高中數(shù)學(xué)同步講義分冊-選修4-1第一

—[學(xué)習(xí)目標理解平行線等分線段定理的證明過程及性質(zhì)1提示(1)三角形中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.如圖，已知AD∥EF∥BC，E是AB的中點，則DG＝ H是 的中點，F(xiàn)是 提示 [預(yù)習(xí)導(dǎo)引a∥b∥cm，na，b，cA，B，CCAB＝BC在△ABCDABDDE∥BCACEEFF要點一1ADAB∥CDAB＝CD，A1，A2AB的兩個三等分點，C1，C2CD的兩個三等分點A1C，A2C1，BC2，求證把AD分成四條證明如圖②AAMA1CDCAMMDDNBC2ABDNNAB∥CD，A1，A2AB的兩個三等分點，點C1，C2為CD的兩個三等分點，可得四邊形A1CC1A2，四邊形A2C1C2BA1C∥A2C1∥C2BAM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN，因為AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D，由平行線等分線段定理可知，A1C，A2C1，BC2把AD分成的四條線段的長度相等.規(guī)律方法解決此題的關(guān)鍵是找出平行線等分線段定理的基本條件，找準被一組演練 如圖①，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，則 解析如圖②OAB，CD，EFAO＝OD＝DF，由平行線等分線段定理知，BO＝OC＝CE，又OE＝6，所以BC＝6.答案要點二例2 如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E，F(xiàn)分別在AC，BC上，且CE＝CF，EM⊥AF交AB于M，CN⊥AF交AB于N.解MEBCP，由題意可得Rt△EPC≌Rt△FAC，又∵CBPNMB的中點規(guī)律方法演練 AD∥BC∠ABC＝90°，MCD的中點.證明MME∥BCAB∴∠AEM＝90ABCD中，MCD∴MEAB的垂直平分線要點三例 已知平面α，β，γ，α∥β∥γ，直線l1分別交α，β，γ于l2α，β，γD，E，F(xiàn)證明(1)l1l2(2)l1l2l2GGl3∥l1l3l1l3確定一個平面π1，l3l2確定一個平面在平面π1AP，BQ，CRAP∥BQ∥CR.＝BC同理在平面π2規(guī)律方法這是平行線等分線段定理在空間的推廣，即：如果一組平行平面在一3ABCD中，AB＝CD，E，F(xiàn)分BC，AD的中點，BA，CDEF的延長線M，N.證明BDFFG∥ABBDG在△ABD中，∵FG∥ABFAD∴FG是△ABD

3.如圖所示，l1∥l2∥l3，直線AB與l1，l2，l3相交于A，E，B，直線CD與l1，l2，l3相交于C，E，D，AE＝EB，則有( 解析答案如圖D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點，則與△DEF全等的 A.1 B.2C.3 D.4解析∵DF是△ABC DF∥BC，則EF∥AB可得∴△ADF≌△FEC.同理可得DE＝CF，DF＝CE，EF＝EF，可得答案下列結(jié)論正確的 (1)如圖(1)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，則A2B2＝B2C2.(2)如圖(2)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，則A2B2＝B2C2.(3)如圖(3)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，則A2B2＝B2C2.解析由平行線等分線段定理知：(1)(2)(3)都正確.答案如圖所示，ADBC邊上的中線，EAD的中點，BE的延長ACF.求證 證明DDG∥BFAC在△BCF中，DBC的中點，DG∥BF，∴GCF在△ADG中，EAD的中點，EF∥DG，∴FAG如圖所示，已知BC＝acm，且AD∥EF∥BC，AE＝EO＝OC，則AD等于( A.a B.2a2C.3a D.3a2解析∵EF∥AD，AE＝EO，∴FOD∴EF是△OAD又答案如圖所示，在△ABC中，BDAC邊上的中線，DE∥ABBC于E，則陰影部分面積為△ABC面積的 4455解析∵DE∥AB，DAC∴EBC

3636∴S△BDE＝1

答案 AB＝BCAB＝BCCE＝2CD由 可得解析∵OB，OG不是一條直線被一組平行線截得的線段，故不正確答案如圖所示，在△ABC中，EAB的中點，AH⊥BC⊥BC于F，若 ，則 解析∴EF∥AH，又 答案2

如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BCD，MAD的則 ；若PM＝1cm，則 解析AD⊥BC，AB＝ACBD＝CDDN∥CP，∴BN＝NP.

