上海市南匯縣新場中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

上海市南匯縣新場中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知命題p，q是簡單命題，則“￢p是假命題”是“p∨q是真命題”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件參考答案：A【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)復(fù)合命題的真假結(jié)合充分必要條件，判斷即可．【解答】解：￢p是假命題，則p是真命題，推出p∨q是真命題，是充分條件，反之，不成立，故選：A．【點評】本題考查了復(fù)合命題的真假，考查充分必要條件的定義，是一道基礎(chǔ)題．2.已知向量，若為實數(shù)，∥，則=（

）A．

B．

C．1

D．2參考答案：B試題分析：因為，所以由∥得，選．考點：1．平面向量的坐標運算；2．共線向量．3.設(shè)雙曲線的漸近線與拋物線相切，則該雙曲線的離心率為（

）A．3

B．

C．

D．參考答案：C4.“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A5.閱讀右面的程序框圖，則輸出的（

）A.14

B.20

C.30

D.55參考答案：C6.已知A，B是圓上的兩個動點，，若M是線段AB的中點，則的值為A． B． C．2 D．3參考答案：D解析：由，所以，又為等邊三角形，所以.故答案選D7.設(shè)是定義在實數(shù)集上的函數(shù),滿足條件是偶函數(shù),且當時,,則,,的大小關(guān)系是（）A．

B．C．

D．參考答案：A8.四色猜想是世界三大數(shù)學(xué)猜想之一，1976年美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯證明了四色定理．其內(nèi)容是：“任意一張平面地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家涂上不同的顏色．”用數(shù)學(xué)語言表示為“將平面任意地細分為不相重疊的區(qū)域，每一個區(qū)域總可以用1，2，3，4四個數(shù)字之一標記，而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相同的數(shù)字．”如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線圍成的各區(qū)域（如區(qū)域D由兩個邊長為1的小正方形構(gòu)成）上分別標有數(shù)字1，2，3，4的四色地圖符合四色定理，區(qū)域A、B、C、D、E、F標記的數(shù)字丟失若在該四色地圖上隨機取一點，則恰好取在標記為4的區(qū)域的概率是A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)相鄰的兩個區(qū)域必須是不同的數(shù)字這一規(guī)則，逐個區(qū)域進行判斷，區(qū)域C相鄰給定的標記為1,2,3的區(qū)域，從而可以最先判斷，最后可根據(jù)幾何概型的概率求法來求得概率.【詳解】因為區(qū)域C相鄰標記1，2，3的區(qū)域，所以區(qū)域C標記4,進而區(qū)域D相鄰標記2,3,4的區(qū)域，從而推出區(qū)域D標記1,區(qū)域A相鄰標記1,2,4的區(qū)域，所以區(qū)域A標記3,區(qū)域E相鄰標記2,3,4的區(qū)域，從而區(qū)域E標記1,區(qū)域F相鄰標記1,3,4的區(qū)域，從而標記2,區(qū)域B相鄰標記為1,2,3的區(qū)域，所以標記4,所以只有B,C標記為4，共占8個邊長為1的正方形，面積為8,總共的區(qū)域面積為30，所以在該四色地圖上隨機取一點，則恰好取在標記為4的區(qū)域的概率是,故選B.【點睛】此題除了考查概率的基礎(chǔ)知識外，更重要考查處理問題的能力.9.若，則復(fù)數(shù)=（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B本題主要考查了復(fù)數(shù)相等條件與復(fù)數(shù)的乘除運算。難度較小，基礎(chǔ)題。

，選B。10.已知等差數(shù)列首項為，公差為，等比數(shù)列首項為，公比為，其中都是大于1的正整數(shù)，且，對于任意的，總存在，使得成立，則（

）w。w-w*k&s%5￥u

A．

B．

C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.當滿足時，則的最小值是

；參考答案：12.函數(shù)的圖像在點處的切線方程為，則

.參考答案：【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】3

∵切線方程是y=x+1，則直線的斜率k=，

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得：f′（1）=,f(1)=故答案為：3.【思路點撥】利用函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率求出f′（1）即可．13.在平面直角坐標系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則的最大值是

;參考答案：0由于圓C的方程為（x-4）2+y2=1，由題意可知，只需（x-4）2+y2=4與直線有公共點即可，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可，得到的最大值是014.在球O的內(nèi)接四面體ABCD中，且，則A,B兩點的球面距離是_______________參考答案：略15.雙曲線的一條漸近線方程為，則

.參考答案：略16.如圖，，于，是的中點，交于于，。若，則__________；若，則__________.參考答案：答案：2cm(2分)；4cm(3分)17.將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張.如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是_____________

參考答案：

【知識點】排列、組合及簡單計數(shù)問題．J2解析：5張參觀券全部分給4人，分給同一人的2張參觀券連號，方法數(shù)為：1和2，2和3，3和4，4和5，四種連號，其它號碼各為一組，分給4人，共有4×=96種．故答案為：96．【思路點撥】求出5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號的組數(shù)，然后分給4人排列即可．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)橢圓C1：的左、右焦點分別是F1、F2，下頂點為A，線段OA的中點為B（O為坐標原點），如圖．若拋物線C2：與y軸的交點為B，且經(jīng)過F1，F(xiàn)2點．（Ⅰ）求橢圓C1的方程；（Ⅱ）設(shè)M（0，），N為拋物線C2上的一動點，過點N作拋物線C2的切線交橢圓C1于P、Q兩點，求面積的最大值．參考答案：（Ⅰ）解：由題意可知B（0，-1），則A（0，-2），故b=2．

