高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值的求解方法

....函數(shù)最值的解法及其在生活中的應(yīng)用（渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)11級(jí)2班）大綱：函數(shù)最值問(wèn)題是此刻高中數(shù)學(xué)課程中的重要構(gòu)成部分，也是高考觀察的重要內(nèi)容之一，在高考中據(jù)有比較重要的地位.但因?yàn)樽钪祮?wèn)題綜合性較強(qiáng).解法比較靈巧.所以對(duì)各方面知識(shí)及選擇何種解題方法方面都有較高的要求.本文主要對(duì)函數(shù)最值問(wèn)題進(jìn)行研究，探討各種不一樣的求解方法，論述函數(shù)最值問(wèn)題研究的重要性，獲取求解函數(shù)最值的幾種方法及求解時(shí)應(yīng)注意的一些問(wèn)題.要點(diǎn)詞:函數(shù);最值;解法緒論函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，貫穿于整個(gè)高中階段，而函數(shù)最值問(wèn)題是函數(shù)的重要內(nèi)容之一．解決函數(shù)最值問(wèn)題就是實(shí)現(xiàn)未知向已知、新問(wèn)題向舊問(wèn)題以及復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題的轉(zhuǎn)變的過(guò)程，固然解決問(wèn)題的詳盡方法不完整同樣，但就其思想模式來(lái)說(shuō)，一般是將待解決的問(wèn)題進(jìn)行一次次的轉(zhuǎn)變，直至劃為一類(lèi)很簡(jiǎn)單解決或已解決的問(wèn)題，從而獲取原問(wèn)題的解答．函數(shù)最值問(wèn)題是一類(lèi)特別的數(shù)學(xué)識(shí)題，它在生產(chǎn)、科學(xué)研究和平常生活中有著廣泛的應(yīng)用，并且在中學(xué)數(shù)學(xué)教課中也據(jù)有著比較重要的地點(diǎn)，是近幾年數(shù)學(xué)比賽中的常有題型也是歷年高考要點(diǎn)觀察的知識(shí)點(diǎn)之一．因?yàn)槠渚C合性強(qiáng)，解法靈巧，所以解決這種問(wèn)題，要掌握各數(shù)學(xué)分支知識(shí)，并能綜合運(yùn)用各種所學(xué)知識(shí)技巧，選擇適合的解題方法．1.1函數(shù)最值的定義：一般地，函數(shù)的最值分為最小值和最大值:設(shè)函數(shù)yfx的定義域?yàn)門(mén)，x0T，且在x0處的函數(shù)值是fx0假如關(guān)于定義域T內(nèi)任意x，不等式fxfx0都成立，那么fx0叫做函數(shù)yfx的最小值，記作yminfx0；假如關(guān)于定義域T內(nèi)任意x，不等式fxfx0都成立，那么fx0叫做函數(shù)yfx的最大值，記作ymaxfx0.z.......函數(shù)的最值一般有兩種特別狀況：（1）假如函數(shù)f(x0)在[a,b]上單調(diào)增添(減少)，則f(a)是f(x)在[a,b]上的最小值(最大值)，f(b)是f(x)在[a,b]上的最大值(最小值).（2）假如連續(xù)函數(shù)f(x0)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)極大(小)值，而沒(méi)有極小(大)值，則此極大(小)值就是函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的最大(小)值.函數(shù)最值的求解方法研究中學(xué)數(shù)學(xué)的最值知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中最值問(wèn)題的基礎(chǔ)，所以最值問(wèn)題向來(lái)是各種考試的熱門(mén)。利用中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決最值問(wèn)題方法很多，如定義法、導(dǎo)數(shù)法、配方法、消元法、數(shù)形聯(lián)合法、以及不等式的證明等等，選擇適合的方法才能讓問(wèn)題水到渠成.2.1定義法利用定義解決函數(shù)最值的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，其重要的一點(diǎn)就是要掌握定義的內(nèi)涵，準(zhǔn)確地加以應(yīng)用!需要注意的是:函數(shù)必定有值域，但不必定有最值.例1設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，以下命題中正確的選項(xiàng)是:（1）若存在常數(shù)P，使得對(duì)任意xR，有fxP，則P是函數(shù)fx的最小值;（2）若存在x0R，使得對(duì)任意的xR，有fxfx0，則fx0是函數(shù)fx的最小值;（3）若存在x0R，使得對(duì)任意的xR，且xx0有fxfx0，則fx0是函數(shù)fx的最小值;分析依據(jù)函數(shù)最小值的定義知，（1）是假命題:固然滿足最小值定義中的任意性，但不滿足存在性，故錯(cuò)誤（2）（3）正確:實(shí)質(zhì)上，它們是等價(jià)命題，都滿z.......足最值定義中的兩個(gè)條件2.2導(dǎo)數(shù)法例2求函數(shù)f(x)x36x215x5在6,3的最值.解∵f(x)x36x215x5,∴f'()3x212x15x令f'(x)3x212x15=3(x1)(x5)=0解得x11,x25f685，f5105，f13，f341可知f極大值-5105，f極小值1-3比較得fmaxx105,fminx3故函數(shù)f(x)x36x215x5在閉區(qū)間6,3上的最大值是105,最小值是-3.2.3單調(diào)性法閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值本源于區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值和函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的極值,而極值又本源于f'(x)0的根處的函數(shù)值.