答案2 4AB證明AEBC∵CD是∠ACB的角平分線，AE⊥CD，又在△ABMFAB如圖，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，點E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點且AC⊥BC，若AD＝5，EF＝6，則CF的長為( 解析BDE，F(xiàn)AD，AB的中點∴EF綊 ，又又 ∵F是AB的中點 答案

10cm3cm該梯形中的較大的底邊等 2解析BD2∵EF∥BCG中 BC答案如圖所示，AD∥EG∥FH∥BC，E，F(xiàn)三等分AB，G，H在DC上，AD＝4，BC＝13，則EG＝ 解析由梯形中位線定理知：AD＝4，BC＝13答案 ABCDAB＝BC，EAB的中點.求證：△ECD為等邊三角形.證明ACEEFADDC∵AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.又∵EAB∴F是DC的中點(經(jīng)過梯形一腰的中點與底邊平行的直線平分另一∴△ABC是等邊三角形.∴∠ACB＝60°.又∵EAB邊的中點，∴CEECD為等邊三角形如圖所示 DH＝16，AHBFMBMCG的長解BCPPQ∥DHEHQPQ的中位線 1，BM＝AB，∴BM＝1，∴BM＝4.PQADHE

ABCD按如圖(1)MN.如圖(2)AEBMN上，AEMNP，Rt△ABEEBADF，得到△AEF，他認為△AEF是一個等邊三角解他的觀點是正確的.NADCECD的中點，NP∥AD，∴PEA的中點.又∵△ABE二平行線分線比例定[學(xué)習(xí)目標理解平行線分線比例定理理解平行線分線比例定理的推論

如果b＝d，那么b a 提示

提示DE＝2x，EF＝3x平行線分線比例定三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線比cD，E，F(xiàn)，則 證明分別在兩條直線上的線比 則證明三角形中的線比要點一平行線分線比例定理的理例 如圖已知線段 段AB上找一點使解作法：(1)AAKB1，B2，B3B1B1C∥BB3ABCC即為所求.∵B1C∥BB3，∴AB1 又∵AB3＝3AB1AB1

規(guī)律方法可應(yīng)用平行線分 比例定理來作圖由于

CABAKAKAB1＝B1B2＝B2B3，連接B3B.過B1作B1C∥B3B，即得到點C.演練1

解析∵DE∥BC，∴AD＝AE，∴BD＝EC 又 由①②知EC＝BF，

答案要點二平行線分線比例定理及推論的簡單應(yīng)例 EBAF證明法一如圖①AAG∥BCDF∵AG∥BC，∴FA＝AG

AG∥BC，得 法二如圖②BBM∥ACFD∴FA＝AE BM∥EC，知又∠1＝∠2 規(guī)律方法在利用平行線分線比例定理及推論解決問題時，常常在復(fù)雜的圖形中找出基本圖形(有時需添加輔助線，構(gòu)成基本圖形)，借圖解題. 比例定理及其推論進行證明演練 如圖所示

證明 要點三平行線分線比例定理及推論的綜合應(yīng)例3 如圖所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，E為BC邊中點，延長AC，DE相交于點F.求證 證明EH∥ABAC ∵△BDCEBC 規(guī)律方法通過添加輔助線，構(gòu)造基本圖形，借圖尋找合適的等量關(guān)系，再結(jié)合演練3 如圖所示，四邊形ABCD為平行四邊形，過B的直線分別交AC，AD，CD的延長線于O，F(xiàn)，E.證明 又 由③ 即 由②④得 又由①得 這是學(xué)好本節(jié)的前提

合比性質(zhì)：如果b＝d，那么b＝d

等比性質(zhì)：如果b＝d＝…＝n(b＋d＋…＋n≠0)，那么推論的圖形變化如圖所示如圖所示，AB∥CD，AC，BD25，則AO的長為 解析 ＝7＝7.∴AO＝7，即AO＝7

