MBA統(tǒng)計(jì)學(xué)總體參數(shù)的估計(jì)

統(tǒng)計(jì)學(xué)─從數(shù)據(jù)到結(jié)論第五章總體參數(shù)的估計(jì)估計(jì)就是根據(jù)你擁有的信息來對(duì)現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行某種判斷。你可以根據(jù)一個(gè)人的衣著、言談和舉止判斷其身份你可以根據(jù)一個(gè)人的臉色，猜出其心情和身體狀況統(tǒng)計(jì)中的估計(jì)也不例外，它是完全根據(jù)數(shù)據(jù)做出的。如果我們想知道北京人認(rèn)可某飲料的比例，人們只有在北京人中進(jìn)行抽樣調(diào)查以得到樣本，并用樣本中認(rèn)可該飲料的比例來估計(jì)真實(shí)的比例。從不同的樣本得到的結(jié)論也不會(huì)完全一樣。雖然真實(shí)的比例在這種抽樣過程中永遠(yuǎn)也不知道；但可以知道估計(jì)出來的比例和真實(shí)的比例大致差多少。從數(shù)據(jù)得到關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界的結(jié)論的過程就叫做統(tǒng)計(jì)推斷(statisticalinference)。上面調(diào)查例子是估計(jì)總體參數(shù)（某種意見的比例）的一個(gè)過程。估計(jì)(estimation)是統(tǒng)計(jì)推斷的重要內(nèi)容之一。統(tǒng)計(jì)推斷的另一個(gè)主要內(nèi)容是下一章要引進(jìn)的假設(shè)檢驗(yàn)(hypothesistesting)?！?.1用估計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)人們往往先假定某數(shù)據(jù)來自一個(gè)特定的總體族（比如正態(tài)分布族）。而要確定是總體族的哪個(gè)成員則需要知道總體參數(shù)值（比如總體均值和總體方差）。人們于是可以用相應(yīng)的樣本統(tǒng)計(jì)量（比如樣本均值和樣本方差）來估計(jì)相應(yīng)的總體參數(shù)§5.1用估計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)一些常見的涉及總體的參數(shù)包括總體均值(m)、總體標(biāo)準(zhǔn)差(s)或方差(s2)和(Bernoulli試驗(yàn)中)成功概率p等（總體中含有某種特征的個(gè)體之比例）。正態(tài)分布族中的成員被（總體）均值和標(biāo)準(zhǔn)差完全確定；Bernoulli分布族的成員被概率（或比例）p完全決定。因此如果能夠?qū)@些參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，總體分布也就估計(jì)出來了。§5.1用估計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)估計(jì)的根據(jù)為總體抽取的樣本。樣本的（不包含未知總體參數(shù)的）函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量；而用于估計(jì)的統(tǒng)計(jì)量稱為估計(jì)量(estimator)。由于一個(gè)統(tǒng)計(jì)量對(duì)于不同的樣本取值不同，所以，估計(jì)量也是隨機(jī)變量，并有其分布。如果樣本已經(jīng)得到，把數(shù)據(jù)帶入之后，估計(jì)量就有了一個(gè)數(shù)值，稱為該估計(jì)量的一個(gè)實(shí)現(xiàn)(realization)或取值，也稱為一個(gè)估計(jì)值(estimate)?！?.1用估計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)這里介紹兩種估計(jì)，一種是點(diǎn)估計(jì)(pointestimation)，即用估計(jì)量的實(shí)現(xiàn)值來近似相應(yīng)的總體參數(shù)。