初高中數(shù)學(xué)銜接知識

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數(shù)學(xué)

學(xué)高中數(shù)學(xué)的幾點建議：

1、記數(shù)學(xué)筆錄，特別是對看法理解的不一樣樣角度和數(shù)學(xué)規(guī)律，老師為備戰(zhàn)高考而加的課外知識。

記錄下來本章最有價值的思想方法和例題，以及還存在的未解決的問題，以便今后將其補上。

、建立數(shù)學(xué)糾錯本。把平常簡單出現(xiàn)錯誤的知識或推理記錄下來，以防再犯。爭取做到：找錯、析錯、改錯、防錯。解答問題圓滿、推理嚴(yán)實。

、熟記一些數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)結(jié)論，使自己平常的運算技術(shù)達到了自動化熟練程度。

、常常對知識結(jié)構(gòu)進行梳理，形成板塊結(jié)構(gòu)，實行“整體集裝”，如表格化，使知識結(jié)構(gòu)如數(shù)家珍；常常對習(xí)題進行類化，由一例到一類，由一類到多類，由多類到一致；使幾類問題

歸納于同一知識方法。

、及時復(fù)習(xí)，增強對基本看法知識系統(tǒng)的理解與記憶，進行合適的頻頻牢固，消滅前學(xué)后忘。

、學(xué)會從多角度、多層次地進行總結(jié)歸類。如：①從數(shù)學(xué)思想分類②從解題方法歸類③從知識應(yīng)用上分類等，使所學(xué)的知識系統(tǒng)化、條理化、專題化

、常常在做題后進行必然的“反思”，思慮一下本題所用的基礎(chǔ)知識，數(shù)學(xué)思想方法是什么，為何要這樣想，能否還有其余想法和解法，本題的解析方法與解法，在解其余問題時，能否也用到過。

初高中數(shù)學(xué)連結(jié)教材

1.1數(shù)與式的運算

．絕對值

一、看法：絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的自己，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的

a,a0,

絕對值還是零．即|a|0,a0,

a,a0.

絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離．

兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：ab表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)b之間的距離．二、典型例題：例1解不等式：|x1|4解法一：由x10，得x1；①若x1，不等式可變?yōu)?x1)4，即1x4，得x3，又x＜1，∴x＜-3；②若1x，不等式可變?yōu)?x1)4，即x5又x1∴x5綜上所述，原不等式的解為x3或x5。解法二：如圖1．1－1，x1表示x軸上坐標(biāo)為x現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)知識存在以下“脫節(jié)”

1．立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運算還在用。

2．因式分解初中一般只限于二次項且系數(shù)為“1”的分解，對系數(shù)不為“1”的涉及不多,

并且對三次或高次多項式因式分解幾乎不作要求，但高中教材好多化簡求值都要用到,如解方

程、不等式等。

的點P到坐標(biāo)為1的點A之間的距離|PA|，即|PA|＝|x－1|；所以|x1|4的幾何意義即為：|PA|＞4．可知點P在點C(坐標(biāo)為-3)的左邊、或點P在點(坐標(biāo)5)的右邊．D∴x3或x5。

PCADx-315x|x－1|

圖1．1－1

3．二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不等式常用的解題技巧。

4．初中教材對二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于認(rèn)識水平，但二次函數(shù)倒是高中貫穿向來的重

要內(nèi)容。配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)必然掌握的基本題型與常用方法。

5．二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）在初中不作要

求，此類題目僅限于簡單常例運算和難度不大的應(yīng)用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程互相轉(zhuǎn)變被視為重要內(nèi)容，

6．圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中解說函數(shù)后，對其圖像的上、下；左、右平移，兩個函數(shù)關(guān)于原點，軸、直線的對稱問題必然掌握。

7．含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中這部分內(nèi)容視

為重難點。方程、不等式、函數(shù)的綜合觀察常成為高考綜合題。

8．幾何部分好多看法（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比率定理，射影定理，

訂交弦定理等）初中生多半沒有學(xué)習(xí)，而高中都要涉及。

其余，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中講課大大弱化，不利于高中知識的解說。

1．填空：（1）若x5，則x=_________；若x4，則x=_________.（2）假如ab5，且a11c2，則c＝________.，則b＝________；若2．選擇題：以下表達正確的選項是（）（A）若ab，則ab（B）若ab，則ab（C）若ab，則ab（D）若ab，則ab3．解不等式：|x2|34、化簡：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．文案大全適用文檔

