高等數(shù)學(xué)-第六章2011級

轉(zhuǎn)化一階微分方程第二節(jié)解分離變量方程一、可分離變量方程分離變量方程的解法:設(shè)y＝(x)

是方程①的解,兩邊積分,得①則有恒等式②當(dāng)G(y)與F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0時,說明由②確定的隱函數(shù)y＝(x)是①的解.則有稱②為方程①的隱式通解,或通積分.同樣,當(dāng)F’(x)=f(x)≠0時,上述過程可逆,由②確定的隱函數(shù)x＝(y)也是①的解.例1.求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或說明:

在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時丟失的解y=0)例2.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為例3.

求下述微分方程的通解:解:

令則故有即解得(C為任意常數(shù)

)所求通解:練習(xí):解法1分離變量即(C<0

)解法2故有積分(C

為任意常數(shù))所求通解:思考與練習(xí)

求下列方程的通解:提示:(1)

分離變量(2)

方程變形為二、齊次方程形如的方程叫做齊次方程

.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:例1.解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的通解為(

當(dāng)C=0

時,

y=0

也是方程的解)(C

為任意常數(shù))例2.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明:

顯然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

為任意常數(shù))求解過程中丟失了.(h,k

為待可化為齊次方程的方程作變換原方程化為令,解出h,k

(齊次方程)定常數(shù)),求出其解后,即得原方程的解.原方程可化為令(可分離變量方程)注:

上述方法可適用于下述更一般的方程例4.

求解解:令得再令Y＝X

u,得令積分得代回原變量,得原方程的通解:得C=1,故所求特解為思考:

若方程改為如何求解?提示:三、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準形式:若Q(x)0,若Q(x)0,稱為非齊次方程

.1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為齊次方程

;對應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得例1.解方程

解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.令則代入非齊次方程得解得故原方程通解為例2.

求方程的通解.解:注意x,y

同號,由一階線性方程通解公式

,得故方程可變形為所求通解為這是以為因變量,

y為

自變量的一階線性方程四、伯努利(Bernoulli)方程

伯努利方程的標(biāo)準形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)例4.求方程的通解.解:令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.微分方程的概念微分方程;初始條件;2.可分離變量方程的求解方法:說明:

通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一個解.例如,方程分離變量后積分;根據(jù)初始條件定常數(shù).解;階;通解;特解y=–x

及

y=C

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.4.伯努利方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法:1)根據(jù)幾何關(guān)系列方程2)根據(jù)物理規(guī)律列方程3)根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程(2)利用反映事物個性的特殊狀態(tài)確定定解條件.(3)求通解,并根據(jù)定解條件確定特解.5.解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)判別下列方程類型:提示:

可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題1.

求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)使其滿足下列方程:提示:令則有利用公式可求出機動目錄上頁下頁