2022年度江蘇省無錫市蠡湖中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2022年度江蘇省無錫市蠡湖中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，如果，則該三角形是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．以上答案均不正確參考答案：C【考點(diǎn)】正弦定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；解三角形．【分析】由余弦定理化簡已知等式，整理可得：（a2+b2）（a2﹣b2）=c2（a2﹣b2），從而解得a2﹣b2=0，即a=b，三角形為等腰三角形，或a2+b2=c2，即三角形為直角三角形．【解答】解：∵，即acosA=bcosB，∴由余弦定理可得：a×=b×，整理可得：（a2+b2）（a2﹣b2）=c2（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0，即a=b，三角形為等腰三角形，或a2+b2=c2，即三角形為直角三角形．綜上該三角形一定是等腰或直角三角形．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理、勾股定理的綜合應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．2.已知，，則．參考答案：<略3.若，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C．

D．參考答案：C4.在如圖的正方體中，M、N分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AC和MN所成的角為(

)A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：C【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【專題】常規(guī)題型．【分析】連接C1B，D1A，AC，D1C，將MN平移到D1A，根據(jù)異面直線所成角的定義可知∠D1AC為異面直線AC和MN所成的角，而三角形D1AC為等邊三角形，即可求出此角．【解答】解：連接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A∴∠D1AC為異面直線AC和MN所成的角而三角形D1AC為等邊三角形∴∠D1AC=60°故選C．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

5.直線mx+y－m+2=0恒經(jīng)過定點(diǎn)（

）A.(1,－1)

B.(1,2)

C.(1,－2)

D.(1,1)參考答案：C6.函數(shù),的最大值為(

).A.

B.

C.

D.

參考答案：D略7.在△ABC中，如果sinA＝2sinCcosB，那么這個(gè)三角形是（

）

A.銳角三角形

B．直角三角形

C．等邊三角形

D．等腰三角形參考答案：D略8.i是虛數(shù)單位，（1﹣i）Z=2i，則復(fù)數(shù)Z的模|Z|=（）A．1 B． C．D．2參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模．【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．【解答】解：∵（1﹣i）Z=2i，∴，則|Z|=．故選：B．9.在體育選修課排球模塊基本功(發(fā)球)測試中，計(jì)分規(guī)則如下(滿分為10分)：①每人可發(fā)球7次，每成功一次記1分；②若連續(xù)兩次發(fā)球成功加0.5分，連續(xù)三次發(fā)球成功加1分，連續(xù)四次發(fā)球成功加1.5分，以此類推，…，連續(xù)七次發(fā)球成功加3分假設(shè)某同學(xué)每次發(fā)球成功的概率為，且各次發(fā)球之間相互獨(dú)立，則該同學(xué)在測試中恰好得5分的概率是(

)A. B. C. D.參考答案：B【分析】明確恰好得5分的所有情況：發(fā)球四次得分，有兩個(gè)連續(xù)得分和發(fā)球四次得分，有三個(gè)連續(xù)得分，分別求解可得.【詳解】該同學(xué)在測試中恰好得5分有兩種情況：四次發(fā)球成功，有兩個(gè)連續(xù)得分，此時(shí)概率；四次發(fā)球成功，有三個(gè)連續(xù)得分，分為連續(xù)得分在首尾和不在首尾兩類，此時(shí)概率，所求概率；故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率，題目稍有難度，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).10.點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，則PA與BD所成角的度數(shù)為ks5uA．30°

B．45°

C．60°

D．90°參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{an}滿足an+1=，且a1=2，則an=

．參考答案：-2【考點(diǎn)】數(shù)列的極限．【分析】可設(shè)an+1﹣t=（an﹣t），解得t=﹣2，則an+1+2=（an+2），運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再由數(shù)列極限公式，即可得到所求值．【解答】解：an+1=，可設(shè)an+1﹣t=（an﹣t），解得t=﹣2，則an+1+2=（an+2），可得an+2=（a1+2）?（）n﹣1，=4?（）n﹣1，即an=4?（）n﹣1﹣2，則an=[4?（）n﹣1﹣2]=0﹣2=﹣2．故答案為：﹣2．12.過點(diǎn)P（1,2）引直線使A（2，3），B（4，5）到直線的距離相等，求這條直線方程_____________參考答案：或13.命題“若x＞1，則x＞2”的逆命題為

．參考答案：若x＞2，則x＞1

【考點(diǎn)】四種命題．【分析】根據(jù)已知中的原命題，結(jié)合逆命題的定義，可得答案．【解答】解：命題“若x＞1，則x＞2”的逆命題為命題“若x＞2，則x＞1”，故答案為：若x＞2，則x＞1【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是四種命題，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．14.定義運(yùn)算=，則符合條件=0的復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第