1.1.2.乘法公式一、復(fù)習(xí)：我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了以下一些乘法公式：（1）平方差公式(ab)(ab)a2b2；（2）圓滿平方公式(ab)2a22abb2．我們還可以夠經(jīng)過證明獲得以下一些乘法公式：（1）立方和公式(ab)(a2abb2)a3b3；必（2）立方差公式(ab)(a2abb2)a3b3；須（3）三數(shù)和平方公式(abc)2a2b2c22(abbcac)；記住（4）兩數(shù)和立方公式(ab)3a33a2b3ab23；b（5）兩數(shù)差立方公式(ab)3a33a2b3ab2b3．二、典型例題例1計算：(x1)(x1)(x2x1)(x2x1)．解法一：原式=(x21)(x21)2x2=(x21)(x4x21)=x61．解法二：原式=(x1)(x2x1)(x1)(x2x1)=(x31)(x31)=x61．例2已知abc4，abbcac4，求a2b2c2的值．解：a2b2c2(abc)22(abbcac)8．練習(xí)

x22xyy2，a2等是有理式．

1．分母有理化

把分母中的根號化去，叫做分母有理化．為了進行分母有理化，需要引入有理化因式的看法．兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，假如它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式

互為有理化因式，比方2與2，3a與a，36與36，2332與2332，等等．一般地，ax與x，axby與axby，axb與axb互為有理化因式．分母有理化的方法：是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程2．二次根式a2的意義a2aa,a0,a,a0.二、典型例題

例1將以下式子化為最簡二次根式：

（1）12b；（2）a2b(a0)；（3）4x6y(x0)．解：（1）12b23b；（2）a2babab(a0)；（3）4x6y2x3y2x3y(x0)．例2計算：3(33)．1．填空：（1）

（2）

(3)

選擇題：

a2

(4m(a

b2

2b

(1b1a)（）；23)216m24m()；c)2a24b2c2()．

解一：3(33)＝3＝3(33)＝333＝3(31)＝31．33(33)(33)9362解二：3(33)＝3＝3＝1＝31＝333(31)31(31)(31)（1）若x21mxk是一個圓滿平方式，則k等于（）2（B）1m2（C）1m2（D）1m2（A）m24316（2）不論a，b為何實數(shù)，a2b22a4b8的值（）（A）老是正數(shù)（B）老是負(fù)數(shù)（C）能夠是零（D）能夠是正數(shù)也能夠是負(fù)數(shù)

．二次根式一、看法：一般地，形如a(a0)的代數(shù)式叫做二次根式．根號下含有字母、且不能夠以開得盡方的式子稱為無理式.比方3aa2b2b，a2b2等是無理式，而2x22x1，2

31．

2

例3化簡：(32)2004(32)2005．解：原式＝(32)2004(32)2004(32)2004＝(32)(32)(32)＝12004(32)＝32．例4化簡：（1）945；（2）x212(0x1)．x2文案大全

解：（1）原式=5454=(5)222522(25)22552．（2）原式=(x1)2x1，xx∵0x1，∴11x，所以，原式＝1x．xx練習(xí)1．填空：（1）13＝_____；（2）若(5x)(x3)2(x3)5x，則x的取值范圍是__13（3）4246543962150_____；2．選擇題：等式xx建立的條件是（）x2x2（A）x2（B）x0（C）x2（D）0x23．若ba211a2，求ab的值．a(chǎn)14．比較大?。?－35－4（填“＞”，或“＜”）．．分式一、看法：分式的意義

形如A的式子，若B中含有字母，且B0，則稱A為分式．當(dāng)M≠0時，分式A擁有下BBB列性質(zhì)：AAM；AAM．上述性質(zhì)被稱為分式的基天性質(zhì)．BBMBBM二、典型例題：例1若5x4AB，求常數(shù)A,B的值．x(x2)xx2解：∵ABA(x2)Bx(AB)x2A5x4，xx2x(x2)x(x2)x(x2)∴AB5,解得A2,B3．2A4,例2（1）試證：11)11（此中n是正整數(shù)）；n(nnn1

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（2）計算：111；2239101解：（1）證明：∵111(n1)n1，nnn(n1)n(n1)∴111（此中n是正整數(shù)）建立．n(n1)nn1（2）由（1）可知111111111223910(1)()()2239101＝9．

