低速空氣動(dòng)力學(xué)理論與計(jì)算第三章

低速空氣動(dòng)力學(xué)理論與計(jì)算第三章1第一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日本章主要內(nèi)容流場(chǎng)的基本描述方法場(chǎng)觀點(diǎn)與粒子觀點(diǎn)場(chǎng)觀點(diǎn)下的加速度表達(dá)方法流線、流管和流面微團(tuán)的運(yùn)行學(xué)分析散度、旋度、位勢(shì)平面、空間流場(chǎng)基本控制方程微分形式、積分形式環(huán)量與渦環(huán)量渦的概念理想流體中的渦2第二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日引言上一章介紹了一維流動(dòng)，現(xiàn)在推廣到二維和三維空間對(duì)流體仍舊使用連續(xù)介質(zhì)假定，并研究它的運(yùn)動(dòng)情況及直接關(guān)聯(lián)的物理量（速度、壓強(qiáng)、密度、溫度等）研究對(duì)象的選擇研究方法數(shù)學(xué)工具基本結(jié)論3第三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)的基本描述方法流場(chǎng)描述的兩種方法：兩種方法的等價(jià)關(guān)系拉格朗日觀點(diǎn)（粒子方法）沿用描述剛體運(yùn)動(dòng)的方法：標(biāo)號(hào)（a，b，c，t0）研究每個(gè)微團(tuán)在坐標(biāo)系（xyz）隨時(shí)間變化的規(guī)律：坐標(biāo)隨時(shí)間的變化就是微團(tuán)的速度，速度隨時(shí)間的變化就是加速度；微團(tuán)的坐標(biāo)、速度、加速度都是（a，b，c，t）的函數(shù)這個(gè)方法沿襲剛體動(dòng)力學(xué)方法，卻不好用，一般不用歐拉觀點(diǎn)（場(chǎng)方法）研究空間各點(diǎn)物理量的變化，速度和加速度是指位于某點(diǎn)的微團(tuán)的速度和加速度上式描述流完整的流動(dòng)，包含四個(gè)獨(dú)立變量，分別是空間坐標(biāo)和時(shí)間，必須另外賦予意義才能定義諸如dx/dt，d2x/dt24第四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)的基本描述方法一個(gè)布滿某種物理量的空間稱為場(chǎng)，上面的公式是速度場(chǎng)，還有壓力場(chǎng)、密度場(chǎng)、溫度場(chǎng)，都是流場(chǎng)機(jī)翼導(dǎo)致的流場(chǎng)：空間和時(shí)間的函數(shù)5第五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)的基本描述方法歐拉方法的加速度表達(dá)式一維流動(dòng)中已經(jīng)介紹過加速度的兩個(gè)組成部分：當(dāng)?shù)丶铀俣龋篜(x,y,z)在t時(shí)刻流體微團(tuán)的速度是時(shí)間的函數(shù)遷移加速度：遷移導(dǎo)致的速度改變加速度：隨體導(dǎo)數(shù)（物質(zhì)導(dǎo)數(shù)、實(shí)導(dǎo)數(shù)）D/Dt6第六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日表征流場(chǎng)的曲線--流線流線的定義：這條曲線上的任何一點(diǎn)曲線的切線都和該點(diǎn)微團(tuán)的速度方向一致，就是流線在歐拉描述中，場(chǎng)每一點(diǎn)都有速度（大小和方向），那么在某一個(gè)瞬間看流場(chǎng)，從某點(diǎn)出發(fā)，順著這一點(diǎn)的速度指向微小距離的鄰點(diǎn)，再按鄰點(diǎn)同一時(shí)刻的速度指向再畫一個(gè)微小距離，一直畫下去就得到一條曲線。流線滿足的方程流線上各點(diǎn)的切線與該點(diǎn)流向一致，則流線上的切線的三個(gè)余弦dx/ds，dy/ds，dz/ds必和流速的三個(gè)分量與合速度所夾的三個(gè)角度的余弦相同如果流場(chǎng)各點(diǎn)的速度都知道，但流線沒有解析式，可以用流線方程逐點(diǎn)畫出流線7第七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日表征流場(chǎng)的曲線--流線定常流線與非定常流線一個(gè)物體在靜止的大氣里做勻速運(yùn)動(dòng)，在靜止坐標(biāo)系上看運(yùn)動(dòng)是非定常的只要加上一個(gè)與物體速度相反的直勻流速，流動(dòng)就是定常的（相對(duì)坐標(biāo)）在不同坐標(biāo)系中受力情況是一樣的8第八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流管和流面流管的定義經(jīng)過某一條一般的封閉圍線的所有流線氣流絕對(duì)不會(huì)穿越流線運(yùn)動(dòng)（相切無法向速度），流動(dòng)只能限制在流管內(nèi)流面的定義相鄰流線連成的曲面流動(dòng)無法穿越9第九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析平面流動(dòng)的微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析：線變形率角變形率轉(zhuǎn)動(dòng)10第十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析三維流動(dòng)的微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析：包括整體移動(dòng)、線變形、角變形和角速度

