上海市田林第三中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

上海市田林第三中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若實(shí)數(shù)x,y滿足，則S=2x+y－1的最大值為

A．6

B．4

C．3

D．2參考答案：A2.在某校的一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中用以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學(xué)生的聽(tīng)力成績(jī)（單位：分）.甲組

乙組

909

51387127

已知甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17，則、的值分別為(

) A．2，5

B．5，5

C．5，7

D．8，7

參考答案：C3.若函數(shù)為常數(shù)，）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)的圖象（）A.關(guān)于直線對(duì)稱 B.關(guān)于直線對(duì)稱C.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱參考答案：D【分析】利用三角函數(shù)的對(duì)稱性求得a的值，可得g（x）的解析式，再代入選項(xiàng)，利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．【詳解】解：∵函數(shù)f（x）＝asinx+cosx（a為常數(shù)，x∈R）的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，∴f（0）＝f（），即，∴a＝，所以函數(shù)g（x）＝sinx+acosx＝sinx+cosx＝sin（x+），當(dāng)x＝﹣時(shí)，g（x）＝-，不是最值，故g（x）的圖象不關(guān)于直線x＝﹣對(duì)稱，故A錯(cuò)誤，當(dāng)x＝時(shí)，g（x）＝1，不是最值，故g（x）的圖象不關(guān)于直線x＝對(duì)稱，故B錯(cuò)誤，當(dāng)x＝時(shí)，g（x）＝≠0，故C錯(cuò)誤，當(dāng)x＝時(shí)，g（x）＝0，故D正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變形以及正弦類函數(shù)的對(duì)稱性，是三角函數(shù)中綜合性比較強(qiáng)的題目，比較全面地考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．4.已知200輛汽車(chē)通過(guò)某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如上圖所示，估計(jì)這輛汽車(chē)在這段公路時(shí)速的眾數(shù)是（）A．60

B．65

C．60.5

D．70參考答案：B5.設(shè)函數(shù)，若有且僅有三個(gè)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：A6.從某班成員分別為3人、3人和4人的三個(gè)學(xué)習(xí)小組中選派4人組成一個(gè)環(huán)保宣傳小組，則每個(gè)學(xué)習(xí)小組都至少有1人的選派方法種數(shù)是（）A．130 B．128 C．126 D．124參考答案：C【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；排列組合．【分析】3人、3人和4人的三個(gè)學(xué)習(xí)小組中選派4人，有如下幾種情況：①2，1，1，有C32C31C41=36種，②1，2，1，有C31C32C41=36種，③1，1，2，有C31C31C42=54種，即可得出結(jié)論．【解答】解：3人、3人和4人的三個(gè)學(xué)習(xí)小組中選派4人，有如下幾種情況：①2，1，1，有C32C31C41=36種，②1，2，1，有C31C32C41=36種，③1，1，2，有C31C31C42=54種，共計(jì)36+36+54=126種．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，解答關(guān)鍵是利用直接法：先分類后分步．7.設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）證明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】帶絕對(duì)值的函數(shù)．【分析】（1）運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：絕對(duì)值的和不小于差的絕對(duì)值，利用基本不等式即可證得結(jié)論．（2）若f（2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m，即2﹣＞3﹣m或2﹣＜m﹣3．轉(zhuǎn)化為二次不等式，解出即可，注意m＞0．【解答】（1）證明：∵f（x）=|x﹣|+|x+m|≥|（x﹣）﹣（x+m）|=|﹣﹣m|=+m（m＞0）又m＞0，則+m≥4，當(dāng)且僅當(dāng)m=2取最小值4．∴f（x）≥4；（2）解：若f（2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m，即2﹣＞3﹣m或2﹣＜m﹣3．由于m＞0，則m2﹣m﹣4＞0或m2﹣5m+4＞0，解得m＞或m＞4或0＜m＜1．故m的取值范圍是（，+∞）∪（0，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值函數(shù)的最值，注意去絕對(duì)值的方法，考查基本不等式的運(yùn)用，以及絕對(duì)值不等式的解法和二次不等式的解法，屬于中檔題．8.函數(shù)，的圖象可能是下列圖象中的(