1010

例3設(shè)ec＞，2－5＋22＝0，求e的值．2cae1解：在2c2－5ac＋2a2＝0兩邊同除以a2，得2e2－5e＋2＝0，(2e－1)(e－2)＝0，

∴＝1＜1，舍去；或＝2．∴＝2．e2ee練習(xí)1．填空題：對任意的正整數(shù)111n，()；n(n2)nn22．選擇題：若2xy2，則x＝（）xy3y（A）１（B）5（C）4（D）64553．正數(shù)x,y滿足x2y22xy，求xy的值．xy

習(xí)題1．1A組．解不等式：x13２．已知xy1，求x3y33xy的值．1

3．（1）(23)18(23)19＝________；

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（2）11111________．12233445564．a(chǎn)1b13a2ab________；，，則3a25ab2b2235．已知：x1,y1，求xyy的值．23yxy

組

1．選擇題：

（1）若ab2abba，則（）（A）ab（B）ab（C）ab0（D）ba0（2）計算a1（）等于a（A）a（B）a（C）a（D）a

1．2分解因式

一、復(fù)習(xí)引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，其余還應(yīng)認(rèn)識求根法及待定系數(shù)法．

1．十字相乘法例1分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）x2(ab)xyaby2；解：（1）如圖1．2－1，將二次項x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項2分解成－1與－2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為－3x，就是2－3＋2中的一次項，所以，xx有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

x－11－11－2x－ayx－21－216x－by圖1．2－1圖1．2－2圖1．2－4圖1．2－3說明：今后在分解與本例近似的二次三項式時，能夠直接將圖1．2－1中的兩個x用1來表示（如圖1．2－2所示）．

2）由圖1．2－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．

（3）由圖1．2－4，得x2(ab)xyaby2＝(xay)(xby)

2．提取公因式法與分組分解法

例2分解因式：

（1）x393x23x；解：x393x23x=(x33x2)(3x9)=x2(x3)3(x3)=(x3)(x23)．3．關(guān)于x的二次三項式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．若關(guān)于x的方程ax2bxc0(a0)的兩個實數(shù)根是x1、x2，則二次三項式ax2bxc(a0)即可分解為a(xx1)(xx2).例3把以下關(guān)于x的二次多項式分解因式：

1）x22x1

解：令x22x1=0，則解得x112，x212，∴x22x1=x(12)x(12)=(x12)(x12)．練習(xí)1．選擇題：多項式2x2xy15y2的一個因式為（）（A）2x5y（B）x3y（C）x3y（D）x5y2．分解因式：（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3；（3）x2－2x－1；

3．分解因式：（1）a31；（2）4x413x29；（3）b2c22ab2ac2bc；文案大全適用文檔

4．在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（1）x25x3；（2）x222x3；（3）3x24xyy2；

2.1一元二次方程

根的鑒識式

一、看法：我們知道，關(guān)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法能夠?qū)⑵渥冃螢?/p>

b2b24ac(x2a)2＋4a2．①2－42－4一元二次方程axbx＋＝0（≠0）的根的情況能夠由b來判斷，我們把baccaac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的鑒識式，平常用符號“Δ”來表示．綜上所述，關(guān)于一元二次方程ax2＋＋＝0（≠0），有bxca（1）當(dāng)＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根x1，2＝bb24ac；x1＝x2＝－b2a（2）當(dāng)＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；2a

3）當(dāng)＜0時，方程沒有實數(shù)根．二、典型例題：

例1判斷以下關(guān)于x的方程的根的情況（此中a為常數(shù)），假如方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根．2－3＋3＝0；（2）2－2－（1）xxax－1＝0；（3）xax＋(a－1)＝0；x解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程沒有實數(shù)根．（2）該方程的根的鑒識式＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程必然有兩個不等的實數(shù)根x1aa24x2aa242，2．（3）因為該方程的根的鑒識式為＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，所以，x＝x＝1；①當(dāng)a＝2時，＝0，所以方程有兩個相等的實數(shù)根12②當(dāng)a≠2時，＞0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根x1＝1，x2＝a－1．說明：在第3小題中，方程的根的鑒識式的符號跟著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進行議論，這一方法叫做分類議論．分類議論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個特別重要的方法，在今后的解題中會常常地運用這一方法來解決問題．