第一項(xiàng)：整體移動(dòng)

第二項(xiàng)：線變形率

第三、四項(xiàng)：角變形率

第五、六項(xiàng)：角速度11第十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析散度定義：三個(gè)方向線變形率之和可壓縮與不可壓縮對(duì)于不可壓縮流體：如果流體密度有變化，散度一般不等于012第十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析旋度與位勢(shì)上面分析得到三個(gè)角速度分量，合角速度是某點(diǎn)上微團(tuán)的瞬時(shí)角速度稱為旋度有旋流與無旋流（理論意義）無旋條件：即上式為是全微分的必要和充分條件13第十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析若是無旋流，存在全微分這個(gè)Φ稱為速度位勢(shì)速度位勢(shì)在某個(gè)方向的偏導(dǎo)數(shù)等于速度在那個(gè)方向的分量14第十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析有關(guān)速度位勢(shì)的分析速度位勢(shì)的叫法來自于有勢(shì)力在保守力場(chǎng)（引力場(chǎng)）中有勢(shì)力對(duì)某個(gè)方向取偏導(dǎo)數(shù)就等于那個(gè)方向的分力無旋流場(chǎng)速度位勢(shì)的偏導(dǎo)數(shù)等于那個(gè)方向的分速度類比有勢(shì)力，無旋速度位勢(shì)之差與路徑無關(guān)，絕對(duì)值不重要15第十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析速度位勢(shì)的應(yīng)用：速度位勢(shì)是坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)一個(gè)無旋流場(chǎng)一旦知道速度位勢(shì)的具體函數(shù)就可以計(jì)算出任何一點(diǎn)的速度，所以對(duì)于無旋流場(chǎng)的問題一般歸結(jié)為如何求流動(dòng)的速度位勢(shì)例子：二維流場(chǎng)速度分布此例僅為示意，真實(shí)情況中都是先求出位勢(shì)16第十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程連續(xù)性方程（質(zhì)量守恒）質(zhì)量守恒定律在空氣動(dòng)力學(xué)中的具體表現(xiàn)形式方程的推導(dǎo)微分形式不可壓縮積分形式（方程推導(dǎo)說明：積分和微分形式，哪個(gè)更基本？）17第十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程歐拉方程（運(yùn)動(dòng)方程）牛頓第二定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用方程的推導(dǎo)：微分形式（歐拉方程）18第十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程關(guān)于方程的說明這三個(gè)微分式規(guī)定了壓強(qiáng)變化和速度變化以及體力之間的關(guān)系速度變化和體力的存在是壓強(qiáng)改變的原因，彼此獨(dú)立，可以分開計(jì)算某個(gè)方向的體力乘以流體的密度就是那個(gè)方向的壓強(qiáng)梯度（如果只考慮重力—浮力）（只要體力存在，對(duì)壓強(qiáng)的總有永遠(yuǎn)是這個(gè)計(jì)算方法）空氣可以忽略體力的影響（根據(jù)情況，不能一概而論）速度變化的影響：流速增大，壓強(qiáng)降低；流速下降，壓強(qiáng)上升；沒有流速就沒有壓強(qiáng)梯度。19第十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程運(yùn)動(dòng)方程的蘭姆形式20第二十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程歐拉方程的積分流動(dòng)無旋，存在速度位勢(shì)假設(shè)體力有勢(shì)：對(duì)蘭姆方程分別乘以dx，dy，dz，然后相加就可以積分了，得21第二十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程對(duì)于不可壓縮流體的定常流，上式可以積分，得對(duì)于氣體忽略體力，有這就是低速氣流的Bernulli方程，C是總壓，可以寫成：這個(gè)公式與一維流的Bernulli公式形式完全一樣，但意義略有不同，這里的積分是在無粘無旋的前提下進(jìn)行的，總壓在整個(gè)無旋流場(chǎng)中是常數(shù)。如果不是無旋流場(chǎng)怎么辦？歐拉方程仍舊可以積分，如何積分？22第二十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程對(duì)于有旋流動(dòng)的歐拉方程的積分：沿流線積分，即增加約束微分方程推導(dǎo)：以dx，dy，dz分別乘以定常流的歐拉方程，得23第二十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程進(jìn)一步代入流線方程，總加起來有：仍舊假設(shè)體力有勢(shì)，在不可壓縮流中可以得到積分：此處的積分是在流線約束下獲得的，所以每條流線有一個(gè)常數(shù)，彼此不同24第二十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日例子機(jī)翼繞流25第二十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程積分形式的動(dòng)量方程：微分形式的動(dòng)量方程適用于流場(chǎng)的每一點(diǎn)，但不是所有問題都能將每一點(diǎn)的流動(dòng)弄清楚，一般只需要知道總的合力作用—使用積分形式的動(dòng)量方程一維流動(dòng)介紹過動(dòng)量定理，現(xiàn)在只需簡(jiǎn)單推廣26第二十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程X方向動(dòng)量方程第一項(xiàng)是當(dāng)?shù)刈兓?，與流動(dòng)無關(guān)；后三項(xiàng)是遷移變化率，可以化為穿過S面的動(dòng)量變化：27第二十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程上述面積分包括流入與流出S的x方向動(dòng)量，x方向動(dòng)量的隨體導(dǎo)數(shù)為：S上x方向全部壓力（沒有黏性力作用）：X方向體力28第二十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程單位時(shí)間內(nèi)x方向動(dòng)量變化等于所有x方向的作用力，因此得到x方向積分形式動(dòng)量方程：X的指向是物體受力的指向29第二十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程y，z方向動(dòng)量方程同樣獲得Y，Z方向與前述相同30第三十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程積分形式動(dòng)量方程的應(yīng)用使用積分形式的動(dòng)量方程可以不知道控制面內(nèi)部的細(xì)節(jié)，這是很大的優(yōu)點(diǎn)，有以下基本的使用方法：控制面包圍一個(gè)物體（機(jī)翼）：需要知道機(jī)翼所受氣動(dòng)力（不論性質(zhì)，可以是壓力，也可以是黏性力），按照前頁(yè)公式計(jì)算X，Y，Z。前提是必須知道控制面上的流動(dòng)參數(shù)。氣流流過管子：管內(nèi)可以有其他物體（發(fā)動(dòng)機(jī)）也可以是空的（風(fēng)洞），需要求出管壁和管內(nèi)物體的受力。前提是知道氣流進(jìn)出控制面的參數(shù)。包含激波的流動(dòng)：包含間斷面的控制體31第三十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日例子測(cè)量二維物體壓差阻力的方法32第三十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日例子發(fā)動(dòng)機(jī)推力的估算33第三十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程動(dòng)量矩方程動(dòng)量矩方程一維中講過，現(xiàn)在推廣到三維S內(nèi)部某微團(tuán)P（x，y，z）動(dòng)量對(duì)x軸的矩是總共是（力矩正向?yàn)橛沂郑?4第三十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程動(dòng)量矩當(dāng)?shù)刈兓剩簡(jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)穿過ds的動(dòng)量對(duì)x軸的矩：所有穿過S的凈流出動(dòng)量矩：35第三十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程ds面上壓力對(duì)x軸的力矩微團(tuán)體力對(duì)x軸的力矩S所圍流體的外力力矩36第三十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程按照動(dòng)量矩定理得到動(dòng)量矩方程37第三十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程速度位勢(shì)的物理意義一塊流體的邊界（包括內(nèi)部邊界，如機(jī)翼）可以對(duì)流體施以沖擊，從而改變流體各微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)速度。在邊界上施以沖擊壓強(qiáng)，這個(gè)壓強(qiáng)可以傳遍整個(gè)流體（不可壓縮聲速無窮大）沖擊壓強(qiáng)：?jiǎn)挝幻娣e上的沖量38第三十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程取六面體流體微團(tuán)受沖擊前速度：受沖擊后速度：按照沖量等于動(dòng)量的變化率，列出三個(gè)方向的動(dòng)量方程：39第三十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程三個(gè)方向：分別乘以dx,dy,dz，然后相加有如果φ代表沖擊以前的速度位勢(shì)，φ’代表沖擊以后的速度位勢(shì)，上式可以寫成：