答案 A.6 B.4 C.3 D.2解析∴B

11＝6答案如圖，E是?ABCD的邊AB延長線上的一點，且

解析

BE＝2，則

又 答案2證明在△ABC∴AD＝AE.在△ADC ∴AF＝AE，∴AD＝AF，即

解析由平行線等分線段定理的推論，易知A，B，C都正確，D錯答案如圖所示，AD是△ABC的中線，點E是CA邊的三等分點，BE交AD于點F，則AF∶FD為( 解析DDG∥ACBE則 ，又

答案

ABCD中，BC∥AD，EDC點，AE交BD于點G，交BC于點F，下列結(jié)論

A.1 B.2 C.3 D.4解析∵BC∥AD，∴①EC＝EF②FG＝BG

故④也對.③錯答案2，DF＝1，則AB的長 解析 2DF＝1AF＝2，∴AD＝3，又3答案2

DE∥BCDFACAE＝EC＝1BC＝4 解析 × 1＝4×答案3

如圖所示，在?ABCD中，H，EAD，AB延長線上一點，HEDCKACGBCF.證明GH·GK＝GE·GF，即證AD∥BC得

AB∥CD得 ∴GH＝GE －AB為 22

23解析CD∥BN得CM＝CDABCD23

答案

如圖所示，AB∥GH∥CD，AB＝2，CD＝3，則GH的長 解析

答案5如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點，且EF＝3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為 解析∵EF∥AB

∴EFABFE∴S

，S梯形 ＋3)h＝5

∴SABFE∶SEFCD＝7h∶5 答案5BC＝15cmEF的長解BDEF ∵BC＝15cm，∴GF＝6EG＝6cm.∴EF＝EG＋GF＝12如圖所示，BD∶DC＝5∶3，EADBE∶EF的值解DDG∥CABFG，則∵EAD

∴BG＝BG

3 故 ＝EF＋1＝3＋1＝3在△ABCDBCCABAD

如圖

如圖

若存在，請寫出它們之間的關(guān)系式，并給出證明過程；若不存在，請說明理由證 ∴AE＝AF

BF證 過點D作DG∥CF交AB于點G，如題圖(2)所示∴AE＝AF.又

∴AE＝AF3BF.

m＋n

證明如下：如題圖(3)DDG∥CFAB∴AE＝AF.又

∴FG＝

m＋n

n

三[學(xué)習(xí)目標理解相似三角形的定義理解預(yù)備定理的本質(zhì)提示兩個直角三角形相似兩個等腰直角三角形相似50°的兩個等腰三角形相似記法：兩個三角形相似，用符號“∽”表示，例如△ABC與△A′B′C′相似，記理似判1三角形的兩個角與另一個三角個三角形相似理三角形的兩邊和另一個三角形2判3三角形的三條邊和另一個三角兩個三角形相似(3)相似三角形面積的比等于相似比的平方外接(內(nèi)切)外接(內(nèi)切)外接(內(nèi)切)外接(內(nèi)切)外接(內(nèi)切)外接(內(nèi)切)要點一例 如圖所示，∠ABC＝∠D＝90°，AC＝a，BC＝b，當(dāng)a，b之間滿足怎樣的關(guān)系時，△ABC與△CDB解∴當(dāng)AC＝BC 即a＝b BD＝a∴當(dāng)AC＝AB 即

BD＝a

時，△ABC與△CDB相似規(guī)律方法解決此類問題，重點應(yīng)放在“對應(yīng)關(guān)系”上，根據(jù)“對應(yīng)關(guān)系”進行演練 如圖所示，等腰三角形ABC中，AB＝AC，DCB延長線上一點，EBC(1)(2)若∠BAC＝40°，求∠DAE的度數(shù)(1)證 又 (2) 又要點二例 如圖所示，矩形ABCD中，AB∶BC＝5∶6，點E在上，點F在CD上，且 證明EC＝x ∴AD＝FD，又 規(guī)律方法直角三角形相似的判定方法很多，既可根據(jù)一般三角形相似的判定方演練 如圖所示，直線EF交AB，AC于點F，E，交證明 又 要點三例 如圖所示，在△ABC和△DBE中

(1)若△ABC與△DBE10cm，求△ABC(2)若△ABC與△DBE170cm2，求△DBE的面積解 △ABC的周 △DBE的周 設(shè)△ABC5xcm，則△DBE3x5x－3x＝10∴△ABC25cm.