所以建議求可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的最值可分以下兩步步驟進(jìn)行:求函數(shù)的導(dǎo)數(shù);求函數(shù)在[a,b]內(nèi)令f'(x)0的x的值（稱(chēng)之為”駐點(diǎn)”);3.判斷駐點(diǎn)左右雙側(cè)f'(x)的正負(fù),以此判斷函數(shù)曲線的走向（f'(x)0為上升,f'(x)0為降落）,左側(cè)上漲、右側(cè)降落的駐點(diǎn)處的函數(shù)值為極大值,反之為z.......極小值;假如函數(shù)駐點(diǎn)許多,分段談?wù)?并可以列表、畫(huà)圖表達(dá);求最大值,將全部極大值和函數(shù)定義域區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值一起比較,取最大的,則為最大值.最小值亦然。2.4鑒識(shí)式法關(guān)于某些特別形式的函數(shù)的最值問(wèn)題，經(jīng)過(guò)適合變形后，使函數(shù)f(x)出現(xiàn)在一個(gè)有實(shí)根的一元二次方程的系數(shù)中，而后利用一元二次方程有實(shí)根的充要條件0來(lái)求出f(x)的最值.例32.5配方法假如給定函數(shù)是二次函數(shù)或變形后可轉(zhuǎn)變成二次函數(shù)的問(wèn)題，一般可用此法求解.例3求f(x)2x234x在區(qū)間[1,0]內(nèi)的最值.解：配方得f(x)2x234x3(2x2)24,33因?yàn)閤[1,0],所以12x1，從而當(dāng)2x22，f(x)獲得最大值423即xlog23；當(dāng)2x1即x0時(shí)f(x)獲得最小值1.32.5消元法在求多元函數(shù)最值的條件中#若能由條件中的多元關(guān)系解出某些變量，則可考慮經(jīng)過(guò)代入消元法#把多元函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)變成一元函數(shù)來(lái)解決，以達(dá)到簡(jiǎn)化的目的!例4已知x22y23x，求u2x2y2x的最大值解：由已知得y21x23x①2z.......x23x0,0x3將①代入u2x2y2x化為一元函數(shù)，再用配方法即可求得。2.6數(shù)形聯(lián)合求最值數(shù)形聯(lián)合法是一種重要的解題方法#其核心就是利用函數(shù)的幾何意義把函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)變成幾何問(wèn)題來(lái)解決!此法直觀性較強(qiáng)#易于理解#有必定的靈巧性且常有化難為易的奇異成效。例5已知直線xy30,求函數(shù)S(x1)2y2+(x1)2y2的最值.解此題的幾何意義是在直線xy30上求一點(diǎn)M,使得M到點(diǎn)(1,0),(1,0)的距離之和最小.(以以下圖3—1）設(shè):點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,0),(1,0),直線l的方程為xy30.由幾何光學(xué)原理知當(dāng)點(diǎn)光源從A射出后,經(jīng)鏡面l反射到點(diǎn)B,這時(shí)AMBMNB就是所求的最小值.設(shè)點(diǎn)B關(guān)于光輝l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N(x1,y1),于是Smin=AMBMNB,由y1011x11x11y13022化簡(jiǎn)得x1y110x1y150解得x13,y12所以SminAMBMNB=(31)2(20)2=25圖3—1z.......2.7換元法求最值換元變換是一種重要的數(shù)學(xué)變換#在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用!正確而靈巧地運(yùn)用換元法可使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易。例6設(shè)x2xyy212,求x2y2的最值.解xrcos,yrsin(為參數(shù)),則x2xyy2r2(cos2cossinsin2)=r2(11sin2)12.2從而x2y2r2(cos2sin2)=r212.11sin22因-1sin21,當(dāng)sin21(即xy2)時(shí),故(x2y2)min8;當(dāng)sin21(即xy23)時(shí),故(x2y2)max24.2.8最值不等式的證明定理設(shè)f(x)mxmax2bxc(a0,m1,mN)若非負(fù)整數(shù)k滿足:(1)ak2bkclogm[(2akb)]k0,(2)ak2bkcZ,那么有滿足條件(1)的k值是獨(dú)一的;(II)當(dāng)xk時(shí),的最小值為f(x)minf(k)mkmak2bkc.例7證明2x32x26,(xR).證令x3x,那么2x32x22x2x26x9f(x),z.......這里m2,a1,b6,c9.由條件(1)可得k26k9log2(62k)k0∵kZ,若方程k26k9log2(62k)k0有解,一定滿足62k2p(pZ),由此可知k的取值只好是1,2.經(jīng)過(guò)考據(jù)只有k2是方程k26k9log2(62k)k0的解,且ak26kc226291Z,滿足條件(2),故由結(jié)論(II),可得f(x)minf(2)222226296,即2x32x26,成立.