(shù)關(guān)系有時(shí)通過相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)出來；另一方面，在研究相關(guān)關(guān)系時(shí)又常常借用函數(shù)關(guān)系的形式近似地將它表達(dá)出來，以便找到相關(guān)關(guān)系的一般數(shù)量特征。二、相關(guān)關(guān)系的判斷

認(rèn)識(shí)社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系，一般先要進(jìn)行現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系的理論分析和借助相關(guān)表，相關(guān)圖進(jìn)行初步判斷，進(jìn)而計(jì)算相關(guān)指標(biāo)和建立數(shù)學(xué)模型對(duì)事物進(jìn)行量的精確認(rèn)識(shí)。理論分析是為了認(rèn)識(shí)現(xiàn)象之間確實(shí)存在的不以人們意志為轉(zhuǎn)移的客觀聯(lián)系，應(yīng)以經(jīng)濟(jì)規(guī)律和邏輯關(guān)系為依據(jù)。二、相關(guān)關(guān)系的判斷

由于現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系比較復(fù)雜，測定相關(guān)關(guān)系之前，一般在理論分析的基礎(chǔ)上還要利用相關(guān)表和相關(guān)圖粗略地判斷現(xiàn)象之間的相關(guān)程度和相關(guān)形態(tài)。相關(guān)表有的簡單，有的復(fù)雜，一般的簡單相關(guān)表是將具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量值按其中一個(gè)的大小順序排列，另一個(gè)依其對(duì)應(yīng)關(guān)系編排而成的統(tǒng)計(jì)表。它是粗略觀察現(xiàn)象之間相關(guān)程度的一種有效工具，同時(shí)也是繪制相關(guān)圖和測定相關(guān)關(guān)系的依據(jù)。二、相關(guān)關(guān)系的判斷

相關(guān)圖也稱相關(guān)散點(diǎn)圖或散點(diǎn)圖，是將具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量值描繪在坐標(biāo)圖上，以橫軸表示自變量x，縱軸表示因變量y，按兩變量的對(duì)應(yīng)值標(biāo)出坐標(biāo)點(diǎn)的分布狀況的統(tǒng)計(jì)圖。它是粗略觀察現(xiàn)象之間相關(guān)程度和相關(guān)形態(tài)的一種有效工具，它為測定相關(guān)關(guān)系奠定有效基礎(chǔ)。例1假定已知某地區(qū)1996—2003年居民貨幣收入和購買商品(含購買服務(wù)商品)支出的統(tǒng)計(jì)資料，據(jù)此可編制簡單相關(guān)表，如表8．1所示。例2依據(jù)表8．1的統(tǒng)計(jì)資料，可繪制相關(guān)散點(diǎn)圖，如圖8．1所示。從以上分析可以看出，相關(guān)表和相關(guān)圖均具有粗略觀察現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系的功能；相關(guān)圖與相關(guān)表相比較，還有觀察相關(guān)形態(tài)的作用；但相關(guān)圖應(yīng)以相關(guān)表提供的資料為依據(jù)。三、相關(guān)關(guān)系的種類

(一)單相關(guān)和復(fù)相關(guān)(二)線性相關(guān)和曲線相關(guān)(三)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)三、相關(guān)關(guān)系的種類

(一)單相關(guān)和復(fù)相關(guān)

1、單相關(guān)也稱簡單相關(guān)，指兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，即研究時(shí)只涉及一個(gè)自變量和一個(gè)因變量的相關(guān)關(guān)系。例如，家庭收入水平和食品支出比重的相關(guān)關(guān)系。

2、復(fù)相關(guān)指三個(gè)或三個(gè)以上變量之間的關(guān)系，即研究時(shí)涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量和一個(gè)因變量的相關(guān)關(guān)系。例如，商品購買力與居民貨幣收入、居民非商品支出、現(xiàn)金、儲(chǔ)蓄之間的關(guān)系。三、相關(guān)關(guān)系的種類

(二)線性相關(guān)和曲線相關(guān)1、線性相關(guān)也稱直線相關(guān)，指相互依存的變量之間的變動(dòng)近似地表現(xiàn)為一條直線的關(guān)系。具體分析時(shí)，可以運(yùn)用相關(guān)散點(diǎn)圖進(jìn)行觀察，如圖8．2所示。例如，商品銷售量與商品銷售額表現(xiàn)為線性關(guān)系。三、相關(guān)關(guān)系的種類

2、曲線相關(guān)曲線相關(guān)也稱非線性相關(guān)，指相互依存的變量之間的變動(dòng)近似地表現(xiàn)為一條曲線，具體分析時(shí)，也可以通過相關(guān)散點(diǎn)圖來描述，如圖8．3所示。例如，商品銷售額與商品流通費(fèi)用率一般表現(xiàn)為曲線關(guān)系，隨著商品銷售額的增加，商品流通費(fèi)用率會(huì)有所降低。曲線相關(guān)有雙曲線相關(guān)、指數(shù)曲線相關(guān)和拋物線相關(guān)等類型。三、相關(guān)關(guān)系的種類