∴

S△ABC＝25ycm2，則S△DBE＝9ycm2，25y＋9y＝170∴△DBE45規(guī)律方法在利用相似三角形的性質(zhì)建立比例式時，一定要注意比的順序，才能演練 如圖所示，在△ABC中解

(2)DF⊥AC

(3)為計算線段的長度及角的大小創(chuàng)造條件1：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似；如圖，在△ABC中，DE∥BCFBC上的一點，AFDE于點G，則與△ADG相似的是( 解析在△ABF中，DG∥BF，則答案 解析Rt△CBA，Rt△CAD，Rt△ABD，Rt△DBERt△ADE相似答案3.(2016·調(diào)考)如圖所示＝90°，AC＝a，BC＝b.則 (用a，b表示 解析由題意可得△ABC∽△CDB，∴BC＝BD，∴BD＝AC＝a答案4.(2016·中學(xué)檢測)如圖所示，已知點D是△ABC中AB上的一點，DE∥BC且交AC于點E，EF∥AB且交BC于點F，S△ADE＝1，S△EFC＝4BFED的面積.解∴S在△ABC中，PAB 解析AC2＝AP·AB即AC＝AP，∴③也滿足相似條件；④中兩個對應(yīng)邊的夾角不是∠A，故不相似 答案如圖所示，△ABC∽△AED∽△AFG，DE是△ABC 解析因為△ABC與△AFG3∶2AB∶AF＝3∶2，又△ABC△AED2∶1AB∶AE＝2∶1，故△AED與△AFG 1＝3AF 答案梯形DBCE的面積為6cm2，則DE∶BC的值為( 1∶ 解析答案4.(2016·黃岡調(diào)考)如圖，在?ABCD則△ADF的面積 解析∴△AEF∽△CDF，且相似比 ＝1，又△AEF的邊EF上

高與△ADFDF

答案AD＝3，BC＝7，則BD2＝ 解析而又 答案如圖所示，在?ABCDE，F(xiàn)ADCB的延長線上，請解在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，點D為AC上一點 ，AB上取一點E，得到△ADE，若△ADE與△ABC相似，則DE的長為 C.6或 解析當(dāng)△ADE∽△ACB時，則

12△ADE∽△ABC時，則

答案

解析Rt△ACERt△ADB中，∠A

AD

在Rt△ACE中 82－（4＋2）2＝2答案 2如圖所示，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝ 解析∵∠B＝∠D，∠AEB＝∠ACD＝90°，∴△AEB∽△ACD，從而得AB＝AE4＝AE，解得AE＝2，故 AB2－AE2＝44答案4QCD的中點.證明ABCD

∵QCD 在△ADQ和△QCP 如圖所示，△ABC為正三角形，D，EAC，BC邊上的ABC6DBE證 又∠BDC是△ABD的一個外角，且又 設(shè)DC＝x，BE＝y(tǒng)，則EC＝6－y，AD＝6－x.由(1)可得EC＝DC，整理得

y＝1y＝1 2x＝32DC＝3DAC的中點時，BEBE的長是FC(AB>AE).△AEF與△ECF是否相似，若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，

設(shè)BC＝kk值，使得△AEF與△BCFk的值；若不存在，請說明理由解(1)相似.ABCD∵EF⊥EC，A，D，E共線，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.

又存在.由于由(1)知又∴AB＝CD＝CD＝3k＝ 2k＝3時，DE＝1 四[學(xué)習(xí)目標已知：如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB提示(1)6

AC 要點一例 如圖所示，在梯形ABCD中∠BCD＝60°，AD＝1，AB＝2.ADBCDCBCBCDC上的射影長解(1)DDD1⊥BCD1BD1ADBC上的射影，如圖ABD1DADBC∴D1C＝

