《直線與直線垂直》設計

《直線與直線垂直》教學設計【教學目標】1.了解空間中兩條直線的三種位置關系，理解異面直線的定義，會用平面襯托來畫異面直線．2.會用異面直線所成的角的定義找出或作出異面直線所成的角【教學重點】會用異面直線所成的角的定義找出或作出異面直線所成的角【教學難點】求異面直線所成角大小【課時安排】1課時【教學過程】新知初探異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)異面直線所成的角θ的取值范圍：0°<θ≤90°.(3)當θ＝90°時，a與b互相垂直，記作a⊥b.思考：空間中兩條直線垂直,一定要相交嗎?[提示]不一定.如果兩條異面直線所成的角是直角,就稱這兩條直線垂直.小試牛刀1．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A．一定是異面直線B．一定是相交直線C．不可能是平行直線D．不可能是相交直線C解析：由已知得直線c與b既可能為異面直線，也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b∥c，則a∥b，與已知a、b為異面直線相矛盾．2．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AD1與DC1所成角的大小為()A．120°B．90°C．60°D．30°C解析：連接AB1和B1D1，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB1＝AD1＝B1D1，AB1∥DC1，所以異面直線AD1與DC1所成的角即為直線AB1與AD1所成的角，設∠B1AD1＝θ，在等邊三角形AB1D1中，∠B1AD1＝60°，即異面直線AD1與DC1所成的角為60°，故選C.3．已知正方體ABCD-A′B′C′D′中：(1)BC′與CD′所成的角為；(2)AD與BC′所成的角為．(1)60°(2)45°[(1)連接BA′，則BA′∥CD′，連接A′C′，則∠A′BC′就是BC′與CD′所成的角．由△A′BC′為正三角形，知∠A′BC′＝60°，(2)由AD∥BC，知AD與BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.]例題講解異面直線所成的角【例1】如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D.(1)哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線？(2)直線BA′和CC′的夾角是多少？(3)哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？[解](1)由異面直線的定義可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直線分別與直線BA′是異面直線．(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′為異面直線BA′與CC′的夾角，∠B′BA′＝45°，所以直線BA′和CC′的夾角為45°.(3)直線AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分別與直線AA′垂直．方法總結求異面直線所成角的步驟一作：選擇適當?shù)狞c，用平移法作出異面直線所成的角；二證：證明作出的角就是要求的角；三計算：將異面直線所成的角放入某個三角形中，利用特殊三角形求解．當堂練習1如圖所示，空間四邊形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分別為BC、AD的中點，求EF和AB所成的角．[解析]如圖所示，取BD的中點G，連接EG、FG.∵E、F分別為BC、AD的中點，AB＝CD，∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝eq\f(1,2)CD，GF＝eq\f(1,2)AB.∴∠GFE就是EF與AB所成的角，EG＝GF.∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.∴△EFG為等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，∴EF和AB所成的角是45°.直線與直線垂直的證明【例2】如圖所示，正方體AC1中，E、F分別是A1B1、B1C1的中點，求證：DB1⊥EF.【解析】方法一如圖所示，連接A1C1，B1D1，并設它們相交于點O，取DD1的中點G，連接OG，A1G，C1G，則OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角(或其補角)．∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點，∴GO⊥A1C1.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.∴DB1⊥EF.方法二如圖所示，連接A1D，取A1D的中點H，連接HE，則HE綊eq\f(1,2)DB1，∴∠HEF為異面直線DB1與EF所成的角(或其補角)．連接HF，設AA1＝1，則EF＝eq\f(\r(2),2)，HE＝eq\f(\r(3),2)，取A1D1的中點I，連接HI，IF，則HI⊥IF，∴HF2＝HI2＋IF2＝eq\f(5,4)，∴HF2＝EF2＋HE2，∴∠HEF＝90°.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.∴DB1⊥EF.方法三：如圖，連接A1C1，分別取AA1，CC1的中點M，N，連接MN.∵E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點，∴EF∥A1C1，又MN∥A1C1，∴MN∥EF.連接DM，B1N，MB1，DN，則B1N綊DM，∴四邊形DMB1N為平行四邊形，∴MN與DB1必相交，設交點為P，則∠DPM為異面直線DB1與EF所成的角(或其補角)．設AA1＝k(k>0)，則MP＝eq\f(\r(2),2)k，DM＝eq\f(\r(5),2)k，DP＝eq\f(\r(3),2)k，∴DM2＝DP2＋MP2，∴∠DPM＝90°.∴DB1⊥EF.方法總結證明兩條異面直線垂直的步驟：(1)恰當選點，用平移法構造出一個相交角．(2)證明這個角就是異面直線所成的角(或補角)．(3)把相交角放在平面圖形中，一般是放在三角形中，通過解三角形求出所構造的角的度數(shù)．(4)給出結論：若求出的平面角為直角，垂直得證．當堂練習2空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點，F(xiàn)G＝2，GE＝eq\r(5)，EF＝3.求證：AC⊥BD.[證明]∵點G，E分別是CD，BC的中點，∴GE∥BD，同理GF∥AC.∴∠FGE或∠FGE的補角是異面直線AC與BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝eq\r(5)，EF＝3，滿足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即異面直線AC與BD所成的角是90°.∴AC⊥BD