另一種是區(qū)間估計(jì)(intervalestimation)；它是包括估計(jì)量在內(nèi)（有時(shí)是以估計(jì)量為中心）的一個(gè)區(qū)間；該區(qū)間被認(rèn)為很可能包含總體參數(shù)。點(diǎn)估計(jì)給出一個(gè)數(shù)字，用起來很方便；而區(qū)間估計(jì)給出一個(gè)區(qū)間，說起來留有余地；不像點(diǎn)估計(jì)那么絕對(duì)。§5.2點(diǎn)估計(jì)用什么樣的估計(jì)量來估計(jì)參數(shù)呢？實(shí)際上沒有硬性限制。任何統(tǒng)計(jì)量，只要人們覺得合適就可以當(dāng)成估計(jì)量。當(dāng)然，統(tǒng)計(jì)學(xué)家想出了許多標(biāo)準(zhǔn)來衡量一個(gè)估計(jì)量的好壞。每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)一般都僅反映估計(jì)量的某個(gè)方面。這樣就出現(xiàn)了按照這些標(biāo)準(zhǔn)定義的各種名目的估計(jì)量（如無偏估計(jì)量等）。另一些估計(jì)量則是由它們的計(jì)算方式來命名的（如最大似然估計(jì)和矩估計(jì)等）。§5.2點(diǎn)點(diǎn)估估計(jì)最常用用的估估計(jì)量量就是是我們們熟悉悉的樣樣本均均值、、樣本本標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差(s)和(Bernoulli試試驗(yàn)的的)成成功比比例(x/n)；人們用用它們們來分分別估估計(jì)總總體均均值(m)、總總體標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差(s)和成成功概概率(或總總體中中的比比例)p。這些些在前前面都都已經(jīng)經(jīng)介紹紹過，，大家家也知知道如如何通通過計(jì)計(jì)算機(jī)機(jī)（或或公式式）來來計(jì)算算它們們。§5.2點(diǎn)點(diǎn)估估計(jì)那么，，什么么是好好估計(jì)計(jì)量的的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)呢？？一種統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量量稱為為無偏估估計(jì)量量(unbiasedestimator)。所謂的的無偏性性(unbiasedness)就是：：雖然然每個(gè)個(gè)樣本本產(chǎn)生生的估估計(jì)量量的取取值不不一定定等于于參數(shù)數(shù)，但但當(dāng)抽抽取大大量樣樣本時(shí)時(shí)，那那些樣樣本產(chǎn)產(chǎn)生的的估計(jì)計(jì)量的的均值值會(huì)接接近真真正要要估計(jì)計(jì)的參參數(shù)。?！?.2點(diǎn)點(diǎn)估估計(jì)由于一一般僅僅僅抽抽取一一個(gè)樣樣本，，并且且用該該樣本本的這這個(gè)估估計(jì)量量的實(shí)實(shí)現(xiàn)來來估計(jì)計(jì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的參參數(shù)，，人們們并不不知道道這個(gè)個(gè)估計(jì)計(jì)值和和要估估計(jì)的的參數(shù)數(shù)差多多少。。因此，，無偏偏性僅僅僅是是非常常多次次重復(fù)復(fù)抽樣樣時(shí)的的一個(gè)個(gè)漸近近概念念。隨機(jī)樣樣本產(chǎn)產(chǎn)生的的樣本本均值值、樣樣本標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差和Bernoulli試驗(yàn)驗(yàn)的成成功比比例分分別都都是相相應(yīng)的的總體體均值值、總總體標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差和總總體比比例的的無偏偏估計(jì)計(jì)。