上海昂立中學(xué)生教育(水城分校)2023年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

上海昂立中學(xué)生教育(水城分校)2023年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)，關(guān)于x的不等式有且只有三個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．B．C．D．參考答案：A2.若a＞0，b＞0，且a+b=4，則下列不等式中恒成立的是（） A．＞ B．+≤1 C．≥2 D．≤參考答案：D【考點(diǎn)】基本不等式． 【專題】計(jì)算題． 【分析】由題設(shè)知ab≤，所以，，，==≤，由此能夠排除選項(xiàng)A、B、C，從而得到正確選項(xiàng)． 【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4， ∴ab≤， ∴，故A不成立； ，故B不成立； ，故C不成立； ∵ab≤4，a+b=4，∴16﹣2ab≥8， ∴==≤，故D成立． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的基本性質(zhì)，解題時(shí)要注意均值不等式的合理運(yùn)用． 3.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是(

)A． B．

C.．

D．參考答案：C略4.把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)保持不變，再把所得函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式是（A） （B）（C） （D）參考答案：A把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)保持不變，得到，再把所得函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式，選A.5.若集合，，則A．

B．

C．

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】集合的運(yùn)算A1C解析：因?yàn)榧?，所以，故選擇C.【思路點(diǎn)撥】先求得集合M，P，然后利用交集的定義可求得的值.6.已知，由如右程序框圖輸出的（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C7.已知集合，，則A∩B=（

）A.(－1,1) B.(－1,+∞) C.[0,1] D.(0,1)參考答案：D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)中真數(shù)大于0求出集合A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)得出集合B，進(jìn)而求出【詳解】解得：故選D8.設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a1=1，an＞0（n∈N*），其前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{}也為等差數(shù)列，則的最大值是（）A．310B．212C．180D．121參考答案：D考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性；等差關(guān)系的確定．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：等差數(shù)列{an}滿足a1=1，an＞0（n∈N*），設(shè)公差為d，則an=1+（n﹣1）d，其前n項(xiàng)和為Sn=，由于數(shù)列{}也為等差數(shù)列，可得=+，解出d，可得=，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．解答：解：∵等差數(shù)列{an}滿足a1=1，an＞0（n∈N*），設(shè)公差為d，則an=1+（n﹣1）d，其前n項(xiàng)和為Sn=，∴=，=1，=，=，∵數(shù)列{}也為等差數(shù)列，∴=+，∴=1+，解得d=2．∴Sn+10=（n+10）2，=（2n﹣1）2，∴==，由于為單調(diào)遞減數(shù)列，∴≤=112=121，故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．9.從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為()A.

B.

C.

D.

參考答案：B10.對(duì)于空間的兩條直線m、n和一個(gè)平面α，下列命題中的真命題是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，n?α，則m∥nC．若m∥α，n⊥α，則m∥nD．若m⊥α，n⊥α，則m∥n參考答案：D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】A．利用線面平行的性質(zhì)定理即可得出；B．利用線面平行的性質(zhì)定理即可得出；C．利用線面平行與垂直的性質(zhì)定理即可得出；D．利用線面垂直的性質(zhì)定理即可得出．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，則m∥n、相交或?yàn)楫惷嬷本€，因此A不正確；B．若m∥α，n?α，則m∥n或?yàn)楫惷嬷本€，因此B不正確；C．若m∥α，n⊥α，則m⊥n，因此C不正確；D．若m⊥α，n⊥α，利用線面垂直的性質(zhì)定理可知：m∥n．正確．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)的定義域是,．設(shè)且，則的最小值是

．參考答案：512.已知函數(shù).（1）若a=0，x∈[0，4]，則f（x）的值域是

；（2）若f（x）恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：[﹣1，1]；（﹣∞，0）【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；函數(shù)的值．【分析】（1）求出f（x）在[﹣4，4]上的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出最值即可得出值域；（2）對(duì)x討論，分別求出f（x）的零點(diǎn)，令其零點(diǎn)分別在對(duì)應(yīng)的定義域上即可．【解答】解：（1）a=0時(shí)，f（x）=，∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在（1，4]上單調(diào)遞增，∵f（0）=0，f（1）=﹣1，f（4）=1，∴f（x）在[0，1]上的值域是[﹣1，0]，在（1，4]上的值域是（0，1]，∴f（x）在[0，4]上的值域是[﹣1，1]．（2）當(dāng)x≤1時(shí)，令f（x）=0得x=2a或x=a，當(dāng)x＞1時(shí)，令f（x）=0得=1﹣a，∴x=（1﹣a）2（1﹣a＞1），∵f（x）恰好有三個(gè)解，∴，解得a＜0．故答案為：[﹣1，1]；（﹣∞，0）．13.在實(shí)數(shù)集上定義運(yùn)算