）參考答案：C9.設(shè)集合，，若，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B10.已知全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={x|lg（x﹣1）＞0}，則A∩（?uB）=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|1≤x＜2} C．{x|x＜2} D．{x|x≤1}參考答案：C【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】lg（x﹣1）＞0，可得x﹣1＞1，可得B，?RB．再利用集合的運(yùn)算性質(zhì)可得：A∩（?uB）．【解答】解：∵lg（x﹣1）＞0，∴x﹣1＞1，解得x＞2．∴B={x|lg（x﹣1）＞0}=（2，+∞），∴?RB=（﹣∞，2]．則A∩（?uB）=（﹣∞，2）．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

數(shù)列中，，則

參考答案：12.已知函數(shù)若方程有兩個(gè)大于零的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是

▲

.參考答案：13.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立，則稱為“條件約束函數(shù)”．現(xiàn)給出下列函數(shù)： ①； ②； ③； ④是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且對(duì)一切均有．其中是“條件約束函數(shù)”的序號(hào)是_____（寫(xiě)出符合條件的全部序號(hào)）．參考答案：①③④14.若直線與函數(shù)（的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是

.參考答案：略15.設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為

.參考答案：716.函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）處的切線的斜率分別是kM，kN，規(guī)定φ（M，N）=（|MN|為線段MN的長(zhǎng)度）叫做曲線y=f（x）在點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的“彎曲度”．設(shè)曲線f（x）=x3+2上不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），且x1y1=1，則φ（M，N）的取值范圍是．參考答案：（0，）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】利用定義，再換元，即可得出結(jié)論．【解答】解：曲線f（x）=x3+2，則f′（x）=3x2，設(shè)x1+x2=t（|t|＞2），則φ（M，N）==，∴0＜φ（M，N）＜．故答案為：（0，）17.已知矩形ABCD，AB=2，bc=1，則

．參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）．（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且，求直線的傾斜角α的值．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程，得ρ2=4ρcosθ．由x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程，得：t2﹣2tcosα﹣3=0．利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式能求出直線的傾斜角α的值．【解答】選修4﹣4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分，第（1）問(wèn)，第（2）問(wèn)5分）解：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ．∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4．（2）將直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）代入圓的方程，得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化簡(jiǎn)得t2﹣2tcosα﹣3=0．設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則，∴|AB|=|t1﹣t2|===，4cos2α=1，解得cos，∴或．19.（本題滿分14分）如圖一，平面四邊形中，．把沿折起（如圖二），使二面角的余弦值等于對(duì)于圖二，完成以下各小題：（1）求AC的長(zhǎng)（2）證明：平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值．參考答案：解：（2）取的中點(diǎn)，連接，由，得：

就是二面角的平面角，

…………2分在中，

由，

，又平面．

（2）方法一：由（Ⅰ）知平面平面∴平面平面

平面平面，作交于，則平面，就是與平面所成的角，

．

方法二：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，∵

于是與平面所成角的正弦為．

20.已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別是軸、軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足．若點(diǎn)滿足．(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程；(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)任作一直線與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，直線、與直線分別交于點(diǎn)、（為坐標(biāo)原點(diǎn)），試判斷是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：解：（1）橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，………………1分．，由，得．…3分設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，有，代入，得．

…………5分（2）(法一)設(shè)直線的方程為，、，則，．

………………6分由，得，同理得．…………8分②當(dāng)不垂直軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，、，同解法一，得．

…………………10分由，得，．……11分則．

…………13分因此，的值是定值，且定值為．

…………………14分略21.已知A,B,C,D四個(gè)城市,它們各自有一個(gè)著名的旅游點(diǎn),依次記為a,b,c,d,把A,B,C,D和a,b,c,d分別寫(xiě)成左、右兩列.現(xiàn)在一名旅游愛(ài)好者隨機(jī)用4條線把城市與旅游點(diǎn)全部連接起來(lái),構(gòu)成“一一對(duì)應(yīng)”.規(guī)