山西省呂梁市孝義兌鎮(zhèn)中學2021-2022學年高二數(shù)學理月考試題含解析

山西省呂梁市孝義兌鎮(zhèn)中學2021-2022學年高二數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若變量滿足約束條件，，則取最小值時，

二項展開式中的常數(shù)（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A2.雙曲線中，被點P（2，1）平分的弦所在的直線方程為（

）A、

B、

C、

D、不存在參考答案：答案：D

錯解：A

錯因：沒有檢驗出與雙曲線無交點。3.四大名著是中國文學史上的經(jīng)典作品，是世界寶貴的文化遺產(chǎn).在某學校舉行的“文學名著閱讀月”活動中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學相約去學校圖書室借閱四大名著《紅樓夢》、《三國演義》、《水滸傳》、《西游記》（每種名著至少有5本），若每人只借閱一本名著，則不同的借閱方案種數(shù)為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】通過分析每人有4種借閱可能，即可得到答案.【詳解】對于甲來說，有4種借閱可能，同理每人都有4種借閱可能，根據(jù)乘法原理，故共有種可能，答案為A.【點睛】本題主要考查乘法分步原理，難度不大.4.下列函數(shù)中，其圖象既是軸對稱圖形又在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的是（）A．y=B．y=﹣x2+1C．．y=2xD．y=lg|x+1|參考答案：D【考點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合常見的基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對選項中的函數(shù)進行判斷即可．【解答】解：對于A，函數(shù)y=的圖象是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，∴不滿足題意；對于B，函數(shù)y=﹣x2+1的圖象是軸對稱圖形，在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，∴不滿足題意；對于C，函數(shù)y=2x的圖象不是軸對稱圖形，∴不滿足題意；對于D，函數(shù)y=lg|x+1|的圖象是關(guān)于直線x=﹣1對稱的圖形，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，滿足題意．故選：D．5.的展開式中的系數(shù)是（

）

A．

B．

C．3

D．4

參考答案：B6.在三棱錐的條棱所在直線中，異面直線共有（

）A.對

B.對

C.對

D.對參考答案：C7.拋物線y2=4x的焦點為F，點A（3，2），P為拋物線上一點，且P不在直線AF上，則△PAF周長的最小值為（

）A.4 B.5 C. D.參考答案：C【分析】求周長的最小值，即求的最小值，設(shè)點在準線上的射影為點，則根據(jù)拋物線的定義，可知，因此問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，根據(jù)平面幾何知識，當、、三點共線時，最小，即可求出的最小值，得到答案?！驹斀狻坑蓲佄锞€為可得焦點坐標，準線方程為：，由題可知求周長的最小值，即求的最小值，設(shè)點在準線上的射影為點，則根據(jù)拋物線的定義，可知，因此求的最小值即求的最小值，根據(jù)平面幾何知識，當、、三點共線時，最小，所以又因為，所以周長的最小值為，故答案選C【點睛】本題考查拋物線的定義，簡單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷出、、三點共線時最小，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題。8.已知f（x）定義域為（0，+∞），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f（x）＜﹣xf′（x），則不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（）A．（0，1） B．（1，+∞） C．（1，2） D．（2，+∞）參考答案：D【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），再由導(dǎo)函數(shù)的符號判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），構(gòu)造為g（x+1）＞g（x2﹣1），問題得以解決．【解答】解：設(shè)g（x）=xf（x），則g'（x）='=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，∵f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），x∈（0，+∞），∴（x+1）f（x+1）＞（x+1）（x﹣1）f（x2﹣1），∴（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），∴g（x+1）＞g（x2﹣1），∴x+1＜x2﹣1，解得x＞2．故選：D．【點評】本題考查了由條件構(gòu)造函數(shù)和用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系對不等式進行判斷．9.拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.函數(shù)y=的定義域為（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（2，3）∪（3，+∞） D．（2，4）∪（4，+∞）參考答案：C【考點】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】根據(jù)“讓解析式有意義”的原則，對數(shù)的真數(shù)大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．【解答】解：要使原函數(shù)有意義，則，解得：2＜x＜3，或x＞3所以原函數(shù)的定義域為（2，3）∪（3，+∞）．故選C．【點評】本題主要考查了函數(shù)的定義域及其求法，求定義域常用的方法就是根據(jù)“讓解析式有意義”的原則，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實數(shù)x，y使得x2+4y2﹣2x+8y+1=0，則x+2y的最小值等于．參考答案：﹣2﹣1【考點】三角函數(shù)的最值．【分析】將x2+4y2﹣2x+8y+1=9化簡為（x﹣1）2+4（y+1）2=4，利用換元法，令，通過三角函數(shù)的有界性，求出最小值即可．【解答】解：由題意：x2+4y2﹣2x+8y+1=0，化簡為（x﹣1）2+4（y+1）2=4，令，θ∈[0，2π）．則：x=2cosθ+1，y=sinθ﹣1．所以：x+2y=2cosθ+1+2sinθ﹣2=2cosθ+2sinθ﹣1=2sin（）﹣1∵sin（）的最小值為﹣1，∴x+2y的最小值﹣2﹣1．故答案為：﹣2﹣1．12.已知圓C過點（1,0），且圓心在x軸的正半軸上，直線：被該圓所截得的弦長為，則圓C的標準方程為

