代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)

代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日第5章代數(shù)系統(tǒng)第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)成分：集合+運(yùn)算公理：運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)系統(tǒng)的構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)的同構(gòu)與同態(tài)代數(shù)系統(tǒng)間的關(guān)系映射半群與群環(huán)與域格與布爾代數(shù)子代數(shù)積代數(shù)商代數(shù)笛卡兒積等價(jià)關(guān)系子集新的代數(shù)系統(tǒng)分類生成第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)5.0近世代數(shù)簡(jiǎn)介5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)

5.2代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)第四頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡(jiǎn)介公元3世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家趙爽對(duì)于一元二次方程-x2+kx=c給出了一個(gè)根的公式我們現(xiàn)在熟知的一元二次方程的求根公式是由花拉子米在600年后建立的:第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡(jiǎn)介三次和四次方程把數(shù)學(xué)家們難住了一千多年，直到塔塔利亞和卡丹的出現(xiàn)，才真正地發(fā)現(xiàn)了一般的三次和四次方程的求根公式。方程的解為：而一般的四次方程的解法是由卡丹的學(xué)生費(fèi)拉里得出的。第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡(jiǎn)介法國數(shù)學(xué)家拉格朗日發(fā)表論文《關(guān)于代數(shù)方程解的思考》，他認(rèn)為次數(shù)不低于五次的方程的代數(shù)解法一般而言是找不到的，他試圖證明這個(gè)理論的正確性，但是終以失敗告終，然而這件事實(shí)卻被兩位天才的年輕數(shù)學(xué)家加以補(bǔ)充，并得到證明，而在他們的研究工作中誕生的新概念和新理論都將代數(shù)帶入了一個(gè)新的時(shí)代，即近世代數(shù)時(shí)代。第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡(jiǎn)介厄米特評(píng)價(jià)阿貝爾：“他工作中豐富的數(shù)學(xué)思想可以讓數(shù)學(xué)家們忙碌500年。”他的論文《高于四次的一般方程的代數(shù)求解不可能性的證明》是代數(shù)學(xué)發(fā)展史上里程碑式的重大突破。（N.H.Abel，1802－1829）第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡(jiǎn)介羅素說，他的死使數(shù)學(xué)的發(fā)展推遲了幾十年。伽羅瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群論徹底解決了根式求解代數(shù)方程的問題，而且由此發(fā)展了一整套關(guān)于群和域的理論。(Galois1811.10-1832.5)第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡(jiǎn)介引例凱撒密碼思考：明文和密文如何轉(zhuǎn)換？如明文HELLOWORLD→？明文abcdefghijklmnopqrstuvwxyz密文DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡(jiǎn)介用數(shù)字0~25表示字母a~z，abcdefghijklmnopqrstuvwxyz012345678910111213141516171819202122232425則Z26={0,1,2,…,25},凱撒加密實(shí)現(xiàn)了如下轉(zhuǎn)換過程：f:Z26→Z26

，x∈Z26,y=f(x)=(x+3)mod26上述<Z26,f>構(gòu)成了一類代數(shù)系統(tǒng)：群第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡(jiǎn)介思考：更一般地，若加密函數(shù)變?yōu)閥=(ax+b)mod26,如何解出x？

x=a-1(y-b)mod26第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡(jiǎn)介近世代數(shù)的內(nèi)容：近世代數(shù)所要探討的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是由集合上定義若干運(yùn)算而組成的系統(tǒng)——稱為代數(shù)系統(tǒng)。主要介紹群、環(huán)、域、格、布爾代數(shù)等基本概念和理論。第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡(jiǎn)介近世代數(shù)特點(diǎn)：比較抽象。采用集合論的記號(hào)。對(duì)運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)律的重視。研究對(duì)象高度抽象，以便掌握最根本的性質(zhì)。第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日近世代數(shù)簡(jiǎn)介近世代數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的廣泛應(yīng)用：