(三)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)

1、正相關(guān)是指自變量的數(shù)值增加(或減少)時(shí)，因變量的數(shù)值也相應(yīng)地增加(或減少)，即自變量與因變量的變化方向具有一致性，如圖8．2(a)所示。例如，居民貨幣收入和購買商品支出之間的相關(guān)關(guān)系就是正相關(guān)。

2、負(fù)相關(guān)是指自變量數(shù)值增加時(shí)，因變量數(shù)值減少；或自變量數(shù)值減少時(shí)，因變量的數(shù)值增加，即自變量與因變量的變化方向具有不一致性，如圖8．2(b)所示。例如，家庭收入水平與食品支出比重之間的相關(guān)關(guān)系就是負(fù)相關(guān)。

四、相關(guān)分析的主要內(nèi)容

(一)判斷現(xiàn)象之間的相關(guān)狀態(tài)判斷現(xiàn)象之間是否存在相關(guān)關(guān)系，是相關(guān)分析的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，屬于定性認(rèn)識(shí)問題。(二)衡量現(xiàn)象相關(guān)的密切程度衡量現(xiàn)象之間的相關(guān)密切程度，通常是計(jì)算一些相關(guān)指標(biāo)。例如，我們衡量簡單線性相關(guān)的密切程度，可以計(jì)算相關(guān)系數(shù)；衡量曲線相關(guān)的密切程度，可以計(jì)算相關(guān)比率，衡量多種現(xiàn)象之間的相關(guān)密切程度，可以計(jì)算復(fù)相關(guān)系數(shù)。四、相關(guān)分析的主要內(nèi)容

(三)確定相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式建立數(shù)學(xué)模型是精確認(rèn)識(shí)事物和推算預(yù)測未來的基礎(chǔ)。如果現(xiàn)象之間表現(xiàn)為線性相關(guān)，可以采用線性方程擬合；如果現(xiàn)象之間表現(xiàn)為曲線相關(guān)，可以采用曲線方程擬合。

(四)檢驗(yàn)因變量估計(jì)值的誤差通?？梢岳糜?jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差來獲得這種誤差的一般認(rèn)識(shí)，并可以依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)誤差來觀察預(yù)測值的置信區(qū)間，分析預(yù)測值的可靠程度。第二節(jié)相關(guān)關(guān)系的測度

(相關(guān)系數(shù))(correlationcoefficient)一、相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficient)度量變量之間關(guān)系強(qiáng)度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量對(duì)兩個(gè)變量之間線性相關(guān)強(qiáng)度的度量稱為簡單相關(guān)系數(shù)若相關(guān)系數(shù)是根據(jù)總體全部數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為總體相關(guān)系數(shù)，記為若是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，則稱為樣本相關(guān)系數(shù)，簡稱為相關(guān)系數(shù)，記為r也稱為線性相關(guān)系數(shù)(linearcorrelationcoefficient)或稱為Pearson相關(guān)系數(shù)(Pearson’scorrelationcoefficient)

相關(guān)系數(shù)

(計(jì)算公式)樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式或化簡為相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：r

的取值范圍是[-1,1]

|r|=1，為完全相關(guān)r=1，為完全正相關(guān)r=-1，為完全負(fù)正相關(guān)

r=0，不存在線性相關(guān)關(guān)系

-1r<0，為負(fù)相關(guān)0<r1，為正相關(guān)|r|越趨于1表示關(guān)系越強(qiáng)；|r|越趨于0表示關(guān)系越弱相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2：r具有對(duì)稱性。即x與y之間的相關(guān)系數(shù)和y與x之間的相關(guān)系數(shù)相等，即rxy=ryx性質(zhì)3：r數(shù)值大小與x和y原點(diǎn)及尺度無關(guān)，即改變x和y的數(shù)據(jù)原點(diǎn)及計(jì)量尺度，并不改變r(jià)數(shù)值大小性質(zhì)4：僅僅是x與y之間線性關(guān)系的一個(gè)度量，它不能用于描述非線性關(guān)系。這意為著，r=0只表示兩個(gè)變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，并不說明變量之間沒有任何關(guān)系性質(zhì)5：r雖然是兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的一個(gè)度量，卻不一定意味著x與y一定有因果關(guān)系相關(guān)系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)解釋

|r|0.8時(shí)，可視為兩個(gè)變量之間高度相關(guān)0.5|r|<0.8時(shí)，可視為中度相關(guān)0.3|r|<0.5時(shí)，視為低度相關(guān)|r|<0.3時(shí)，說明兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度極弱，可視為不相關(guān)上述解釋必須建立在對(duì)相關(guān)系數(shù)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)的基礎(chǔ)之上二、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)(檢驗(yàn)的步驟)1.檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系2.采用R.A.Fisher提出的t檢驗(yàn)3.檢驗(yàn)的步驟為提出假設(shè)：H0：；H1：0計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量相