隨機(jī)振動的功率譜分析

隨機(jī)振動的功率譜分析在物理學(xué)中，信號通常是波的形式，例如電磁波、隨機(jī)振動或者聲波。當(dāng)波的頻譜密度乘以一個適當(dāng)?shù)南禂?shù)后將得到每單位頻率波攜帶的功率，這被稱為信號的功率譜密度(powerspectraldensity,PSD)或者譜功率分布(spectralpowerdistribution,SPD)。功率譜密度的單位通常用每赫茲的瓦特數(shù)(W/Hz)表示，或者使用波長而不是頻率，即每納米的瓦特數(shù)(W/nm)來表示。功率譜是一種概率統(tǒng)計方法，是對隨機(jī)變量均方值的量度。一般用于隨機(jī)振動分析，連續(xù)瞬態(tài)響應(yīng)只能通過概率分布函數(shù)進(jìn)行描述，即出現(xiàn)某水平響應(yīng)所對應(yīng)的概率。功率譜密度函數(shù)是結(jié)構(gòu)在隨機(jī)動態(tài)載荷激勵下響應(yīng)的統(tǒng)計結(jié)果，是一條功率譜密度值與頻率值的關(guān)系曲線，其中功率譜密度可以是位移功率譜密度、速度功率譜密度、加速度功率譜密度、力功率譜密度等形式。數(shù)學(xué)上，功率譜密度值與頻率值的關(guān)系曲線下的面積就是方差，即響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)偏差的平方值。譜是個很不嚴(yán)格的東西，常常指信號的Fourier變換，是一個時間平均(timeaverage)概念。功率譜指的是信號在每個頻率分量上的功率，頻譜其實是一個幅度譜，只是信號在各個分量上的幅度值。因為通信中一般對于信號的分析都是把信號看作電壓值，所以功率就是電壓的平方再除以電阻值。為了分析簡單歸一化，令R=l,這時候功率譜就是頻譜模的平方了。模也就是實部分量和虛部分量平方和的開方，故功率譜保留了頻譜的幅度信息，但是丟掉了相位信息，所以頻譜不同的信號其功率譜是可能相同的。功率譜和頻譜有兩個重要區(qū)別：其一，功率譜是隨機(jī)過程的統(tǒng)計平均概念，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜是一個確定函數(shù)；而頻譜是隨機(jī)過程樣本的Fourier變換，對于一個隨機(jī)過程而言，頻譜也是一個“隨機(jī)過程”；其二，功率概念和幅度概念的差別，我們只能對寬平穩(wěn)的各態(tài)歷經(jīng)的二階矩過程談功率譜，其存在性取決于二階矩是否存在及其Fourier變換是否收斂；而頻譜的存在性僅僅取決于該隨機(jī)過程的該樣本的Fourier變換是否收斂。若一個確定信號f(t)，—g<tv*，滿足狄氏條件，且絕對可積，即滿足：js|f(t)|dt<g—g則f(t)的傅里葉變換存在，為：gF(①)=jf(t)e-jetdt—gS(w)與s(t)滿足Parseval定理：jf2(t)dt=—jF(①)|2d?2?！猤 —g一個隨機(jī)過程的樣本函數(shù)，盡管它的總能量是無限的，但其平均功率卻是有限值，即：

T/2lim—t*TJ|x(t)lim—t*T-T/2若f(t)是功率有限信號，從f(t)中截取|t|<T/2的一段，得到一個截斷函數(shù)舟(◎，如下圖所示。該截斷函數(shù)可以表示為：f(t)ff)=<T |若f(t)是功率有限信號，從f(t)中截取|t|<T/2的一段，得到一個截斷函數(shù)舟(◎，如下圖所示。該截斷函數(shù)可以表示為：f(t)ff)=<T |0t|<T/2t|>T/2如果t是有限值，貝ifT(t)的能量也是有限的。令打(。的傅里葉變換為件辺)，則利用Parseval定理fT(t)的能量可表示為：ET=lfT2(t)dt=2^l因為，—88|件(3)|2畑—88 T/2IfT2(t)dt=I—8 —T/2f2(t)dt所以f(t)的平均功率為:P=limTf81(T/2兒2f2(t)dt—8IFT(^)I2~T~ds當(dāng)TT8時，舟(t)Tf(t)，此時歸嚴(yán)可能趨近于一極限。假若此極限存在，定義它是f(t)的功率譜密度函數(shù)，簡稱功率譜，記作S(^)o這樣便得到/'(t)的功率譜為：\F.(^)\2S(^)=lim一TT8 /由此可得：18P=IS(3)dw

2H—8由上式可見，功率譜表示單位頻帶內(nèi)信號功率隨頻率的變化情況，也就是說，它反映了信號功率在頻域的分布狀況。顯然，功率譜曲線S(^)所覆蓋的