§5.2點(diǎn)點(diǎn)估估計(jì)在無偏偏估計(jì)計(jì)量的的類中中，人人們還還希望望尋找找方差差最小小的估估計(jì)量量，稱稱為最最小方方差無無偏估估計(jì)量量。此因?yàn)闉榉讲畈钚≌f說明反反復(fù)抽抽樣產(chǎn)產(chǎn)生的的許多多估計(jì)計(jì)量差差別不不大，，因此此更加加精確確。評(píng)價(jià)一一個(gè)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量量好壞壞的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)很很多；；而且且許多多都涉涉及一一些大大樣本本的極極限性性質(zhì)。。我們們不想想在這這里涉涉及太太多此此方面面的細(xì)細(xì)節(jié)。。§5.3區(qū)區(qū)間間估計(jì)計(jì)當(dāng)描述述一個(gè)個(gè)人的的體重重時(shí)，，你一一般可可能不不會(huì)說說這個(gè)個(gè)人是是76.35公公斤你會(huì)說說這個(gè)個(gè)人是是七八八十公公斤，，或者者是在在70公斤斤到80公公斤之之間。。這個(gè)個(gè)范圍圍就是是區(qū)間間估計(jì)計(jì)的例例子。?！?.3區(qū)區(qū)間間估計(jì)計(jì)在抽樣樣調(diào)查查例子子中也也常用用點(diǎn)估估計(jì)加加區(qū)間間估計(jì)計(jì)的說說法。。比如，，為了了估計(jì)計(jì)某電電視節(jié)節(jié)目在在觀眾眾中的的支持持率（（即總總體比比例p），某某調(diào)查查結(jié)果果會(huì)顯顯示，，該節(jié)節(jié)目的的“收收視率率為90%，誤誤差是是±3%，，置信信度為為95%””云云云。這這這種種說法法意味味著下下面三三點(diǎn)§5.3區(qū)間間估計(jì)1.樣樣本中的的支持率率為90%，即即用樣本本比例作作為對(duì)總總體比例例的點(diǎn)估估計(jì)2.估估計(jì)范圍圍為90%±3%(±±3%的的誤差)，即區(qū)區(qū)間(93%，，87%)。3.如如用類似似的方式式，重復(fù)復(fù)抽取大大量（樣樣本量相相同的））樣本時(shí)時(shí)，產(chǎn)生生的大量量類似區(qū)區(qū)間中有有些會(huì)覆覆蓋真正正的p，而有些些不會(huì)；；但其中中大約有有95%會(huì)覆蓋蓋真正的的總體比比例。§5.3區(qū)間間估計(jì)這樣得到到的區(qū)間間被稱為為總體比比例p的置信度度(confidencelevel)為95%的置置信區(qū)間間(confidenceinterval)。這里的置置信度又又稱置信水平平或置信系數(shù)數(shù)。顯然置信信度的概概念又是是大量重重復(fù)抽樣樣時(shí)的一一個(gè)漸近近概念。?！?.3區(qū)間間估計(jì)因此說““我們目目前得到到的區(qū)間間（比如如上面的的90%±3%）以概概率0.95覆覆蓋真正正的比例例p”是個(gè)錯(cuò)誤誤的說法法。這里的區(qū)區(qū)間(93%，87%)是固定的的，而總總體比例例p也是是固定的的值。因因此只有有兩種可可能：或或者該區(qū)區(qū)間包含含總體比比例，或或者不包包含；在固定數(shù)數(shù)值之間間沒有任任何概率率可言。?！?.3區(qū)間間估計(jì)例5.1(noodle.txt)某廠家家生產(chǎn)的的掛面包包裝上寫寫明“凈凈含量450克克”。在在用天平平稱量了了商場中中的48包掛面面之后，，得到樣樣本量為為48的的關(guān)于掛掛面重量量（單位位：克））的一個(gè)個(gè)樣本：：用計(jì)算機(jī)機(jī)可以很很容易地地得到掛掛面重量量的樣本本均值、、總體均均值的置置信區(qū)間間等等。。下面是是SPSS的輸輸出：該輸出給給出了許許多第三三章引進(jìn)進(jìn)的描述述統(tǒng)計(jì)量量。和估估計(jì)有關(guān)關(guān)的是作作為總體體均點(diǎn)估估計(jì)的樣樣本均值值，它等等于449.01；而而總體均均值的95%置置信區(qū)間間為（447.41，，450.61）§5.3區(qū)間間估計(jì)我們還可可以構(gòu)造造兩個(gè)總總體的均均值（或或比例））之差的的置信區(qū)區(qū)間。