MALAB數(shù)據(jù)與多項式計算

第6章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項式計算本章內(nèi)容6.1數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理6.2數(shù)據(jù)插值6.3曲線擬合6.4離散傅立葉變換6.5多項式計算6.1數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理6.1.1最大值和最小值MATLAB提供的求數(shù)據(jù)序列的最大值和最小值的函數(shù)分別為max和min，兩個函數(shù)的調(diào)用格式和操作過程類似。1．求向量的最大值和最小值求一個向量X的最大值的函數(shù)有兩種調(diào)用格式，分別是：(1)y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。例6-1求向量x的最大值。命令如下：x=[-43,72,9,16,23,47];y=max(x)%求向量x中的最大值[y,I]=max(x)%求向量x中的最大值及其該元素的位置(2)[y,I]=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序號存入I，如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。求向量X的最小值的函數(shù)是min(X)，用法和max(X)完全相同。2．求矩陣的最大值和最小值求矩陣A的最大值的函數(shù)有3種調(diào)用格式，分別是：(1)max(A)：返回一個行向量，向量的第i個元素是矩陣A的第i列上的最大值。(2)[Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量記錄A的每列的最大值，U向量記錄每列最大值的行號。(3)max(A,[],dim)：dim取1或2。dim取1時，該函數(shù)和max(A)完全相同；dim取2時，該函數(shù)返回一個列向量，其第i個元素是A矩陣的第i行上的最大值。求最小值的函數(shù)是min，其用法和max完全相同。例6-2分別求4×4魔方矩陣x中各列和各行元素中的最大值，并求整個矩陣的最大值和最小值。3．兩個向量或矩陣對應(yīng)元素的比較函數(shù)max和min還能對兩個同型的向量或矩陣進(jìn)行比較，調(diào)用格式為：(1)U=max(A,B)：A,B是兩個同型的向量或矩陣，結(jié)果U是與A,B同型的向量或矩陣，U的每個元素等于A,B對應(yīng)元素的較大者。(2)U=max(A,n)：n是一個標(biāo)量，結(jié)果U是與A同型的向量或矩陣，U的每個元素等于A對應(yīng)元素和n中的較大者。min函數(shù)的用法和max完全相同。例6-3求兩個2×3矩陣x,y所有同一位置上的較大元素構(gòu)成的新矩陣p。6.1.2求和與求積數(shù)據(jù)序列求和與求積的函數(shù)是sum和prod，其使用方法類似。設(shè)X是一個向量，A是一個矩陣，函數(shù)的調(diào)用格式為：sum(X)：返回向量X各元素的和。prod(X)：返回向量X各元素的乘積。sum(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的元素和。prod(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的元素乘積。sum(A,dim)：當(dāng)dim為1時，該函數(shù)等同于sum(A)；當(dāng)dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的各元素之和。prod(A,dim)：當(dāng)dim為1時，該函數(shù)等同于prod(A);當(dāng)dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的各元素乘積。例6-4求矩陣A的每行元素的乘積和全部元素的乘積。6.1.3平均值和中值求數(shù)據(jù)序列平均值的函數(shù)是mean，求數(shù)據(jù)序列中值的函數(shù)是median。兩個函數(shù)的調(diào)用格式為：mean(X)：返回向量X的算術(shù)平均值。median(X)：返回向量X的中值。