根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）

一、看法：

1、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個實數(shù)根

x1bb24ac，x2bb24ac，則有2a2abb24acbb24ac2bbx1x22a2a2a；abb24acbb24acb2(b24ac)4accx1x22a2a4a24a2．a(chǎn)所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在以下關(guān)系：假如ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根分別是x1，x2，那么x1＋x2＝b，x1·x2＝c．這一關(guān)系也被稱為韋達定理．a(chǎn)a二、典型例題：例2已知方程5x2kx60的一個根是2，求它的另一個根及k的值．解析：因為已知了方程的一個根，能夠直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根．但因為我們學(xué)習(xí)了韋達定理，又能夠利用韋達定理來解題，即因為已知了方程的一個根及方程的二次項系數(shù)和常數(shù)項，于是能夠利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值．

解法一：∵2是方程的一個根，

5×22＋k×2－6＝0，

k＝－7．所以，方程就為52－7－6＝0，解得x1＝2，2＝－3．xxx53，k的值為－7．所以，方程的另一個根為－5解法二：設(shè)方程的另一個根為x1，則2x1＝－6，∴x1＝－3．55由（－3）＋2＝－k，得k＝－7．553，k的值為－7．所以，方程的另一個根為－5例3已知關(guān)于x22有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和的方程x＋2(m－2)x＋m＋4＝0比兩個根的積大21，求m的值．21獲得關(guān)于m的方程，解析：本題能夠利用韋達定理，由實數(shù)根的平方和比兩個根的積大從而解得m的值．但在解題中需要特別注意的是，因為所給的方程有兩個實數(shù)根，所以，其根的鑒識式應(yīng)大于零．2＝2＋4．解：設(shè)x1，2是方程的兩根，由韋達定理，得x1＋2＝－2(m－2)，1·222∵x1＋x2－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(2＋4)＝21，化簡，得2m－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．當(dāng)m＝－1時，方程為x2＋6x＋5＝0，＞0，滿足題意；文案大全適用文檔

當(dāng)m＝17時，方程為x2＋30x＋293＝0，＝302－4×1×293＜0，不合題意，舍去．綜上，m＝-1．

說明：（1）在本題的解題過程中，也能夠先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對應(yīng)的m的范圍，

此后再由“兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可．

（★）在今后的解題過程中，假如用由韋達定理解題時，還要考慮到根的鑒識式能否大于或大于等于零．因為，韋達定理建立的前提是一元二次方程有實數(shù)根．

例4已知兩個數(shù)的和為4，積為－12，求這兩個數(shù)．解法一：設(shè)這兩個數(shù)分別是x，y，

則x＋y＝4，①

xy＝－12．②

由①，得y＝4－x，

代入②，得x(4－x)＝－12，

即x2－4x－12＝0，

∴x1＝－2，x2＝6．

∴x12,或x26,y16,y22.所以，這兩個數(shù)是－2和6．x2－4x－12＝0的兩個根．解法二：由韋達定理可知，這兩個數(shù)是方程解這個方程，得x1＝－2，x2＝6．所以，這兩個數(shù)是－2和6．例5若x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根．（1）求|x1－x2|的值；33．（3）x1＋x2解：∵x和x分別是一元二次方程2x2531222（1）∵|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(5)24(3)＝25＋6＝49，∴|x1－x2|＝7．22442（3）x33)(x2x＋x2＋x)[(x＋x)2－3xx]21121122121212＝(－5)×[(－5)2－3×(3)]＝－215．2228例6若關(guān)于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，務(wù)實數(shù)a的取值范圍．解：設(shè)x，x是方程的兩根，則xx＝a－4＜0，①1212且＝(－1)2－4(a－4)＞0．②由①得a＜4，由②得＜17．a(chǎn)4∴a的取值范圍是a＜4．練習(xí)1．選擇題：（1）方程x223kx3k20的根的情況是（）