(1)半群理論在自動(dòng)機(jī)和形式語言中發(fā)揮了重要作用；

(2)群論在計(jì)算機(jī)安全領(lǐng)域的重要作用；

(3)有限域的理論是編碼理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在通訊中發(fā)揮了重要作用；

(4)格和布爾代數(shù)的理論成為電子計(jì)算機(jī)硬件設(shè)計(jì)和通訊系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的重要工具。第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)5.0近世代數(shù)簡(jiǎn)介5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)

5.2代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日二元運(yùn)算及其性質(zhì)代數(shù)系統(tǒng)二元運(yùn)算二元運(yùn)算的重要性質(zhì)（重點(diǎn)）代數(shù)系統(tǒng)的特殊元素（重點(diǎn)）第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)定義

代數(shù)系統(tǒng)

——集合及其上的運(yùn)算

<S,f1,f2,...,fk>定義運(yùn)算f

函數(shù)

f:S×S×…×S→S注：通常用符號(hào)“+”、“-”、“*”、“/”、“∩”、“∪”、“∧”、“∨”、“┐”、“★”、“☆”、“о”、“⊕”、“”、“”等抽象的符號(hào)來表示一個(gè)抽象的運(yùn)算。封閉性第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)例1

通常數(shù)的乘法運(yùn)算是否可看作下列集合上的二元運(yùn)算？請(qǐng)說明理由。（1）A={1,2}（2）B={x|x是素?cái)?shù)}（3）C={x|x是偶數(shù)}（4）D={2n|n∈N}

第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)例2幾個(gè)比較重要的代數(shù)系統(tǒng)：(1)<Z,+>,“+”為普通加法?！?/p>

整數(shù)加群(2)<Zn,>

，“”定義為模n加法，xy=(x+y)modn.——模n加群(3)<P(S),>,“”為對(duì)稱差運(yùn)算。——對(duì)稱差群(4)

<P(A)，∪,∩,>，“∪”,“∩”,“”為集合的并、交、補(bǔ)運(yùn)算——集合代數(shù)(5)<{0,1},,,>,“”，“”，“”分別為命題的合取、析取、否定運(yùn)算——布爾代數(shù)

第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)運(yùn)算表：xi?(xi)x1x2…xn?(x1)?(x2)…?(xn)一元運(yùn)算表?x1x2…

xnx1x2…xnx1?x1x1?x2…

x1?xnx2?x1x2?x2…

x2?xn…………xn?x1xn?x2…

xn?xn二元運(yùn)算表第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)例3

令A(yù)={a,b}，寫出P(A)上的∩運(yùn)算表?！搔郸祘a}{a}{a}{a}{a}{a,b}{a,b}{a,b}ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ上表頭元素左表頭元素運(yùn)算第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)練習(xí)

設(shè)S={1,2,3,4}，定義S上的二元運(yùn)算如下：x?y=(xy)mod5,x,yS.求?的運(yùn)算表。注：運(yùn)算表可以直觀地顯示出運(yùn)算所具有的某些性質(zhì)。?123412341234241331424321第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日二元運(yùn)算的性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)是代數(shù)系統(tǒng)的核心。根據(jù)運(yùn)算的性質(zhì)，可以將眾多代數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行抽象分類，比如群，交換群，循環(huán)群，置換群，環(huán)，域，格，布爾代數(shù)，等等。第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日二元運(yùn)算的性質(zhì)定義設(shè)?和*為S上的二元運(yùn)算，(1)?在S上可交換：x,yS,x?y=y?x.(2)?在S上可結(jié)合：x,y,zS,(x?y)?z=x?(y?z).(3)?適合冪等律：xS,x?x=x.(4)*對(duì)?可分配：x,y,zS,x*(y?z)=(x*y)?(x*z).(5)?和*滿足吸收律：x,yS,x*(x?y)=x,x?(x*y)=x.第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日二元運(yùn)算的性質(zhì)注：在滿足結(jié)合性的集合上，可以定義元素的冪運(yùn)算。

xx=x2x2x=xx2=x3xmxn=xm+n(xm)n=xmn(m,nZ+)第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日二元運(yùn)算的性質(zhì)例4