。參考答案：略13.如圖，已知正方體的棱長為，長度為的線段MN的一個端點在上運動，另一端點在底面上運動，則的中點的軌跡(曲面)與共一頂點的三個面所圍成的幾何體的體積為______參考答案：略14.已知命題p：?x∈R，x2+x﹣1＜0則命題￢p是．參考答案：?x∈R，x2+x﹣1≥0【考點】特稱命題；命題的否定．【專題】閱讀型．【分析】利用含邏輯連接詞的否定是將存在變?yōu)槿我?，同時將結(jié)論，寫出命題的否定．【解答】解：含邏輯連接詞的否定是將存在變?yōu)槿我?，同時將結(jié)論否定故命題p：?x∈R，x2+x﹣1＜0則命題￢p是?x∈R，x2+x﹣1≥0．故答案為：?x∈R，x2+x﹣1≥0．【點評】本題考查特稱命題、含邏輯連接詞的否定形式，屬于基礎(chǔ)題．15.公比為2的等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且a4a12=36，則a6=

．參考答案：【考點】等比數(shù)列的通項公式．【專題】方程思想；數(shù)學模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．【解答】解：∵公比為2的等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且a4a12=36，∴，化為=6，∴a1=．∴a6==．故答案為：．【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．16.某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則__________．參考答案：4略17.函數(shù)的最小正周期是__________．參考答案：2【分析】直接利用余弦函數(shù)的周期公式求解即可．【詳解】函數(shù)的最小正周期是：2．故答案為：2．【點睛】本題考查三角函數(shù)的周期的求法，是基本知識的考查．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(14分)已知函數(shù)，，.（Ⅰ）若曲線與曲線相交，且在交點處有相同的切線，求的值及該切線的方程；（Ⅱ）設(shè)函數(shù),當存在最小值時，求其最小值的解析式；（Ⅲ）對（Ⅱ）中的，證明：當時，.ks5u參考答案：解：（Ⅰ）=,=(x>0),（1分）由已知得

得（3分）解得a=，x=e2,（5分）∴兩曲線交點為，，切線方程為，即

（6分）（Ⅱ）由條件知

（i）當>0時，令解得，∴

當0<<時，，在（0，）上遞減；當x>時，，在上遞增.∴

是在上的唯一極值點，且是極小值點，從而也是的最小值點.∴

最小值（ii）當時，在（0，+∞）上遞增，無最小值。

故的最小值的解析式為

（10分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知ks5u則，令解得.當時，，∴在上遞增；ks5u當時，，∴在上遞減.∴在處取得極大值ks5u∵在上有且只有一個極值點，所以也是的最大值.∴當時，總有

（14分）ks5u略19.在直角梯形PBCD中，，A為PD的中點，如下左圖。將沿AB折到的位置，使，點E在SD上，且，如下右圖。

（1）求證：平面ABCD；

（2）求二面角E—AC—D的余弦值；

（3）在線段BC上是否存在點F，使SF//平面EAC？若存在，確定F的位置，若不存在，請說明理由。參考答案：解法一：（1）證明：在圖中，由題意可知， 為正方形， 所以在上右圖中，， 四邊形ABCD是邊長為2的正方形， 因為，ABBC， 所以BC平面SAB，

（2分） 又平面SAB， 所以BCSA， 又SAAB， 所以SA平面ABCD，

（4分）

（2）在AD上取一點O，使，連接EO。 因為，所以EO//SA 所以EO平面ABCD， 過O作OHAC交AC于H，連接EH， 則AC平面EOH， 所以ACEH。 所以為二面角E—AC—D的平面角， 在中， ,， 即二面角E—AC—D的余弦值為

