上海市松江區(qū)第四中學2021-2022學年高一數(shù)學理下學期期末試題含解析

上海市松江區(qū)第四中學2021-2022學年高一數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷:①

m⊥n；

②

α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個論斷作為條件，余下一個作為結論，其中正確命題的個數(shù)是（

）A.1個

B.2個

C.3個

D.4個參考答案：B

2.函數(shù)y=sin（2x+φ）的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則φ的一個可能的值為（）A． B． C．0 D．參考答案：B【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得函數(shù)y=sin（2x+φ）的圖象沿x軸向左平移個單位后的解析式，利用其為偶函數(shù)即可求得答案．【解答】解：令y=f（x）=sin（2x+φ），則f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）為偶函數(shù)，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴當k=0時，φ=．故φ的一個可能的值為．故選B．3.函數(shù)f（x）=2x﹣x2（0≤x≤3）的值域是（）A．R B．（﹣∞，1] C．[﹣3，1] D．[﹣3，0]參考答案：C【考點】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．【分析】先進行配方找出對稱軸，判定對稱軸是否在定義域內，然后結合二次函數(shù)的圖象可知函數(shù)的單調性，從而求出函數(shù)的值域．【解答】解：f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤3）根據(jù)二次函數(shù)的開口向下，對稱軸為x=1在定義域內可知，當x=1時，函數(shù)取最大值1，離對稱軸較遠的點，函數(shù)值較小，即當x=3時，函數(shù)取最小值﹣3∴函數(shù)f（x）=2x﹣x2（0≤x≤3）的值域是[﹣3，1]故選C．4.算法的三種基本結構是(

)

A.順序結構、模塊結構、條件結構

B.順序結構、循環(huán)結構、模塊結構

C.順序結構、條件結構、循環(huán)結構

D.模塊結構、條件結構、循環(huán)結構參考答案：C略5.已知等比數(shù)列中，，則的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略6.某簡單幾何體的一條對角線長為a，在該幾何體的正視圖、側視圖與俯視圖中，這條對角線的投影都是長為的線段，則a等于()A．

B．C．1

D．2參考答案：B7.已知O為所在平面內一點，滿足則點O是的

（

）A外心

B內心

C垂心

D重心參考答案：C8.某企業(yè)今年3月份產(chǎn)值為萬元，4月份比3月份減少了10％，5月份比4月份增加了15％，則5月份的產(chǎn)值是（

）A.（-10％）（+15％）萬元

B.（1-10％）（1+15％）萬元

C.（-10％+15％）萬元

D.（1-10％+15％）萬元參考答案：B略9.已知那么的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知集合A={1,3,5}，B={2,a,b}，若A∩B={1,3}，則a+b的值為

A．4 B．7 C．9 D．10參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，則tanα的值為．參考答案：【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用．【分析】根據(jù)誘導公式，可得cosα=，進而利用同角三角函數(shù)的基本關系公式，可得答案．【解答】解：∵，∴cosα=，∵，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，故答案為：．【點評】本題考查的知識點是誘導公式，同角三角函數(shù)的基本關系公式，難度基礎．12.（5分）若函數(shù)f（x）=a（x﹣1）+2（其中a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過定點P（m，n），則m+n=

．參考答案：4考點： 冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．專題： 函數(shù)的性質及應用．分析： 利用a0=1（a＞0且a≠1）即可得出．解答： 令x=1，則f（1）=a0+2=3，∴函數(shù)f（x）=a（x﹣1）+2（其中a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過定點P（1，3），∴m+n=4．故答案為：4．點評： 本題考查了指數(shù)函數(shù)：a0=1（a＞0且a≠1）的性質，屬于基礎題．13.若函數(shù)y=是函數(shù)的反函數(shù)，則