mean(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的算術(shù)平均值。median(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的中值。mean(A,dim)：當(dāng)當(dāng)dim為為1時，該該函數(shù)等同同于mean(A);當(dāng)dim為2時時，返回一一個列向量量，其第i個元素是是A的第i行的算術(shù)術(shù)平均值。。median(A,dim)：當(dāng)dim為1時時,該函數(shù)數(shù)等同于median(A);當(dāng)dim為2時，返回回一個列向向量，其第第i個元素素是A的第第i行的中中值。例6-5分分別求求向量x與與y的平均均值和中值值。6.1.4累加加和與累乘乘積在MATLAB中，，使用cumsum和cumprod函數(shù)能方方便地求得得向量和矩矩陣元素的的累加和與與累乘積向向量，函數(shù)數(shù)的調(diào)用格格式為：cumsum(X)：返回向向量X累加加和向量。。cumprod(X)：返回回向量X累累乘積向量量。cumsum(A)：：返回一一個矩陣陣，其第第i列是是A的第第i列的的累加和和向量。。cumprod(A)：：返回一個矩矩陣，其第i列是A的第第i列的累乘乘積向量。cumsum(A,dim)：當(dāng)dim為1時時，該函數(shù)等等同于cumsum(A)；當(dāng)dim為2時，，返回一個矩矩陣，其第i行是A的第第i行的累加加和向量。cumprod(A,dim)：當(dāng)當(dāng)dim為1時，該函數(shù)數(shù)等同于cumprod(A)；當(dāng)當(dāng)dim為2時，返回一一個向量，其其第i行是A的第i行的的累乘積向量量。例6-6求求X=[413;213;314;345]的累加和及及累乘積。6.1.5標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方差差與相關(guān)系數(shù)數(shù)1．求標(biāo)準(zhǔn)方方差在MATLAB中，提供供了計算數(shù)據(jù)據(jù)序列的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方差的函數(shù)數(shù)std。對對于向量X，，std(X)返回一個個標(biāo)準(zhǔn)方差。。對于矩陣A，std(A)返回一一個行向量，，它的各個元元素便是矩陣陣A各列或各各行的標(biāo)準(zhǔn)方方差。std函數(shù)的一般般調(diào)用格式為為：Y=std(A,flag,dim)其中dim取取1或2。當(dāng)當(dāng)dim=1時，求各列列元素的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方差；當(dāng)dim=2時時，則求各行行元素的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方差。flag取0或或1，當(dāng)flag=0時時，按σ1所所列公式計算算標(biāo)準(zhǔn)方差，，當(dāng)flag=1時，按按σ2所列公公式計算標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方差。缺省省flag=0，dim=1。例6-7對對二維矩陣陣x，從不同同維方向求出出其標(biāo)準(zhǔn)方差差。2．相關(guān)系數(shù)數(shù)MATLAB提供了corrcoef函數(shù)，可可以求出數(shù)據(jù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)數(shù)矩陣。corrcoef函數(shù)的調(diào)調(diào)用格式為：：corrcoef(X)：返回從矩矩陣X形成的的一個相關(guān)系系數(shù)矩陣。它它把矩陣X的的每列作為一一個變量，然然后求它們的的相關(guān)系數(shù)。。corrcoef(X,Y)：在這這里，X,Y是向量，它它們與corrcoef([X,Y])的作用用一樣。例6-8生生成滿足正正態(tài)分布的10×5隨機(jī)機(jī)矩陣，然后后求各列元素素的均值和標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方差，再再求這5列隨隨機(jī)數(shù)據(jù)的相相關(guān)系數(shù)矩陣陣。