象限；參考答案：第一象限略15.閱讀右圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的X的值為2，則輸出的結(jié)果是______.參考答案：-316.橢圓的焦距是___________________。參考答案：17.若復(fù)數(shù)z=（m2﹣m）+mi是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為．參考答案：1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行求解即可．【解答】解：若復(fù)數(shù)z=（m2﹣m）+mi是純虛數(shù)，則，即，即m=1，故答案為：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某電視臺(tái)擬舉行由選手報(bào)名參加的比賽類型的娛樂節(jié)目，選手進(jìn)入正賽前需通過海選，參加海選的選手可以參加A、B、C三個(gè)測試項(xiàng)目，只需通過一項(xiàng)測試即可停止測試，通過海選．若通過海選的人數(shù)超過預(yù)定正賽參賽人數(shù)，則優(yōu)先考慮參加海選測試次數(shù)少的選手進(jìn)入正賽．當(dāng)某選手三項(xiàng)測試均未通過，則被淘汰．現(xiàn)已知甲選手通過項(xiàng)目A、B、C測試的概率為分別為、、，且通過各次測試的事件相互獨(dú)立． （Ⅰ）若甲選手先測試A項(xiàng)目，再測試B項(xiàng)目，后測試C項(xiàng)目，求他通過海選的概率；若改變測試順序，對(duì)他通過海選的概率是否有影響？說明理由． （Ⅱ）若甲選手按某種順序參加海選測試，第一項(xiàng)能通過的概率為p1，第二項(xiàng)能通過的概率為p2，第三項(xiàng)能通過的概率為p3，設(shè)他結(jié)束測試時(shí)已參加測試的次數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和期望（用p1、p2、p3表示）；并說明甲選手按怎樣的測試順序更有利于他進(jìn)入正賽． 參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列． 【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)． 【分析】（Ⅰ）依題意，先求出甲選手不能通過海選的概率，從而得到甲選手能通過海選的概率，無論按什么順序，其能通過海選的概率均為． （Ⅱ）依題意ξ的所有可能取值為1、2、3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和期望（用p1、p2、p3表示），并能求出甲選手按怎樣的測試順序更有利于他進(jìn)入正賽． 【解答】解：（Ⅰ）依題意，甲選手不能通過海選的概率為（1﹣）（1﹣）（1﹣）， 故甲選手能通過海選的概率為1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）=．…..（3分） 若改變測試順序?qū)λㄟ^海選的概率沒有影響， 因?yàn)闊o論按什么順序，其不能通過的概率均為（1﹣）（1﹣）（1﹣）=， 即無論按什么順序，其能通過海選的概率均為．…..（5分） （Ⅱ）依題意ξ的所有可能取值為1、2、3． p（ξ=1）=p1， p（ξ=2）=（1﹣p1）p2， p（ξ=3）=（1﹣p1）（1﹣p2）． 故ξ的分布列為： ξ123Pp1（1﹣p1）p2（1﹣p1）（1﹣p2）…．（8分） Eξ=p1+2（1﹣p1）p2+3（1﹣p1）（1﹣p2）…（10分） 分別計(jì)算當(dāng)甲選手按C→B→A，C→A→B，B→A→C，B→C→A，A→B→C，A→C→B， 得甲選手按C→B→A參加測試時(shí)，Eξ最小， ∵參加測試的次數(shù)少的選手優(yōu)先進(jìn)入正賽，故該選手選擇將自己的優(yōu)勢(shì)項(xiàng)目放在前面， 即按C→B→A參加測試更有利于進(jìn)入正賽．…．（12分） 【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用． 19.已知橢圓方程為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)，

(1)求弦中點(diǎn)的軌跡方程；

(2)設(shè)直線、斜率分別為、，求證：為定值．參考答案：(1)將代入消去并整理得，

．

，

，，

，在橢圓內(nèi)部部分．

（6分）

(2)

（12分）略20.已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率，原點(diǎn)到過點(diǎn)A（﹣a，0），B（0，b）的直線的距離是．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線l與兩定直線l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分別交于P，Q兩點(diǎn)．若直線l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：△OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】方程思想；分類法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)到直線的距離公式，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）討論直線l的斜率是否存在，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用判別式為0，再聯(lián)立直線方程組，求得P，Q的坐標(biāo)，求得PQ的長，求出OPQ的面積，化簡整理，可得最小值．【解答】解：（1）因?yàn)椋琣2﹣b2=c2，所以a=2b．因?yàn)樵c(diǎn)到直線AB：的距離，解得a=4，b=2．故所求橢圓C的方程為+=1．（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l為x=4或x=﹣4，都有．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0．因?yàn)橹本€l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4．①又由可得；同理可得．由原點(diǎn)O到直線PQ的距離為和，可得．②將①代入②得，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因，則0＜1﹣4k2≤1，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)取等號(hào)．所以當(dāng)k=0時(shí)，S△OPQ的最小值為8．綜上可知，當(dāng)直線l與橢圓C在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，△OPQ的面積取得最小值8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的性質(zhì)：離心率公式和點(diǎn)到直線的距離，考查三角形的面積的最小值，注意討論直線的斜率是否存在，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，屬于中檔題．21.已知函數(shù)f(x)＝x3＋