。參考答案：0略14.4位顧客將各自的帽子放在衣架上，然后，每人隨意取走一頂帽子，則4人拿的都是自己的帽子的概率為，恰有3人拿到自己帽子的概率為，恰有1人拿到自己帽子的概率為，4人拿的都不是自己帽子的概率為．參考答案：,0,,.考點：古典概型及其概率計算公式．專題：概率與統(tǒng)計．分析：每位顧客將各自的帽子隨意放在衣帽架上，共有種方法，分別求出各種拿法的情況，利用概率公式，即可得到結論．解答：解4位顧客將各自的帽子隨意放在衣帽架上，共有=24種方法（1）4人拿的都是自己的帽子，共有1種情況，故4人拿的都是自己的帽子的概率P=；（2）恰有3人拿的都是自己的帽子，則第4人拿的也是自己的帽子，故恰有3人拿到自己帽子的概率P=0；（3）恰有1人拿的都是自己的帽子，共有2=8種情況，故恰有1人拿到自己帽子的概率P==；（4）4人拿的都不是自己的帽子，共有=9種情況，故4人拿的都不是自己帽子的概率P==．故答案為：，0，，點評：本題考查概率的計算，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．15.函數(shù)的定義域為_________.參考答案：(1,+∞)【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，列出不等式求解集即可．【詳解】對數(shù)函數(shù)f（x）＝log2（x﹣1）中，x﹣1＞0，解得x＞1；∴f（x）的定義域為（1，+∞）．故答案為：（1，+∞）．【點睛】本題考查了求對數(shù)函數(shù)的定義域問題，是基礎題．16.sin11°cos19°+cos11°sin19°的值是_____▲_____．參考答案：由．故答案為．

17.已知圓心為C（0，﹣2），且被直線2x﹣y+3=0截得的弦長為，則圓C的方程為

．參考答案：x2+（y+2）2=25【考點】圓的標準方程；圓的一般方程．【分析】先求出弦心距，再根據(jù)弦長求出半徑，從而求得圓C的方程．【解答】解：由題意可得弦心距d==，故半徑r==5，故圓C的方程為x2+（y+2）2=25，故答案為：x2+（y+2）2=25．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=2x2﹣3x+1，，（A≠0）（1）當0≤x≤時，求y=f（sinx）的最大值；（2）若對任意的x1∈[0，3]，總存在x2∈[0，3]，使f（x1）=g（x2）成立，求實數(shù)A的取值范圍；（3）問a取何值時，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π）上有兩解？參考答案：【考點】三角函數(shù)的最值；二次函數(shù)的性質；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（1）由已知可得，y=f（sinx）=2sin2x﹣3sinx+1設t=sinx，由x可得0≤t≤1，從而可得關于t的函數(shù)，結合二次函數(shù)的性質可求（2）依據(jù)題意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集，要求A的取值范圍，可先求f（x1）值域，然后分①當A＞0時，g（x2）值域②當A＜0時，g（x2）值域，建立關于A的不等式可求A的范圍．（3）2sin2x﹣3sinx+1=a﹣sinx化為2sin2x﹣2sinx+1=a在[0，2π]上有兩解令t=sinx則2t2﹣2t+1=a在[﹣1，1]上解的情況可結合兩函數(shù)圖象的交點情況討論．【解答】解：（1）y=f（sinx）=2sin2x﹣3sinx+1設t=sinx，x，則0≤t≤1∴∴當t=0時，ymax=1（2）當x1∈[0，3]∴f（x1）值域為當x2∈[0，3]時，則有①當A＞0時，g（x2）值域為②當A＜0時，g（x2）值域為而依據(jù)題意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集則或∴A≥10或A≤﹣20（3）2sin2x﹣3sinx+1=a﹣sinx化為2sin2x﹣2sinx+1=a在[0，2π]上有兩解換t=sinx則2t2﹣2t+1=a在[﹣1，1]上解的情況如下：①當在（﹣1，1）上只有一個解或相等解，x有兩解（5﹣a）（1﹣a）≤0或△=0∴a∈[1，5]或②當t=﹣1時，x有惟一解③當t=1時，x有惟一解故a∈（1，5）∪{}．19.已知向量向量與向量的夾角為,，且向量與向量共線.（Ⅰ）求向量的坐標（Ⅱ）若向量,其中、為的內角,且,求的取值范圍.參考答案：(1)(-1,0)；