（A）有一個實數(shù)根（B）有兩個不相等的實數(shù)根（C）有兩個相等的實數(shù)根（D）沒有實數(shù)根（2）若關(guān)于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（）（A）m＜1（B）m＞－1（C）m＜1，且m≠0（D）m＞－1，且m≠04444（3）已知關(guān)于x的方程x2＋kx－2＝0的一個根是1，則它的另一個根是（）（A）－3（B）3（C）－2（D）2（4）以下四個說法：①方程x2＋2x－7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為－7；②方程x2－2x＋7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為7；③方程3x2－7＝0的兩根之和為0，兩根之積為7；x2＋2x＝0的兩根之和為－3④方程32，兩根之積為0．此中正確說法的個數(shù)是（）（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個（5）關(guān)于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一個根是0，則a的值是（）（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－1（6）若關(guān)于x的方程x2＋(k2－1)x＋k＋1＝0的兩實根互為相反數(shù)，則k的值為（）（A）1，或－1（B）1（C）－1（D）02．填空:2－3x－1＝0的兩根分別是1211．x1（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情況是x2．（3）以－3和1為根的一元二次方程是．（4）方程kx2＋4x－1＝0的兩根之和為－2，則k＝．（5）方程2x2－x－4＝0的兩根為α，β，則α2＋β2＝．（6）已知關(guān)于x的方程x2－ax－3a＝0的一個根是－2，則它的另一個根是．（7）若，是方程2＋2005x－1＝0的兩個實數(shù)根，則2＋2－的值等于．3．求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2－7x－1＝0各根的相反數(shù)．

4．已知方程x2－3x－1＝0的兩根為x1和x2，求(x1－3)(x2－3)的值．

2．2二次函數(shù)

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像和性質(zhì)

一、復(fù)習(xí)引申：

問題1函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在如何的關(guān)系？

文案大全1、二次函數(shù)y＝2(≠0)的圖象能夠由y＝x2的圖象各點的縱坐標(biāo)變?yōu)楸緛淼腶倍獲得．在二axa次函數(shù)y＝ax2(a≠0)中，二次項系數(shù)a決定了圖象的張口方向和在同一個坐標(biāo)系中的張口的大?。畣栴}2函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在如何的關(guān)系？2、二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的張口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，并且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”．由上邊的結(jié)論，我們能夠獲得研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：因為y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋bx)＋c＝a(x2＋bx＋b2)＋c－b2b2aa4a24aa(xb24ac，)4a2a所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象能夠看作是將函數(shù)y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移獲得的，于是，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)擁有以下性質(zhì)：3、（1）當(dāng)＞0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象張口向上；a極點坐標(biāo)為(b,4acb2)，對稱軸為直線x＝－b；2a4a2a當(dāng)x＜b時，y跟著x的增大而減??；當(dāng)x＞b時，y跟著x的增大而增大；2a2a當(dāng)x＝b時，函數(shù)取最小值y＝4acb2．2a4a（2）當(dāng)＜0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象張口向下；a極點坐標(biāo)為(b,4acb2)，對稱軸為直線x＝－b2a4a；bb2a當(dāng)x＜時，y跟著x的增大而增大；當(dāng)x＞時，y跟著x的增大而減??；2a2a當(dāng)x＝b時，函數(shù)取最大值y＝4acb2．2a4a

上述二次函數(shù)的性質(zhì)能夠分別經(jīng)過圖2．2－3和圖2．2－4直觀地表示出來．所以，在今后解決二次函數(shù)問題時，能夠借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形聯(lián)合的思想方法來解決問題．

y2yA(b,4acb)bx＝－2a4a2a

文案大全OxOxA(b4acb2b,)x＝－2a4a2a

適用文檔

二、典型例題：例1求二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋1圖象的張口方向、對稱軸、極點坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)x取何值時，y隨x的增大而增大（或減?。?？解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函數(shù)圖象的張口向下；對稱軸是直線x＝－1；A(－1,4)y極點坐標(biāo)為(－1，4)；當(dāng)x＝－1時，函數(shù)y取最大值y＝4；當(dāng)x＜－1時，y跟著x的增大而增大；當(dāng)x＞－1時，y跟著x的增大而減?。?/p>

說明：從這個例題能夠看出，依據(jù)配方后獲得的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，能夠直接選出要點點，減少了選點的盲目性，使畫D(0,1)圖更簡單、圖象更精確．

例2把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個單位，再COBx向左平移4個單位，獲得函數(shù)y＝x2的圖像，求b，c的值．解法一：y＝x2b2b2＋bx＋c＝(x+)c，把它的圖像向上平x＝－124圖2.2－5移2個單位，再向左平移4個單位，獲得y(xb4)2cb22的圖像，也就是函數(shù)y＝x2的圖像，24b40,2所以，解得b＝－8，c＝14．b2c20,4y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個單位，再向左平移解法二：把二次函數(shù)4個單位，獲得函數(shù)y＝x2的圖像，等價于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，獲得函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像．因為把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，獲得函數(shù)y＝(x－4)2＋2的圖像，即為y＝x2－8x＋14的圖像，∴函數(shù)y＝x2－8x＋14與函數(shù)y＝x2＋bx＋c表示同一個函數(shù)，∴b＝－8，c＝14．說明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來解決問題，所以，同學(xué)們要牢