令y=0得即，則F1(-1，0)，F(xiàn)2（1，0），故c=1．

所以．于是橢圓C1的方程為：．…………4分

（Ⅱ）設(shè)N（），由于知直線PQ的方程為：．即．……………5分代入橢圓方程整理得：,=,

,,故

．………………7分設(shè)點M到直線PQ的距離為d，則．…9分所以，的面積S

………………11分當時取到“=”，經(jīng)檢驗此時，滿足題意．綜上可知，的面積的最大值為．…………12分略19.如圖，公園有一塊邊長為2的等邊△ABC的邊角地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上.(Ⅰ）設(shè)AD=x(x0),ED=y，求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式，并注明函數(shù)的定義域；(Ⅱ）如果DE是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望它最短，DE的位置應(yīng)在哪里？

如果DE是參觀線路，則希望它最長，DE的位置又應(yīng)在哪里？請給予證明.參考答案：（Ⅰ）在△ADE中，由余弦定理得：

，?

又.?

把?代入?得，

∴

∵

∴

即函數(shù)的定義域為.(Ⅱ）如果DE是水管，則，

當且僅當，即時“=”成立，故DEBC,且DE=.

如果DE是參觀線路，記，則

∴函數(shù)在上遞減，在上遞增

故.

∴.

即DE為AB中線或AC中線時，DE最長.20.（本題滿分分）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：對一切正整數(shù)，有.參考答案：【知識點】等差數(shù)列的通項公式；不等式的證明。D2E7

【答案解析】（1）；（2）見解析

解析：（1）（解法一）

依題意，又，所以

………（2分）

當，

，兩式相減得整理得，即，

………（6分）又，故數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以所以

………（8分）（解法二）

，，得，.......（2分）

猜想

.............（3分）

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）當時，猜想成立；

（2）假設(shè)當時，猜想也成立，即.............（4分）

當時，=

，........（5分）

時，猜想也成立

............（6分）

由（1），（2）知，對于，猜想成立。

，當，也滿足此式，故

.........（8分）（2）證明：當；

………（9分）當；

………（10分）當，

………（12分）此時綜上，對一切正整數(shù)n，有

……………（14分）【思路點撥】（1）把原式利用遞推關(guān)系式構(gòu)造新數(shù)列為等差數(shù)列，再利用通項公式即可；（2）利用簡單的放縮法即可。21.銳角△ABC中，其內(nèi)角A、B滿足：2cosA=sinB﹣cosB．（1）求角C的大小；（2）D為AB的中點，CD=1，求△ABC面積的最大值．參考答案：【考點】正弦定理；三角函數(shù)的化簡求值．【分析】（1）由已知利用特殊角的三角函數(shù)值，兩角差的正弦函數(shù)公式可得cosA=cos（﹣B），結(jié)合A，B為銳角，利用三角形內(nèi)角和定理可求C的值．（2）設(shè)∠ACD=α，延長CD到E，使CD=DE，則AEBC為平行四邊形，在△ACE中，由正弦定理可得a=4sinα，b=4sin（﹣α），利用三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得S△ABC=2sin（2α+）﹣，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求△ABC面積的最大值．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）∵2cosA+cosB=sinB，可得：cosA=sinB﹣cosB=cos（﹣B），…2分又∵A，B為銳角，∴0，＜﹣B＜，∴A=﹣B，A+B=，可得：C=π﹣=．…5分（2）設(shè)∠ACD=α，延長CD到E，使CD=DE，則AEBC為平行四邊形，在△ACE中，AC=b，AE=BC=α，CE=2，∠CAE=，∠AEC=﹣α，由正弦定理可得：==，所以，a=4sinα，b=4sin（﹣α），…7分S△ABC=absin∠ABC=sin=4sinα?sin（﹣α）=2sinαcosα﹣2sin2α=sin2α+cos2α﹣=2sin（2α+）﹣，…11分當α=時，△ABC的面積取得最大值，最大值為2﹣．…12分22.一個圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分，現(xiàn)要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形ABCD（如圖所示，其中O為圓心，C，D在半圓上），設(shè)∠BOC=θ，直四棱柱木梁的體積為V（單位：m3），側(cè)面積為S（單位：m2）．（Ⅰ）分別求V與S關(guān)于θ的函數(shù)表達式；（Ⅱ）求側(cè)面積S的最大值；（Ⅲ）求θ的值，使體積V最大．參考答案：【考點】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】（I）列出梯形ABCD的面積SABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），求解體積V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）．（II）得出g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，利用二次函數(shù)求解即可．（III）V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，），求解導(dǎo)數(shù)得出V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1），根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解．【解答】解：（Ⅰ）木梁的側(cè)面積S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin+2cosθ）=20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，），梯形ABCD的面積SABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），體積V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）；（Ⅱ）木梁的側(cè)面積S=10（AB+2BC+CD）