(2)。20.（10分）已知函數(shù)f（x）=ax2﹣4x+2，（1）若f（2﹣x）=f（2+x），求f（x）的解析式；（2）已知a≤1，若函數(shù)y=f（x）﹣log2在區(qū)間[1，2]內有且只有一個零點，試確定實數(shù)a的取值范圍．參考答案：考點： 函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)零點的判定定理．專題： 函數(shù)的性質及應用．分析： （1）先求出函數(shù)的對稱軸，從而求出a的值，進而求出函數(shù)f（x）的表達式；（2）設r（x）=ax2﹣4x+5，s（x）=log2x（x∈[1，2]），問題轉化為兩個函數(shù)r（x）與s（x）的圖象在區(qū)間[1，2]內有唯一交點，通過討論a的范圍，結合函數(shù)的單調性，從而求出a的范圍．解答： （1）∵f（2﹣x）=f（2+x），∴f（x）的對稱軸為x=2，即，即a=1，∴f（x）=x2﹣4x+2．（2）因為設r（x）=ax2﹣4x+5，s（x）=log2x（x∈[1，2]）則原命題等價于兩個函數(shù)r（x）與s（x）的圖象在區(qū)間[1，2]內有唯一交點當a=0時，r（x）=﹣4x+5在區(qū)間[1，2]內為減函數(shù)，s（x）=log2x（x∈[1，2]）為增函數(shù)，且r（1）=1＞s（1）=0，r（2）=﹣3＜s（2）=1，所以函數(shù)r（x）與s（x）的圖象在區(qū)間[1，2]內有唯一交點當a＜0時，r（x）圖象開口向下，對稱軸為所以r（x）在區(qū)間[1，2]內為減函數(shù)，s（x）=log2x（x∈[1，2]）為增函數(shù)，則由，所以﹣1≤a＜0，當0＜a≤1時，r（x）圖象開口向上，對稱軸為，所以r（x）在區(qū)間[1，2]內為減函數(shù)，s（x）=log2x（x∈[1，2]）為增函數(shù)，則由，所以0＜a≤1，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為[﹣1，1]．點評： 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查了函數(shù)的單調性，考查了分類討論思想，是一道中檔題．21.設fk（n）為關于n的k（k∈N）次多項式．數(shù)列{an}的首項a1=1，前n項和為Sn．對于任意的正整數(shù)n，an+Sn=fk（n）都成立．（I）若k=0，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（Ⅱ）試確定所有的自然數(shù)k，使得數(shù)列{an}能成等差數(shù)列．參考答案：【考點】8H：數(shù)列遞推式；8C：等差關系的確定；8D：等比關系的確定．【分析】（Ⅰ）若k=0，不妨設f0（n）=c（c為常數(shù)）．即an+Sn=c，結合數(shù)列中an與Sn關系求出數(shù)列{an}的通項公式后再證明．（Ⅱ）由特殊到一般，實質上是由已知an+Sn=fk（n）考查數(shù)列通項公式求解，以及等差數(shù)列的判定．【解答】（Ⅰ）證明：若k=0，則fk（n）即f0（n）為常數(shù)，不妨設f0（n）=c（c為常數(shù)）．因為an+Sn=fk（n）恒成立，所以a1+S1=c，c=2a1=2．而且當n≥2時，an+Sn=2，①an﹣1+Sn﹣1=2，②①﹣②得2an﹣an﹣1=0（n∈N，n≥2）．若an=0，則an﹣1=0，…，a1=0，與已知矛盾，所以an≠0（n∈N*）．故數(shù)列{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列．（Ⅱ）解：（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符題意，舍去．（2）若k=1，設f1（n）=bn+c（b，c為常數(shù)），當n≥2時，an+Sn=bn+c，③an﹣1+Sn﹣1=b（n﹣1）+c，④③﹣④得2an﹣an﹣1=b（n∈N，n≥2）．要使數(shù)列{an}是公差為d（d為常數(shù)）的等差數(shù)列，必須有an=b﹣d（常數(shù)），而a1=1，故{an}只能是常數(shù)數(shù)列，通項公式為an=1（n∈N*），故當k=1時，數(shù)列{an}能成等差數(shù)列，其通項公式為an=1（n∈N*），此時f1（n）=n+1．（3）若k=2，設f2（n）=pn2+qn+t（a≠0，a，b，c是常數(shù)），當n≥2時，an+Sn=pn2+qn+t，⑤an﹣1+Sn﹣1=p（n﹣1）2+q（n﹣1）+t，⑥⑤﹣⑥得2an﹣an﹣1=2pn+q﹣p（n∈N，n≥2），要使數(shù)列{an}是公差為d（d為常數(shù)）的等差數(shù)列，必須有an=2pn+q﹣p﹣d，且d=2p，考慮到a1=1，所以an=1+（n﹣1）?2p=2pn﹣2p+1（n∈N*）．故當k=2時，數(shù)列{an}能成等差數(shù)列，其通項公式為an=2pn﹣2p+1（n∈N*