注文中定理利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)可推行為:定理設(shè)f(x)mxmax2bxc(m1,a0),若存在常數(shù)k滿足ak2bkclogm[(2akb)]k0那么f(x)minf(k)mkmak2bkc.求解函數(shù)最值時(shí)應(yīng)注意的一些問(wèn)題3.1注意定義域求最值問(wèn)題的時(shí)候，在求解的過(guò)程中間，要注意觀察定義域的變化狀況，第一看到題目的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)先把確立函數(shù)的定義域；在解題過(guò)程中，當(dāng)函數(shù)變形時(shí)應(yīng)注意定義域能否發(fā)生改變，假如引入新變量也應(yīng)當(dāng)確立新變量的取值范圍，省得在后邊的求解過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤；在解題結(jié)束時(shí)，一定檢驗(yàn)所求得的使函數(shù)獲得最值的自變量能否包括在定義域的范圍內(nèi)例求函數(shù)y1x的最值.x2z.......錯(cuò)解：將y1x兩邊同時(shí)平方并去分母得y2x2(4y21)x4y210.x2因?yàn)閤R，所以(4y21)24y2(4y21)0，化簡(jiǎn)得4y21.所以1y1，故ymin1，ymax1.2222分析：這個(gè)答案致錯(cuò)原由是兩邊平方及去分母，使函數(shù)的定義域擴(kuò)大了.正解：將y1x兩邊平方并去分母，得y2x2(4y21)x4y210.x2因?yàn)閤R，所以(4y21)24y2(4y21)0，化簡(jiǎn)得4y21.所以1y1，注意到原函數(shù)的定義域是x1，則有1x0，x20，于22是必有y0.所以1y0，故ymin1，ymax0.223.2注意值域求函數(shù)的最值，不僅對(duì)幾種基本初等函數(shù)的值域要特別熟習(xí)，并且在解題過(guò)程中還要注意函數(shù)取值范圍的變化.參照文件[1[1]方曉華，吳鳳香，黃寶存.函數(shù)最問(wèn)題的解法商討.金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2002,2(2).潘玉曉.關(guān)于函數(shù)最值問(wèn)題的商討[J].南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005(9).戴寶爾，李杏蓮.初等方法求解函數(shù)最值問(wèn)題[J].科技資訊，2008(20).戚雪敏.淺談求函數(shù)最值問(wèn)題的方法[J].2011(11)][5]人民教育第一版社中學(xué)教課室.數(shù)學(xué)第三冊(cè)必修I[M].:人民教育第一版社,2006:50-51.[6]袁亞湘,孫文瑜.最優(yōu)化理論與方案第5次[M].:科學(xué)第一版社,2005:45-47.陳傳理,張同君.數(shù)學(xué)建模教程第二版[M].:高等教育第一版社,2005:149.周漢良.數(shù)學(xué)規(guī)劃及其適用[M]．超星數(shù)字圖書(shū)室,1995:56-60.[9]人民教育第一版社中學(xué)教課室.數(shù)學(xué)第三冊(cè)必修I[M].:人民教育第一版社,2006:50.z.......董國(guó)陽(yáng).關(guān)于求函數(shù)最值問(wèn)題的商討[J].2011(11).[13]張維進(jìn).一類(lèi)指數(shù)函數(shù)最小值的初等求法[J].電子學(xué)報(bào),1999,(2).DiscussiononthefunctionmostvalueintheapplicationoflifeYangJing(WeinanTeachersUniversity,ShanxiWeinan)Abstract:Applicationofmathematicsisanimportanttaskintheteachingofmathematics.Thispaperwillthroughthedefinitionofthevaluefunctionandthemethodofsolvingthemostvalue,thevalueofthefunctionandsystem,whichisanimportantandbasicpropertiesandfunctions,whichmadepeoplerealizethefunctionmostvaluequestionhasacloserelationshipwiththeactualtheproblem.Finally,thevaluefunctioncanusetheknowledge,tosolvetheproblemsinreallife.Firstly,thevaluefunctionandthevaluefunctionofthedefinitionofrelatedtheory.Andgiventhevaluefunctionandtherelationshipbetweenthe(lower)bound;secondly,givessomemethodstosolvethevaluefunction(suchasthevalueofthederivativeofgeneralmethod,eliminationmethod,combinationmethod,substitutionmethod,andtoproveinequalityetc.);andthenusethesesomeoftheproblemsinreallife(forexample,tosolvez.......theminimumcostmaximumprofit,thefastestspeed,etc.)andthelifeofsomeofthemostvalueofsomephenomenon;thelastisasummaryofthevaluefunctionoftheactuallifepla