關(guān)于元素的冪，請(qǐng)計(jì)算：

(1)整數(shù)集上的加法+：13=？，乘法×：13=？(2)集合族P(S)上的對(duì)稱差：A3=?（AP(S)）(3)集合Zn={0,1,2,...,n-1}上的模n加法：xy=(x+y)modn

求x3=?(xZn)第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日二元運(yùn)算的性質(zhì)例5在Z+上定義兩個(gè)運(yùn)算為：a*b=ab，a△b=a?b，其中“?”是普通乘法，試證明*對(duì)△是不可分配的。第二十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)的特殊元素定義

設(shè)?為S上的二元運(yùn)算，el,er,e,l,r,S，(1)

左幺元el：xS,el?x=x.

右幺元er：xS,x?er=x.

幺元(單位元)e：e既是左幺元，又是右幺元。(2)左零元l：xS,l?x=l.

右零元r：xS,x?r=r.

零元：既是左零元，又是右零元。(3)x的左逆元yl：xS,ylS,使得

yl?x=e.x的右逆元yr：xS,yrS,使得x?yr

=e.x的逆元y：y

S既是x的左逆元，又是x的右逆元。第二十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)的特殊元素定理(1)幺元存在唯一性。幺元是代數(shù)系統(tǒng)的幺元。(2)零元存在唯一性。零元是代數(shù)系統(tǒng)的幺元。(3)設(shè)?在S上可結(jié)合，則逆元若存在，則唯一。

通常把這個(gè)唯一的逆元記作x-1.逆元依賴于元素x。注：在定義了幺元和逆元之后，元素的冪運(yùn)算可以擴(kuò)充至：

x0=e，xn=xxn-1xmxn=xm+n(xm)n=xmn(m,nZ)

第三十頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)的特殊元素例6

求以下各代數(shù)系統(tǒng)的幺元，零元及各元素的逆元（如果存在的話）。(1)<Z,+>,“+”為普通加法。(2)<Zn,>，“”定義為模n加法，xy=(x+y)modn.(3)<P(S),>,“”為對(duì)稱差運(yùn)算。(4)<P(S)，∪,∩>，“∪”,“∩”為集合的并、交運(yùn)算<Z,+，0>，<Zn,，0>，<P(S),，

><P(S)，∪,∩，S，>

第三十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)的特殊元素例7關(guān)于元素的冪，請(qǐng)計(jì)算：(1)整數(shù)集上的加法+：1-3=？，乘法×：2-3=？(2)集合族P(S)上的對(duì)稱差：A-3=?（AP(S)）(3)集合Zn={0,1,2,...,n-1}上的模n加法：xy=(x+y)modn

求x-3=?(xZn)第三十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)的特殊元素定義

設(shè)?為S上的二元運(yùn)算，如果x,y,zS滿足以下條件：(1)若x?y=x?z且x不是零元，則y=z，(左消去律)

(2)若y?x=z?x且x不是零元，則y=z，(右消去律)就稱運(yùn)算?滿足消去律。第三十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)的特殊元素例8

對(duì)于下面給定的集合和該集合上的二元運(yùn)算，指出該運(yùn)算的性質(zhì)，并求出它的幺元、零元和所有的逆元。(1)<Z+,*>x,yZ+，x*y=lcm(x,y)，即求x和y的最小公倍數(shù)。(2)<Q，*>x,yQ，x*y=x+y-xy.第三十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日代數(shù)系統(tǒng)的特殊元素解：(1)*運(yùn)算可交換，可結(jié)合，是冪等的。xZ+，x*1=x，1*x=x，1為幺元，不存在零元。只有1有逆元，是它本身，其它整數(shù)無逆元。(2)*運(yùn)算滿足交換律，∵x,yQ，x*y=x+y-xy=y+x-yx=y*x.*運(yùn)算滿足結(jié)合律，