固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律．

練習(xí)適用文檔

1．選擇題：

（1）以下函數(shù)圖象中，極點不在座標(biāo)軸上的是（）

（A）y＝2x2（B）y＝2x2－4x＋2

（C）y＝2x2－1（D）y＝2x2－4x

（2）函數(shù)y＝2(x－1)2＋2是將函數(shù)y＝2x2（）

A）向左平移1個單位、再向上平移2個單位獲得的

B）向右平移2個單位、再向上平移1個單位獲得的

C）向下平移2個單位、再向右平移1個單位獲得的

D）向上平移2個單位、再向右平移1個單位獲得的

2．填空題

（1）二次函數(shù)y＝2x2－mx＋n圖象的極點坐標(biāo)為(1，－2)，則m＝，n＝．

（2）已知二次函數(shù)y＝x2+(m－2)x－2m，當(dāng)m＝時，函數(shù)圖象的極點在y軸上；當(dāng)m

＝時，函數(shù)圖象的極點在x軸上；當(dāng)m＝時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點．

3．求以下拋物線的張口方向、對稱軸、極點坐標(biāo)、最大（?。┲导皔隨x的變化情況，并畫出

其圖象．

（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6x－x2．

與x軸的交點坐標(biāo)，于是能夠?qū)⒑瘮?shù)的表達式設(shè)成交點式．解法一：∵二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，張開，得y＝ax2＋2ax－3a，極點的縱坐標(biāo)為12a24a24a，4a1因為二次函數(shù)圖象的極點到x軸的距離2，∴|－4a|＝2，即a＝．2解法二：∵二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴對稱軸為直線x＝－1．又極點到x軸的距離為2，∴極點的縱坐標(biāo)為2，或－2．于是可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，因為函數(shù)圖象過點(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－1，或a＝1．22所以，所求的二次函數(shù)為y＝－1(x＋1)2＋2，或y＝1(x＋1)2－2．22例3已知二次函數(shù)的圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函數(shù)的表達式．解：設(shè)該二次函數(shù)為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．二次函數(shù)的三種表示方式

一、復(fù)習(xí)引申：經(jīng)過上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)能夠表示成以下兩種形式：

1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．極點式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，此中極點坐標(biāo)是(－h(huán)，k)．3．交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，此中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．

由函數(shù)圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得

解得a＝－2，b＝12，c＝－8．2所以，所求的二次函數(shù)為y＝－2＋12x－8．x練習(xí)

1．選擇題:

22abc,

8c,

84a2bc,

今后，在求二次函數(shù)的表達式時，我們能夠依據(jù)題目所供給的條件，采納一般式、極點式、

交點式這三種表達形式中的某一形式來解題．

二、典型例題：

例1已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的極點在直線y＝x＋1上，并且圖象經(jīng)過點（3，－1），求二次函數(shù)的解析式．

解析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件——最大值、極點地點，從而能夠?qū)?/p>

二次函數(shù)設(shè)成極點式，再由函數(shù)圖象過定點來求解出系數(shù)a．解：∵二次函數(shù)的最大值為2，而最大值必然是其極點的縱坐標(biāo)，∴極點的縱坐標(biāo)為2．又極點在直線y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴極點坐標(biāo)是（1，2）．設(shè)該二次函數(shù)的解析式為ya(x1)22(a0)，∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（3，－1），∴1a(31)22，解得a＝3．3(x1)23x23x54∴二次函數(shù)的解析式為y2，即y=4424例2已知二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，且極點到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達式．解析一：因為題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過的兩點實質(zhì)上就是二次函數(shù)的圖象

（1）函數(shù)y＝－x2＋x－1圖象與x軸的交點個數(shù)是（）

（A）0個（B）1個（C）2個（D）沒法確立

（2）函數(shù)y＝－12(x＋1)2＋2的極點坐標(biāo)是（）

（A）(1，2)（B）(1，－2)（C）(－1，2)（D）(－1，－2)

2．填空：已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與x軸交于點(－1，0)和(2，0)，則該二次函數(shù)的解析式可