積分得

積分常數(shù)代表一個(gè)常值沖擊壓強(qiáng)，對(duì)流體無影響40第四十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日流場(chǎng)基本控制方程結(jié)論：解釋：凡是具有單值速度位勢(shì)的流動(dòng)都可以用適當(dāng)布置的沖擊壓強(qiáng)使流動(dòng)從靜止立即發(fā)生運(yùn)動(dòng)，流場(chǎng)上各點(diǎn)的速度位勢(shì)就等于該點(diǎn)的沖擊壓強(qiáng)除以流體密度（差一個(gè)負(fù)號(hào)）對(duì)于有旋流動(dòng)既不能用沖擊壓強(qiáng)產(chǎn)生，也不能用沖擊壓強(qiáng)消滅。41第四十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日環(huán)量與渦環(huán)量與渦的關(guān)系：流體力學(xué)中兩個(gè)非常重要的概念環(huán)量的定義：在流場(chǎng)中沿一條指定的曲線做速度的線積分就是計(jì)算速度與長(zhǎng)度乘積的總和，類似作功計(jì)算；速度指的是在曲線方向的的投影值；環(huán)量線積分是有方向的；此定義對(duì)于積分曲線是否封閉沒有規(guī)定，但一般會(huì)沿一條閉合曲線計(jì)算速度線積分，如右圖，此時(shí)42第四十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日環(huán)量與渦如果把一個(gè)速度向量寫成分量，同時(shí)線段ds也分解為分量，那么

于是，環(huán)量的計(jì)算公式為43第四十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日環(huán)量與渦對(duì)于無旋流，存在速度位勢(shì)，上述速度分量可以用位勢(shì)的分量表示

此時(shí)環(huán)量值與路徑無關(guān)，只與AB的位置有關(guān)，大小為位勢(shì)函數(shù)之差

如果沿封閉曲線積分，那么44第四十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日