如想知道道兩個(gè)地地區(qū)學(xué)生生成績的的差異，，可以建建造兩個(gè)個(gè)地區(qū)成成績均值值之差m1-m2的置信區(qū)區(qū)間。如想比較較一個(gè)候候選人在在不同階階段支持持率的差差異，那那就可構(gòu)構(gòu)造比例例之差p1-p2的置信區(qū)區(qū)間?！?.3區(qū)間間估計(jì)例5.2有兩個(gè)個(gè)地區(qū)大大學(xué)生的的高度數(shù)數(shù)據(jù)(height2.txt)(a)我我們想要要分別得得到這兩兩個(gè)總體體均值和和標(biāo)準(zhǔn)差差的點(diǎn)估估計(jì)（即即樣本均均值和樣樣本標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差）和和各總體體均值的的95%置信區(qū)區(qū)間。(b)求求兩個(gè)均均值差m1-m2的點(diǎn)估計(jì)計(jì)和95%置信信區(qū)間。。利用軟軟件很容容易得到到下面結(jié)結(jié)果：§5.3區(qū)間間估計(jì)兩個(gè)總體體均值估估計(jì)量的的樣本均均值分別別為170.56和165.60，，樣本標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差分分別為6.97857和7.55659；；還得到到均值的的置信區(qū)區(qū)間分別別是(168.5767,172.5433),(163.4524,167.7476)?？梢缘玫降絻蓚€(gè)樣樣本均值值的差(4.9600)，另另外還給給出了兩兩總體均均值差的的95%置信區(qū)區(qū)間(2.073，7.847)。?！?.4關(guān)于于置信區(qū)區(qū)間的注注意點(diǎn)前面提到到，不要要認(rèn)為由由某一樣本本數(shù)據(jù)得到到總體參參數(shù)的某一個(gè)95%置置信區(qū)間間，就以以為該區(qū)間以0.95的概率率覆蓋總總體參數(shù)數(shù)。置信度95%僅僅僅描述述用來構(gòu)構(gòu)造該區(qū)區(qū)間上下下界的統(tǒng)計(jì)量(是隨機(jī)機(jī)的)覆蓋總體體參數(shù)的的概率；；也就是說說，無窮窮次重復(fù)復(fù)抽樣所所得到的的所有區(qū)區(qū)間中有有95%包含參參數(shù)?！?.4關(guān)于于置信區(qū)區(qū)間的注注意點(diǎn)但是把一一個(gè)樣本本數(shù)據(jù)帶帶入統(tǒng)計(jì)計(jì)量的公公式所得得到的一一個(gè)區(qū)間間，只是是這些區(qū)區(qū)間中的的一個(gè)。。這個(gè)非隨隨機(jī)的區(qū)區(qū)間是否否包含那那個(gè)非隨隨機(jī)的總總體參數(shù)數(shù)，誰也也不可能能知道。。非隨機(jī)機(jī)的數(shù)目目之間沒沒有概率率可言。。§5.4關(guān)于于置信區(qū)區(qū)間的注注意點(diǎn)置信區(qū)間間的論述述是由區(qū)區(qū)間和置置信度兩兩部分組組成。有些新聞聞媒體報(bào)報(bào)道一些些調(diào)查結(jié)結(jié)果只給給出百分分比和誤誤差（即即置信區(qū)區(qū)間），，并不說說明置信信度，也也不給出出被調(diào)查查的人數(shù)數(shù)，這是是不負(fù)責(zé)責(zé)的表現(xiàn)現(xiàn)。因?yàn)榻档偷椭眯哦榷瓤梢允故怪眯艆^(qū)區(qū)間變窄窄（顯得得“精確確”），，有誤導(dǎo)導(dǎo)讀者之之嫌。在在公布調(diào)調(diào)查結(jié)果果時(shí)給出出被調(diào)查查人數(shù)是是負(fù)責(zé)任任的表現(xiàn)現(xiàn)。這樣樣則可以以由此推推算出置置信度（（由后面面給出的的公式）），反之之亦然。?！?.4關(guān)于于置信區(qū)區(qū)間的注注意點(diǎn)一個(gè)描述述性例子子：有10000個(gè)人人回答的的調(diào)查顯顯示，同同意某觀觀點(diǎn)人的的比例為為70%（有7000人同意意）