設(shè)為y＝a(a≠0)．

二次函數(shù)的簡單應(yīng)用

一、函數(shù)圖象的平移變換與對稱變換

1．平移變換

在對二次函數(shù)的圖象進行平移時，擁有這樣的特色——只改變函數(shù)圖象的地點、不改變其形狀，所以，在研究二次函數(shù)的圖象平移問題時，只需利用二次函數(shù)圖象的極點式研究其極點的地點即可．

例1求把二次函數(shù)y＝x2－4x＋3的圖象經(jīng)過以下平移變換后獲得的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式：

（1）向右平移2個單位，向下平移1個單位；（2）向上平移3個單位，向左平移2個單位．

解：二次函數(shù)y＝2x2－4x－3的解析式可變?yōu)閥＝2(x－1)2－1，其極點坐標(biāo)為(1，－1)．

文案大全適用文檔

（1）把函數(shù)y＝2(x－1)2－1的圖象向右平移2個單位，向下平移1個單位后，其函數(shù)圖象的極點坐標(biāo)是(3，-2)，所以，平移后所獲得的函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式就為y＝2(x－3)2－2．（2）把函數(shù)y＝2(x－1)2－1的圖象向上平移3個單位，向左平移2個單位后，其函數(shù)圖象的極點坐標(biāo)是(－1，2)，所以，平移后所獲得的函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式就為y＝2(x＋1)2＋2．2．對稱變換在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行y的直線進行對稱變換時，擁有這樣的特色——x＝－1只改變函數(shù)圖象的地點或張口方向、不改變其形狀。所以，在研究二次函數(shù)圖象的對稱變換問題時，要點是要抓住二次函數(shù)的極點地點和張口方向來解決問題．例2求把二次函數(shù)y＝2x2－4x＋1的圖象關(guān)OxA1(－3,－1)A(1,－1)于以下直線對稱后所獲得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式：（1）直線x＝－1；（2）直線y＝1．圖2.2－7解：（1）如圖2．2－7，把二次函數(shù)yy＝2x2－4x＋1的圖象關(guān)于直線B(1，3)x＝－1作對稱變換后，只改變圖象的極點地點，不改變其形狀．y＝1因為y＝22－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函數(shù)y＝2x2－4x＋1圖象的頂點為A(1,－1)，所以，對稱后所獲得Ox圖象的極點為1(－3，-1)，所以，A(1,－1)A二次函數(shù)y＝2x2－4x＋1的圖象關(guān)

于圖2.2－8直線x＝－1對稱后所獲得圖象的函2

即y＝2x2＋12x＋17．

（2）如圖2．2－8，把二次函數(shù)y＝2x2－4x＋1的圖象關(guān)于直線y＝－1作對稱變換后，只改變圖象的極點地點和張口方向，不改變其形狀．因為y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函數(shù)y＝2x2－4x＋1圖象的極點為A(1,－1)，所以，對稱后所獲得圖象的極點為(1，3)，且張口向下，B所以，二次函數(shù)y＝2x2－4x＋1的圖象關(guān)于直線y＝1對稱后所獲得圖象的函數(shù)解析式為y＝－2(x－1)2＋3，即y＝－2x2＋4x＋1．三、配方法及其應(yīng)用1、在求二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象的極點坐標(biāo)或求最大（?。┲禃r需用到變形：yax2bxca(xb)24acb2，這類變形的過程就叫配方。2a4a

詳盡過程為yax2bxca(x2bx)ca[x2bx(b)2]cb2aa2a4aa(xb)24acb22a4a用配方來解決最大（?。┲档葐栴}的方法叫作配方法，這是高中數(shù)學(xué)最重要的方法之一例1、將以下二次函數(shù)式配方：

（1）yx22x3（2）2x25x1（3）y3x26x1解：（1）y(x22x1)2(x1)22（2）y2(x25x)12(x25x25)1252(x5)2172216848（3）y3(22)13(22x1)133(x1)22xxx例2、求以下二次函數(shù)的最大（或最?。┲担海?）y2x23x（2）y16xx2（3）y1x2x44解：（1）y2(x23x)2(x23x9)92(x3)292216848∴當(dāng)x3時y取最小值948（2）y(x26x)1(x26x9)19(x3)210∴當(dāng)x=3時，y取最大值10（3）y1(x24x)41(x24x4)141(x2)23444∴當(dāng)x=-2時，y取最大值-3練習(xí)將以下二次函數(shù)配方（1）yx