命令如下：X=randn(10,5);M=mean(X);D=std(X);R=corrcoef(X);6.1.6排排序序MATLAB中中對對向向量量X是是排排序序函函數(shù)數(shù)是是sort(X)，，函函數(shù)數(shù)返返回回一一個個對對X中中的的元元素素按按升升序序排排列列的的新新向向量量。。sort函函數(shù)數(shù)也也可可以以對對矩矩陣陣A的的各各列列或或各各行行重重新新排排序序，，其其調(diào)調(diào)用用格格式式為為：：[Y,I]=sort(A,dim)其中中dim指指明明對對A的的列列還還是是行行進(jìn)進(jìn)行行排排序序。。若若dim=1，，則則按按列列排排；；若若dim=2，，則則按按行行排排。。Y是是排排序序后后的的矩矩陣陣，，而而I記記錄錄Y中中的的元元素素在在A中中位位置置。。例6-9對對二維矩矩陣做各各種排序序。6.2數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)插值6.2.1一一維數(shù)數(shù)據(jù)插值值在MATLAB中，實實現(xiàn)這些些插值的的函數(shù)是是interp1，其其調(diào)用格格式為：：Y1=interp1(X,Y,X1,'method')函數(shù)根據(jù)據(jù)X,Y的值，，計算函函數(shù)在X1處的的值。X,Y是是兩個等等長的已已知向量量，分別別描述采采樣點(diǎn)和和樣本值值，X1是一個個向量或或標(biāo)量，，描述欲欲插值的的點(diǎn)，Y1是一一個與X1等長長的插值值結(jié)果。。method是插值值方法，，允許的的取值有有‘linear’、、‘nearest’、‘cubic’、、‘spline’。。注意：X1的取取值范圍圍不能超超出X的的給定范范圍，否否則，會會給出““NaN”錯誤誤。MATLAB中中有一個個專門的的3次樣樣條插值值函數(shù)Y1=spline(X,Y,X1)，其其功能及及使用方方法與函函數(shù)Y1=interp1(X,Y,X1,‘spline’’)完全全相同。。例6-11某某觀測測站測得得某日6:00時至18:00時之之間每隔隔2小時時的室內(nèi)內(nèi)外溫度度(℃)，用3次樣條條插值分分別求得得該日室室內(nèi)外6:30至17:30時之間間每隔2小時各各點(diǎn)的近近似溫度度(℃)。設(shè)時間變變量h為為一行向向量，溫溫度變量量t為一一個兩列列矩陣，，其中第第一列存存放室內(nèi)內(nèi)溫度，，第二列列儲存室室外溫度度。命令令如下：：h=6:2:18;t=[18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30]';XI=6.5:2:17.5YI=interp1(h,t,XI,‘‘spline’)%用用3次次樣條條插值值計算算6.2.2二二維維數(shù)據(jù)據(jù)插值值在MATLAB中，，提供供了解解決二二維插插值問問題的的函數(shù)數(shù)interp2，，其調(diào)調(diào)用格格式為為：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,'method')其中X,Y是兩兩個向向量，，分別別描述述兩個個參數(shù)數(shù)的采采樣點(diǎn)點(diǎn)，Z是與與參數(shù)數(shù)采樣樣點(diǎn)對對應(yīng)的的函數(shù)數(shù)值，，X1,Y1是是兩個個向量量或標(biāo)標(biāo)量，，描述述欲插插值的的點(diǎn)。。Z1是根根據(jù)相相應(yīng)的的插值值方法法得到到的插插值結(jié)結(jié)果。。method的的取值值與一一維插插值函函數(shù)相相同。。X,Y,Z也也可以以是矩矩陣形形式。。同樣，X1,Y1的的取值范圍圍不能超出出X,Y的的給定范圍圍，否則，，會給出““NaN””錯誤。例6-13某實實驗對一根根長10米米的鋼軌進(jìn)進(jìn)行熱源的的溫度傳播播測試。用用x表示測測量點(diǎn)0:2.5:10(米米)，用h表示測量量時間0:30:60(秒)，用T表表示測試所所得各點(diǎn)的的溫度(℃℃)。試用用線性插值值求出在一一分鐘內(nèi)每每隔20秒秒、鋼軌每每隔1米處處的溫度TI。