廣西壯族自治區(qū)貴港市桂平卓外中學2021-2022學年高三數學理測試題含解析

廣西壯族自治區(qū)貴港市桂平卓外中學2021-2022學年高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（）Ａ．等于

Ｂ．等于

Ｃ．等于

Ｄ．不存在參考答案：答案：B解析：=，選B2.若等差數列的前n項和為，則A.0

B.12

C.

D.參考答案：A3.下列函數中，在其定義域內既是增函數又是奇函數的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B4.設直線與球O有且只有一個公共點P，從直線出發(fā)的兩個半平面截球O的兩個截面圓的半徑分別為1和，二面角的平面角為，則球O的表面積為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.某校選修乒乓球課程的學生中，高一年級有30名，高二年級有40名?，F用分層抽樣的方法在這70名學生中抽取一個樣本，已知在高一年級的學生中抽取了6名，則在高二年級的學生中應抽取的人數為（

）A.6

B.7

C.8

D.9參考答案：C設從高二應抽取人，則有，解得，選C.6.在應用數學歸納法證明凸n變形的對角線為條時，第一步檢驗n等于（）A.1

B.2

C．3

D．0參考答案：C7.設等差數列{an}的前n項和為Sn，若2a8＝6＋a11，則S9的值等于()A．54 B．45C．36 D．27參考答案：A∵2a8＝a5＋a11,2a8＝6＋a11，∴a5＝6，∴S9＝9a5＝54.8.已知函數是以2為周期的偶函數，的值為

（

） A． B． C． D．參考答案：A略9.△ABC是簡易遮陽棚，A，B是南北方向上的兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地平面成40°角，為了使遮陽陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角為

（

）

A．75°

B．50°

C．60°

D．45°參考答案：答案:B10.拋物線y＝－4x2的焦點坐標是

()A.（0，-1）

B.（-1，0）

C.（0，）

D．（，0）參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設，，若，則實數_____.參考答案：12.為了分析某同學在班級中的數學學習情況，統(tǒng)計了該同學在6次月考中數學名次，用莖葉圖表示如圖所示：

，則該組數據的中位數為

．參考答案：18.5共6個數，正中間兩個數分別為18,19,所以中位數13.已知正項等差數列{an}的前n項和為Sn，S10=40，則a3?a8的最大值為

．參考答案：16【考點】等差數列的前n項和．【分析】利用等差數列的前n項和公式求出a3+a8=8，由此利用基本不等式的性質能求出a3?a8的最大值．【解答】解：∵正項等差數列{an}的前n項和為Sn，S10=40，∴，∴=16．∴當且僅當a3=a8時，a3?a8的最大值為64．故答案為：16．【點評】本題考查等差數列中兩項積的最大值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質及基本等式的合理運用．14.如圖，將一塊半徑為2的半圓形紙板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半圓的直徑，上底CD的端點在半圓上，則所得梯形的最大面積為．參考答案：【考點】7F：基本不等式．【分析】連接OD，過C，D分別作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分別為E，F．設∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，梯形ABCD的面積S==4sinθ（1+cosθ），平方換元利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出．．【解答】解：連接OD，過C，D分別作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分別為E，F．設∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，∴梯形ABCD的面積S==4sinθ（1+cosθ），S2=16sin2θ（1+2cosθ+cos2θ）=16（1﹣cos2θ）（1+2cosθ+cos2θ）令cosθ=t∈（0，1）．則S2=16（1﹣t2）（1+2t+t2）=f（t）．則f′（t）=﹣32（t+1）2（3t﹣1）．可知：當且僅當t=時，f（t）取得最大值：．因此S的最大值為：．15.已知均為非負實數，且，則的取值范圍為

