第九章排列組合與概率

知識

A＝易錯

基本事件的總 [試一試從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任選兩臺，其中兩種品牌的彩電齊全的概率是 從1,2,3,4,5,6六個數(shù)中任取3個數(shù)，則取出的3個數(shù)是連續(xù)自然數(shù)的概率是 方法總[練一練則直線y＝kx＋b不經過第二象限的概率為( 1 若有2位老師，2位學生站成一排合影，則每位老師都不站在兩端的概率是 如圖，三行三列的方陣中有9個數(shù)aij(i＝1,2,3；j＝1，2,3)，從 中任取3個數(shù)，則至少有2個數(shù)位于或同列的概率是( 4 4121個，現(xiàn)從袋中有放回地取球，2104分[類題通法

P.古典概型在 常與平面向量、集合、函數(shù)、解析幾何、統(tǒng)計等知識交匯命題，命題的角度新穎角度一角度 古典概型與直線、圓相結2．連擲兩次得到的點數(shù)分別記為a和b，則使直線3x－4y＝0與圓(x－a)2－(y－b)2＝4相切的概率 66 角度三

從[類題通法幾何概知識 易錯[試一試在長為6m的木棒AB上任取一點P，使點P到木棒兩端點的距離都大于2m的概率是 四邊形ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方形ABCD內隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為( 4π4π

方法總與長度有關的幾何概型，其基本事件只與續(xù)的變量有關[練一練 方形中隨機撒3粒豆子，它落在陰影區(qū)域內的概率為，則陰影區(qū)域的面積 3

(x－4)2＋y2≤1表示的平面區(qū)域為N，現(xiàn)隨機向區(qū)域內拋一粒豆子，則該豆子落在平面區(qū)域N內的概率 3 D. 利用計算機產生0～1之間的均勻隨機數(shù)a，則事件“3a－1>0”發(fā)生的概率 [類題通法 蜂在一個棱長為4的正方體內自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為( 88 [類題通法[針對訓練在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為( B．1－ 與面積有關的幾何概型是近幾年高考的熱點之一.歸納起來常見題角度角度一如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點處各有一個通信， 假設其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內無其他信號 來源，工作 () 4 4角度二的4秒內任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮．那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次2秒的概率是() 角度三已知Ω＝{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}，A是曲線y＝x2與y＝1圍成的區(qū) 域Ω上隨機投一點P，則點P落入?yún)^(qū)域A的概率為 [類題通法離散型隨量及其分布知識n)P(X＝xi)＝pi，則表X……P……i＝1,2，…，nX的分布列．離散型隨量的分布列的性1n2若隨量X服從兩點分布，即其分布列X01PpMNnX件次品，則事件{X＝k}P(X＝k)CkCn－k＝M C CN布列

X01…mPC0MNC1MN…CmMN易錯[試一試已知離散型隨量ξ的分布列ξ123…nP…2則k的值為( 2

已知 量X的分布列為P(X＝i)＝i(i＝1,2,3)，則 方法總由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到離散型隨量的分布列由古典概型求出離散型隨量的分布列[練一練從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有X個紅球，則隨量X的概率分為X012P它的顏色，寫出這兩次取出白球數(shù)X的分布列為 離散型 量X的概率分布規(guī)律為 (n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則 ＝的值為 ＝

3

隨量X的分布列如下X01Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則 [類題通法1A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如圖)8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X.X＝0就參加學校合唱團，否則就參加學校排球隊．X[類題通法

求離散型隨量分布列的步找出隨量X的所有可能取值[針對訓練XX[典例]從某小組的5名和4名男生中任選3人去參加一項公益活動33ξ在本例條件下，求所選3人中人數(shù)X的分布列[類題通法[針對訓練75微克/立方米之間空氣質量為二級；在75微克/立方米以上空氣質量為．從某自然保護區(qū)2012年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如PM2.531111310PM2.53從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)的天數(shù)，求ξ的分布列n次獨立重復試驗與二項知識A、BP(A)>0 A＝PA(2)BCBA，BP(AB)＝P(A)P(B)ABABABABABABn次nnXAApXX～B(n，p)p為成功式Ai(i＝1,2，…，n)i次nAk次的概率P(X＝k)＝Ckpk(1－p)n－k(k＝0，1,2，…，n)n易錯ABBAn＝1[試一試

3粒這樣的恰有2粒發(fā)芽的概率是 從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝( 方法總A，BA，BA，B都不發(fā)生的事件為 BA，BABAA，B至多一個發(fā)生的事件為AB∪AB∪ B[練一練為事件B，則事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率是( A. 44某光電公司生產的節(jié)能燈使用超過30000小時的為一級品現(xiàn)已知某批產品中的一級品率為從中任意抽出5件，則5件中恰有2件為一級品的概率為 A．0.102 B．0.204C．0.208 D．0.30737要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次 A. 5112個玻璃球，34個玻璃球，7個為() 在100件產品中有95件合格品，5件不合格品．現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一 [類題通法