命令如下：：x=0:2.5:10;h=[0:30:60]';T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];xi=[0:10];hi=[0:20:60]';TI=interp2(x,h,T,xi,hi);6.3曲曲線擬合合在MATLAB中，，用polyfit函數(shù)來求求得最小二二乘擬合多多項式的系系數(shù)，再用用polyval函函數(shù)按所得得的多項式式計算所給給出的點(diǎn)上上的函數(shù)近近似值。polyfit函函數(shù)數(shù)的的調(diào)調(diào)用用格格式式為為：：[P,S]=polyfit(X,Y,m)函數(shù)數(shù)根根據(jù)據(jù)采采樣樣點(diǎn)點(diǎn)X和和采采樣樣點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)值值Y，，產(chǎn)產(chǎn)生生一一個個m次次多多項項式式P及及其其在在采采樣樣點(diǎn)點(diǎn)的的誤誤差差向向量量S。。其其中中X,Y是是兩兩個個等等長長的的向向量量，，P是是一一個個長長度度為為m+1的的向向量量，，P的的元元素素為為多多項項式式系系數(shù)數(shù)。。polyval函數(shù)的功功能是按多項項式的系數(shù)計計算x點(diǎn)多項項式的值，將將在6.5.3節(jié)中詳細(xì)細(xì)介紹。例6-14已已知數(shù)據(jù)據(jù)表[t,y]，試求3次擬合多項項式p(t)，然后求ti=1.5,2.5,3.5,4.5各點(diǎn)點(diǎn)的函數(shù)近似似值。t=[12345];y=[5.543.1128290.7498.4];p=polyfit(t,y,3);ti=[1.5,2.5,3.5,4.5];yi=polyval(p,ti);plot(t,y,'-',ti,yi,'o');gridon6.4離離散傅立葉變變換6.4.1離離散傅立葉葉變換的實現(xiàn)現(xiàn)一維離散傅立立葉變換函數(shù)數(shù)，其調(diào)用格格式與功能為為：(1)fft(X)：：返回向量X的離散傅立立葉變換。設(shè)設(shè)X的長度(即元素個數(shù)數(shù))為N，若若N為2的冪冪次，則為以以2為基數(shù)的的快速傅立葉葉變換，否則則為運(yùn)算速度度很慢的非2冪次的算法法。對于矩陣陣X，fft(X)應(yīng)用用于矩陣的每每一列。(2)fft(X,N)：計算N點(diǎn)離散傅立立葉變換。它它限定向量的的長度為N，，若X的長度度小于N，則則不足部分補(bǔ)補(bǔ)上零；若大大于N，則刪刪去超出N的的那些元素。。對于矩陣X，它同樣應(yīng)應(yīng)用于矩陣的的每一列，只只是限定了向向量的長度為為N。(3)fft(X,[],dim)或fft(X,N,dim)：：這是對于矩矩陣而言的函函數(shù)調(diào)用格式式，前者的功功能與FFT(X)基本本相同，而后后者則與FFT(X,N)基本相同同。只是當(dāng)參參數(shù)dim=1時，該函函數(shù)作用于X的每一列；；當(dāng)dim=2時，則作作用于X的每每一行。值得一提的是是，當(dāng)已知給給出的樣本數(shù)數(shù)N0不是2的冪次次時，可以取取一個N使它它大于N0且是2的冪次次，然后利用用函數(shù)格式fft(X,N)或fft(X,N,dim)便可進(jìn)行快快速傅立葉變變換。這樣，，計算速度將將大大加快。。相應(yīng)地，一維維離散傅立葉葉逆變換函數(shù)數(shù)是ifft。ifft(F)返回回F的一維離離散傅立葉逆逆變換；ifft(F,N)為N點(diǎn)點(diǎn)逆變換；ifft(F,[],dim)或ifft(F,N,dim)則由N或dim確確定逆變換的的點(diǎn)數(shù)或操作作方向。例6-15給給定數(shù)學(xué)學(xué)函數(shù)x(t)=12sin(2π×10t+π/4)+5cos(2π××40t)取N=128，試對t從從0~1秒采采樣，用fft作快速傅傅立葉變換，，繪制相應(yīng)的的振幅-頻率率圖。在0~1秒時時間范圍內(nèi)采采樣128點(diǎn)點(diǎn)，從而可以以確定采樣周周期和采樣頻頻率。由于離離散傅立葉變變換時的下標(biāo)標(biāo)應(yīng)是從0到到N-1，故故在實際應(yīng)用用時下標(biāo)應(yīng)該該前移1。