，并定義：若存在元素使得對(duì)，有，則稱為上的零元，那么，實(shí)數(shù)集上的零元之值是

參考答案：；根據(jù)“零元”的定義，，故14.如果點(diǎn)在平面區(qū)域上，點(diǎn)在曲線上，那么的最小值為

參考答案：答案：15.（x2+3x+2）5的展開(kāi)式中x的系數(shù)是．參考答案：240【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【分析】根據(jù)（x2+3x+2）5=（x+1）5?（x+2）5，可得x的系數(shù)是??25+??24，計(jì)算求得結(jié)果．【解答】解：（x2+3x+2）5=（x+1）5?（x+2）5，故x的系數(shù)是??25+??24=240，故答案為：240．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16.已知，則的值為

參考答案：17.過(guò)曲線上點(diǎn)處的切線平行于直線，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為參考答案：試題分析：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求導(dǎo)得由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解得，故點(diǎn)坐標(biāo)為．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知直線(t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線C的參數(shù)方程和直線l的普通方程；（2）過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)M作與l夾角為60°的直線，交l于點(diǎn)N，求MN的最小值．參考答案：（1）曲線的C參數(shù)方程為（為參數(shù)）直線的普通方程為（2）【分析】（1）根據(jù)題意，代入，可得，即，其參數(shù)方程為，（為參數(shù)），直線的普通方程為（2）設(shè)，求出到直線的距離，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出最小值．【詳解】解：（1）代入，可得，即+=1，其參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的普通方程為.（2）設(shè)，則到的距離當(dāng)時(shí)，取最小值為,故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程化普通方程，極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)方程，簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，屬中檔題．19.（本小題滿分12分）（文）已知關(guān)于的一元二次函數(shù)（1）設(shè)分別從集合和中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為和，求函數(shù)在區(qū)間[上是增函數(shù)的概率；（2）設(shè)點(diǎn)（，）是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)在區(qū)間[上是增函數(shù)的概率.參考答案：要使在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，

……3分（1）若，則

若，則，若，則，

∴事件包含個(gè)基本事件

………………5分∴所求事件的概率為

………………7分（2）依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)闃?gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿切尾糠帧Ｓ?/p>

得交點(diǎn)坐標(biāo)為

………………10分∴所求事件的概率為

………………12分20.已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x，函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（1））處的切線平行于x軸．（1）求a的值；（2）求函數(shù)g（x）的極值；（3）設(shè)斜率為k的直線與函數(shù)f（x）的圖象交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），證明＜k＜．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（1））處的切線平行于x軸，斜率為0，求出a即可．（2）求出函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求出函數(shù)的極值．（3）利用直線的斜率以及導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，證明即可．【解答】解：（1）依題意得：g（x）=lnx+ax2﹣3x，則g′（x）=+2ax﹣3，函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（1））處的切線平行于x軸g′（1）=1+2a﹣3=0，∴a=1…（2）由（1）得g′（x）=+2x﹣3=∵函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋海?，+∞），令g′（x）=0，得x=，或x=1．函數(shù)g（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（）單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增．故函數(shù)g（x）的極小值為g（1）=﹣2．…．（3）證明：依題意得?lnx2﹣kx2=lnx1﹣kx1，令h（x）=lnx=kx，則h′（x）=，由h′（x）=0得：x=，當(dāng)x＞時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)0＜x＜時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（0，）單調(diào)遞增，在（，+∞）單調(diào)遞減，又h（x1）=h（x2），x1＜＜x2，即＜k＜…【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及單調(diào)性，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．21.已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，（1）求A的大小；（2）若a=7，求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用．專題：解三角形．分析：（1）利用正弦定理，結(jié)合和差的正弦公式，化簡(jiǎn)可得結(jié)論；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式，可求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍．解答： 解：（1）∵，∴由正弦定理可得，∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，∴sinA﹣cosA=1，∴sin（A﹣30°）=，∴A﹣30°=30°，∴A=60°；（2）由題意，b＞0，c＞0，b+c＞a=7，∴由余弦定理49==（b