．參考答案：因為，所以，令，則．．當且，即或時取等號；另一方面，當時取等號．所以．16.用數學歸納法證明“”（）時，從“”時，左右兩式應乘以__________。參考答案：或略17.（4分）具有性質：的函數，我們稱為滿足“倒負”交換的函數，下列函數：①y=x﹣；②y=x+；③y=中滿足“倒負”變換的函數是．參考答案：①③【考點】：進行簡單的演繹推理．【專題】：計算題；推理和證明．【分析】：利用“倒負”函數定義，分別比較三個函數的f（）與﹣f（x）的解析式，若符合定義，則為滿足“倒負”變換的函數，若不符合，則舉反例說明函數不符合定義，從而不是滿足“倒負”變換的函數．解：①設f（x）=x﹣，∴f（）=﹣x=﹣f（x），∴y=x﹣是滿足“倒負”變換的函數，②設f（x）=x+，∵f（）=，﹣f（2）=﹣，即f（）≠﹣f（2），∴y=x+是不滿足“倒負”變換的函數，③設f（x）=，則﹣f（x）=，∵0＜x＜1時，＞1，此時f（）﹣x；x=1時，=1，此時f（）=0，x＞1時，0＜＜1，此時f（）=，∴f（）==﹣f（x），∴y=是滿足“倒負”變換的函數．故答案為：①③【點評】：本題考查了對新定義函數的理解，復合函數解析式的求法，分段函數解析式的求法．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個對稱中心為（，0），將函數f（x）圖象上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移0.5π個單位長度后得到函數g（x）的圖象；（1）求函數f（x）與g（x）的解析式；（2）當a≥1，求實數a與正整數n，使F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）恰有2019個零點．參考答案：【考點】三角函數中的恒等變換應用；正弦函數的圖象．【分析】（1）依題意，可求得ω=2，φ=，利用三角函數的圖象變換可求得g（x）=sinx；（2）由于φ（x）=asinx+cos2x=0（sinx≠0），?a=﹣m（x），可得m（x）==2sinx﹣，m′（x）=2cosx+=，令m′（x）=0得x=，，可得m（x）在（0，）上單調遞增，（，π）與（π，）上單調遞減，（，2π）上單調遞增，分析可知a=±1時，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，而2019÷3=673，得n=673*2=1346，從而存在a=1，n=1346或a=﹣1，n=1346時，φ（x）有2019個零點．【解答】解：（1）∵函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，∴ω==2，又曲線y=f（x）的一個對稱中心為（，0），φ∈（0，π），故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，所以f（x）=cos2x．將函數f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后可得y=cosx的圖象，再將y=cosx的圖象向右平移0.5π個單位長度后得到函數g（x）=cos（x﹣0.5π）的圖象，∴g（x）=sinx．（2）∵φ（x）=asinx+cos2x=0（∵sinx≠0），?a=﹣m（x），可得m（x）==2sinx﹣，m′（x）=2cosx+=，令m′（x）=0得x=，，∴m（x）在（0，）上單調遞增，（，π）與（π，）上單調遞減，（，2π）上單調遞增，當a＞1時，m（x）=a在（0，2π）有2解；則a=1時，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，而2019÷3=673，所以n=673×2=1346，∴存在a=1，n=1346時，φ（x）有2019個零點．19.如圖，已知菱形ABCD與直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB=BE=AF=2，∠CBA=．（Ⅰ）求證：AF⊥BC；（Ⅱ）線段AB上是否存在一點G，使得直線FG與平面DEF所成的角的正弦值為，若存在，求AG的長；若不存在，說明理由．參考答案：【考點】MI：直線與平面所成的角；LO：空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】（Ⅰ）利用面面垂直的性質，證明AF⊥平面ABCD，即可證明：AF⊥BC；（Ⅱ）建立如圖所示的坐標系，求出平面DEF的法向量，利用直線FG與平面DEF所成的角的正弦值為，可得結論．【解答】（Ⅰ）證明：∵菱形ABCD與直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB⊥AF，∴AF⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，AF⊥BC；（Ⅱ）解：取AB的中點O，連接CO，則CO⊥AB，∵菱形ABCD與直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，∴CO⊥平面ABEF，作OM∥AF，建立如圖所示的坐標系，則D（﹣2，0，），F（﹣1，4，0），E（1，2，0），∴=（1，4，﹣），=（﹣2，2，0），設平面DEF的法向量為=（x，y，z），則，取=（1，1，），設G（λ，0，0），λ∈[﹣1，1]，則=（﹣λ﹣1，4，0）∵直線FG與平面DEF所成的角的正弦值為，∴=，∴λ=﹣1∈[﹣1，1]，∴AG=0，直線FG與平面DEF所成的角的正弦值為．【點評】本題考查了空間中垂直關系的判斷與應用問題，也考查了用向量法求線面角，考查了空間想象能力與邏輯思維能力，是綜合性問題．20.隨著社會的發(fā)展，閱讀紙質書本的人數逐漸減少，為了了解某大學男女生閱讀紙質書本的情況，調查人員隨機抽取了100名在校大學生了解其閱讀情況，得到如下數據：每月讀書本數1本2本3本4本5本6本及以上男4337830女6543720合計1087101550（Ⅰ）在每月讀書超過5本的樣本中，按性別用分層抽樣隨機抽取5名學生.①求抽取的5名學生中男、女生各多少人；②從這5名學生中隨機抽取2名學生，求抽取的2名學生恰為一男生一女生的概率.（Ⅱ）如果認為每月紙質讀書的本數超過3本的學生為“閱讀達人”，能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為“閱讀達人”與性別有關？參考數據：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

，其中.參考答案：（Ⅰ）①男生有3人，女生2人;②（Ⅱ）不能【分析】（Ⅰ）①根據讀書6本及以上男生和女生的比例，求得抽取的男生和女生的人數.②利用列舉法，根據古典概型概率計算公式，計算出所求的概率.（Ⅱ）根據題目所給數據列聯(lián)表，計算出的值，由此判斷出在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，不能認為閱讀達人與性別有關.【詳解】（Ⅰ）①由表格可知，樣本中每月閱讀本數超過5本的男生有30人，女生20人，在這50人中，按性別分層抽樣抽取5名學生，其中男生有3人，女生有2人.②記抽取的3名男生分別，，；女生分別記為，.再從這5名用戶隨機抽取2名學生，共包含，，，，，，，，，，10種等可能的結果.抽取的2名學生恰為一男生一女生這一事件包含，，，，，共計6種等可能的結果，由古典概型的計算公式可得：.（Ⅱ）由圖中表格可得列聯(lián)表：

非閱讀達人閱讀達人合計男104555女153045合計2575100

將列聯(lián)表中的數據代入公式計算得，所以，在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，不能認為閱讀達人與性別有關.【點睛】本小題主要考查分層抽樣，考查古典概型概率計算，考查列聯(lián)表獨立性檢驗等知識，屬于基礎題.21.（本小題滿分12分）在城的西南方向上有一個觀測站,在城的南偏東的方向上有一條筆直的公路,一輛汽車正沿著該公路上向城駛來.某一刻,在觀測站處觀測到汽車與處相距,在分鐘后觀測到汽車與處相距.若汽車速度為,求該汽車還需多長時間才能到達城?參考答案：解：如圖,由題意知,.則,從而.故.在△中,由正弦定理可得,