又又考慮到對離離散傅立葉變變換來說，其其振幅|F(k)|是是關(guān)于N/2對稱的，故故只須使k從從0到N/2即可。程序如下：N=128;%采采樣點(diǎn)數(shù)T=1;%采采樣樣時間間終點(diǎn)點(diǎn)t=linspace(0,T,N);%給給出N個采采樣時時間ti(I=1:N)x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t);%求求各采采樣點(diǎn)點(diǎn)樣本本值xdt=t(2)-t(1);%采采樣樣周期期f=1/dt;%采采樣頻頻率(Hz)X=fft(x);%計計算算x的的快速速傅立立葉變變換XF=X(1:N/2+1);%F(k)=X(k)(k=1:N/2+1)f=f*(0:N/2)/N;%使使頻頻率軸軸f從從零開開始plot(f,abs(F),'-*')%繪繪制制振幅幅-頻頻率圖圖xlabel('Frequency');ylabel('|F(k)|')6.5多多項項式計計算6.5.1多多項項式的的四則則運(yùn)算算1．多多項式式的加加減運(yùn)運(yùn)算2．多多項式式乘法法運(yùn)算算函數(shù)conv(P1,P2)用于于求多多項式式P1和P2的的乘積積。這這里，，P1、P2是是兩個個多項項式系系數(shù)向向量。。例6-16求求多多項式式x4+8x3-10與多多項式式2x2-x+3的的乘積積。3．多多項式式除法法函數(shù)[Q,r]=deconv(P1,P2)用于于對多多項式式P1和P2作作除法法運(yùn)算算。其其中Q返回回多項項式P1除除以P2的的商式式，r返回回P1除以以P2的余余式。。這里里，Q和r仍是是多項項式系系數(shù)向向量。。deconv是是conv的逆逆函數(shù)數(shù)，即即有P1=conv(P2,Q)+r。例6-17求求多多項式式x4+8x3-10除以以多項項式2x2-x+3的的結(jié)果果。6.5.2多多項項式的的導(dǎo)函函數(shù)對多項項式求求導(dǎo)數(shù)數(shù)的函函數(shù)是是：p=polyder(P)：：求多多項式式P的的導(dǎo)函函數(shù)p=polyder(P,Q)：：求P·Q的導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)數(shù)[p,q]=polyder(P,Q)：：求P/Q的導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)數(shù)，導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)數(shù)的分分子存存入p，分分母存存入q。上述述函函數(shù)數(shù)中中，，參參數(shù)數(shù)P,Q是是多多項項式式的的向向量量表表示示，，結(jié)結(jié)果果p,q也也是是多多項項式式的的向向量量表表示示。。例6-18求求有有理理分分式式的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。。命令令如如下下：：P=[1];Q=[1,0,5];[p,q]=polyder(P,Q)6.5.3多多項項式式的的求求值值MATLAB提提供供了了兩兩種種求求多多項項式式值值的的函函數(shù)數(shù)：：polyval與與polyvalm，，它它們們的的輸輸入入?yún)?shù)數(shù)均均為為多多項項式式系系數(shù)數(shù)向向量量P和和自自變變量量x。。兩兩者者的的區(qū)區(qū)別別在在于于前前者者是是代代數(shù)數(shù)多多項項式式求求值值，，而而后后者者是是矩矩陣陣多多項項式式求求值值。。1．．代代數(shù)數(shù)多多項項式式求求值值polyval函函數(shù)數(shù)用用來來求求代代數(shù)數(shù)多多項項式式的的值值，，其其調(diào)調(diào)用用格格式式為為：：Y=polyval(P,x)若x為一一數(shù)值，，則求多多項式在在該點(diǎn)的的值；若若x為向向量或矩矩陣，則則對向量量或矩陣陣中的每每個元素素求其多多項式的的值。例6-19已已知多多項式x4+8x3-10，，分別取取x=1.2和和一個2×3矩矩陣為自自變量計計算該多多項式的的值。2．矩陣陣多項式式求值polyvalm函數(shù)數(shù)用來求求矩陣多多項式的的值，其其調(diào)用格格式與polyval相同，，但含義義不同。。polyvalm函函數(shù)要求求x為方方陣，它它以方陣