（10分）

（3）當F為BC中點時，SF//平面EAC， 理由如下：取BC的中點F，連接DF交AC于M， 連接EM，AD//FC， 所以，又由題意 SF//EM，又平面EAC， 所以SF//平面EAC，即當F為BC的中點時， SF//平面EAC

（14分） 解法二：（1）同方法一（4分）

（2）如圖，以A為原點建立直角坐標系， A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，） 易知平面ACD的法向為 設(shè)平面EAC的法向量為 由， 所以，可取 所以

（7分） 所以 即二面角E—AC—D的余弦值為

（10分）

（3）設(shè)存在， 所以SF//平面EAC， 設(shè) 所以，由SF//平面EAC， 所以，所以0， 即，即F（2，1，0）為BC的中點

（14分）20.已知P（x，y）為平面上的動點且x≥0，若P到y(tǒng)軸的距離比到點（1，0）的距離小1．（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；（Ⅱ）設(shè)過點M（m，0）的直線交曲線C于A、B兩點，問是否存在這樣的實數(shù)m，使得以線段AB為直徑的圓恒過原點．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（Ⅰ）由題意得：，化簡得：y2=4x（x≥0）．求得P的軌跡方程．（Ⅱ）分斜率存在和斜率不存在兩種情況討論，當斜率存在時，設(shè)直線AB方程為y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），直線和拋物線聯(lián)立方程求解．當斜率不存在時，m=0或m=4．成立．【解答】解：（Ⅰ）由題意得：，化簡得：y2=4x（x≥0）．∴點P的軌跡方程為y2=4x（x≥0）．．（Ⅱ）①當斜率存在時，設(shè)直線AB方程為y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得ky2﹣4y﹣4km=0，∴，∵以線段AB為直徑的圓恒過原點，∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．即m2﹣4m=0∴m=0或m=4．②當斜率不存在時，m=0或m=4．∴存在m=0或m=4，使得以線段AB為直徑的圓恒過原點．【點評】本題主要考查軌跡方程的求解和直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題，早高考中經(jīng)常涉及21.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），過橢圓C的上頂點與右頂點的直線L，與圓x2+y2=相切，且橢圓C的右焦點與拋物線y2=4x的焦點重合．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）過點O作兩條互相垂直的射線與橢圓C分別交于A，B兩點（其中O為坐標原點），求△OAB面積的最小值．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）過橢圓C的上頂點與右頂點的直線L為=1，即bx+ay﹣ab=0．由直線L與圓x2+y2=相切相切，可得=．由拋物線y2=4x的焦點為F（1，0），可得c=1．即a2﹣b2=1，聯(lián)立解出即可得出．（Ⅱ）當兩射線與坐標軸重合時，S△OAB=．當兩射線不與坐標軸重合時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．因為OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得得7m2=12（k2+1），所以點O到直線AB的距離d==．因為OA⊥OB，所以O(shè)A2+OB2=AB2≥2OA?OB，當且僅當OA=OB時，取等號．由d?AB=OA?OB，得d?|AB|=|OA|?|OB|≤，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）過橢圓C的上頂點與右頂點的直線L為=1，即bx+ay﹣ab=0．由直線L與圓x2+y2=相切相切，得=．①…因為拋物線y2=4x的焦點為F（1，0），所以c=1．…即a2﹣b2=1，代入①，得7a4﹣31a2+12=0，即（7a2﹣3）（a2﹣4）=0，解得a2=4，a2=（舍去）．…所以b2=a2﹣1=3．故橢圓C的標準方程為=1．…（Ⅱ）當兩射線與坐標軸重合時，S△OAB==．…當兩射線不與坐標軸重合時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．∴x1+x2=，x1?x2=．…因為OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．即（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0．…∴（k2+1）﹣+m2=0．…整理，得7m2=12（k2+1），所以點O到直線AB的距離d===．…因為OA⊥OB，所以O(shè)A2+OB2=AB2≥2OA?OB，當且僅當OA=OB時，取等號．由d?AB=OA?OB，得d?|AB|=|OA|?|OB|≤，所以|AB|≥2d=，即弦AB的長度的最小值是．所以△OAB的最小面積為S△OAB=×=．綜上，△OAB面積的最小值為．…22.（本小題滿分12分）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,

AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點．(1