＝PAAn(A)AB

＝nA[典例 甲、乙、丙3位大學生同時應聘某個用人單位的職位

331在本例條件下求三人均未被選中的概率

[類題通法

[針對訓練高一新生軍訓時經過兩天的打靶訓練甲每射擊10次可以9次乙每射擊9次可以8次甲、 [典例 24名考生選做每一道題的概率均為2422ξξ[類題通法隨量是這n次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數(shù)[針對訓練AA至少發(fā)生一次的概率為則事件A恰好發(fā)生一次的概率為 離散型隨量的均值與方差、正態(tài)分知識1．(1)一般地，若離散型隨量X的分布列為X……P……則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨量X的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨量(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(3)(1)XE(X)＝p；設離散型隨量X的分布列X……P……n程度的平均，刻畫了隨量X與其均值E(X)的平均偏離程度．稱D(X)為隨量X的方差，其算術平方根DX為隨量X的標準差．Xxxx＝μσ③曲線在 1σxσμxμσ確定．σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲易錯理解均值E(X)易，均值E(X)是一個實數(shù)，由x的分布列唯一確定，即X作為隨量是可變的E(X)X值的取值平均狀態(tài)．[試一試設X～B(n，p)，若D(X)＝4，E(X)＝12，則n和p分別為

XX01P121316則在下列式子中

＝3 方法總求離散型隨量均值、方差的基本方[練一練2面試相互獨立，則面試結束后通過人數(shù)ξ的數(shù)學期望E(ξ)的值為 B.9 9籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知中的概率為0.8，則罰球一次得分ξ的數(shù)學期望是( XXX123P35312則X的數(shù)學期望E(X)＝( 25

如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的 過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值 741,2,3,432,3,4.4張卡片(假設取到任何一張卡片的可能性相同43在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設為X,求隨量X的分布列和數(shù)學期望[類題通法

求離散型隨量均值的步理解隨量X的意義，寫出X可能取得的全部值XX[典例]a個紅球，b個黃球，c13當a＝3，b＝2，c＝1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨量ξ為2ξ的分布列；從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨量η為取出此球所得分數(shù)．若

5

[類題通法1．D(X)表示隨量X對E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散；反之，D(X)越小，XE(X)附近，統(tǒng)計中常用DXX的分散程度．2．隨量的均值反映了隨量取值的平均水平，方差反映了隨量穩(wěn)定于均值的程度，它們[針對訓練X89PY89P[典例]設隨量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，若P(ξ＜2)＝0.8，則P(0＜ξ＜1)的值為 (2)已知隨量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，則 [類題通法

熟記(2)xx＝μx＝μ[針對訓練某班有50名學生，一次考試后數(shù)學成績X(X∈N)服從正態(tài)分布N(100,102)，已知P(90≤X≤100)＝0.3，估計該班學生數(shù)學成績在110分以上的人數(shù)為 課后作用一平面截一半徑為5的球得到一個圓面，則此圓面積小于9π的概率是

5 5如圖，M是半徑為R的圓周上一個定點，在圓周上等可能的任取一點 MN的長度超過2R的概率是( 線y＝x經過點小軍同學在學做電子線路板時有一電子元件隨機落入長方形OABC A. 3的橢圓的概率為

如圖所示，圖2中實線圍成的部分是長方體( 的矩形內任意拋1擲一質點，它落在長方體的平面展開圖內的概率是積

則此長方體的體011122n12的小球的概率是2n2ab.(ⅰ)記“a＋b＝2AA的概率；是“友好函數(shù)”，設 大于2的概率是

B. D.VS-ABCABP，則三棱錐S-

X012PX012PX012PX012P

的體積大于3X01X012P172737X1234P0袋中有大小相同的5個球，分別標有1,2,3,4,5五個號碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設兩個球號碼之和為隨量X，則X所有可能取值的個數(shù)是( 一盒中有12個乒乓球，其中9個新的，3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨量，則P(X＝4)的值為( C. 2 2 0.4,0.50.YY的分布列．2設A，B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗．每個試驗組由4只小白鼠組成，2A2BAB2

B有效的概率為XX3概率為3XX

四項考試不合格的概率均為2n位校友登記制作了一份校友，現(xiàn)隨機從中選出2位校友代表，若選出的2位校友是一男一女，則稱為

nn＝122ξξ為適應2012年3月23日交通管理局的《加強機動車駕駛人管理指導意見》，某駕校1044100.8822ξξ 若ξ～B(n，p)且E(ξ)＝6，D(ξ)＝3，則P(ξ＝1)的值為( 已知他投籃一次得分的數(shù)學期望為2(不計其他得分情況)，則ab的最大值為( 66設隨量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，則

3 3隨量ξ的分布列如下ξ123Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列．若 ＝3設整數(shù)m是從不等式x2－2x－8≤0的整數(shù)解的集合S中隨機抽取的一個元素，記隨量ξ＝m2，則ξ的數(shù)學期望E(ξ)＝ 1,2,3，…，99331ξ3個數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)(1,2,31,22,3的值是2)．求隨量ξ的分布列及其數(shù)學期望乙、丙約定兩人面試都合格就一同簽約，否則兩個人都不簽約．設甲面試合格的概率為23為迎接6月6日的“愛眼日”，某高中學校學生會隨機抽取16名學生，經校醫(yī)用對數(shù)視力表檢43 6677789950 21632以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學校的總體數(shù)據(jù)，若從該校(人數(shù)很多)任選3X表示抽到“好X的分布列及數(shù)學期望．44件產品中優(yōu)質品的件數(shù)記為n.如果n＝3，再從這批產品中任取4件作檢驗，若都為優(yōu)質品，則這批產品通過檢驗；如果n＝41件作檢驗，若為優(yōu)質品，則這批產品通過檢驗；其他情況下，這批產品都不能通假設這批產品的優(yōu)質品率為

，即取出的每件產品是優(yōu)質品的概率都為2X(單位：元)XN(168,16)50160cm184cm50172cm以上(172cm)在這50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人中任意抽取2人，將該2人中身高(從高到低130ξξ的數(shù)學期望．ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