＝2＝2tan 3DCBC上的射影長為23(3)BBB1⊥DCB1B1CBCDC上的射影，如圖所示3∵BC＝BD1＋D1C＝1＋23∴B1C＝BC·cos

＋2

1＝1＋13 313BCDC上的射影長為1＋ 3規(guī)律方法(1)射影實質(zhì)上就是平行投影A1B1如圖(1)所示；當(dāng)線段AB所在直線與直線l不平行且不垂直時，設(shè)其在l上的射影為A1B1，則有AB>A1B1，如圖(2)所示；當(dāng)線段AB與直線l垂直時，線段ABlA1，如圖(3)所示演練1 D，E，F(xiàn)，G和線段AB，AC，AF，F(xiàn)G在直線BC上的射影.解AD⊥BC，EF⊥BC知：ABCD；BB；CBCC；E，F(xiàn)，GBCE；ABBCDB；ACBCDC；AFBC上的射影是DE，F(xiàn)G在BC上的射影是點E.要點二例 如圖，D為△ABC中BC邊上的一點，∠CAD＝∠B，AD＝6，AB＝10，BD＝8CD的長解在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8∴∠BAC＝90°.Rt△BAC中，AD⊥BC規(guī)律方法(1)已知三角形是直角三角形，或者有直角、垂線等，這是在直角三角演練 ＝1∶2∶3，CD⊥ABD.BD，CD的長解設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠ACB＝3x，由180又1 ∴AD＝AB－BD＝m－1 CD2＝AD·BD＝3·1＝3m2CD＝4m ∴BD＝1，CD＝

4 4要點三例 上點F在CD上

證明ABCD

Rt△ADFAF2＝AD2＋DF2＝36k2＋4k2＝40k2，同理可得AE2＝50k2，EF2＝10k2.∴△AEF是直角三角形得EF2＝GE·AE.

5＝AE＝52k，∴GE5＝∴4GE＝4又∵AG＝AE－GE＝52k－2k＝4規(guī)律方法①判斷兩線段的數(shù)量關(guān)系時，可設(shè)變量使之能表示線段，②在直角三演練3 如圖所示，BD，CE是△ABC的兩條高，過點D的＝∠BCF.證明∵∠H＝∠BCE，∠HBG是△BCE與△BHGHG⊥BC.BD⊥ACRt△BDCDGBC又 由①②1.(1)在直角三角形ABC中，斜邊AB＝5cm，BC＝2cm，D為AC上一點，DE⊥AB于點E，且AD＝3.2cm，則DE等于( A.1.24 B.1.26C.1.28 D.1.3解析由已知 答案如圖所示，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，在圖中的 解析圖中所有三角形都是直角三角形，由勾股定理，射影定理，可知只需知道答案

則 解析由已知3322答案

a，b(a<b)a，b解如圖所示.(1)ABDABDHCACa，b＝3，則MN等于 C.C.

解析∵MN⊥MP，MQ⊥PN，∴MN2＝NQ·PN，又 答案在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，若

44

33

AB＝4，則99解析9

答案

，即BD＝16，∴CD＝9如圖所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，以BD為直徑的圓與BC交于點E，則( 解析ABCCD2＝AD·DB，再根據(jù)切割線定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB，故選A.答案CDAD＝pBD＝q B.C. B.C.解析由已知可利用射影定理得：CD＝PQ，在Rt△ACD中tanA＝CD＝答案E，則 解析 AB2＋BC2＝2

p由射影定理得

＝32 2Rt△BEC中，cos∠BCE＝CE＝ DE2＝21.∴DE＝ 2答案21BCBE＝6，CE＝2AD的長解∵CD⊥AB，即DE2＝CE·BE＝12，∴DE＝23，∵BD2＝BE·BC＝48，∴BD＝4Rt△ABC 16 44AD＝BD ＝34

等于

解析 ＝AD，又 2Rt△ADCAD＝1AC，則2答案如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm，4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點D，則BD＝ 解析AB＝5(cm)CDCD⊥AB BC＝BD·ABBD＝AB＝5答案5 解析AD＝2x

∴CD＝6x，∴S△ACD∶S△CBD＝BD＝3 答案3如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC⊥ACF，DE⊥ABE. 證明(1)Rt△ABC

(2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理得BD2＝BE·AB.Rt△ADC又在Rt△ABC中，AD⊥BC，即AD4＝BE·AB·CF·AC.由(1) (3)BD＝BE·AB，∴BE＝AB CD＝CF·AC，∴CF＝AC BD2 ①÷②得CF＝AB

∵AB＝BD·BC，∴BD＝BC同理

④代入③得

·AB＝AC3，即如圖，在△ABC中，D，F(xiàn)AC，BCAB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1AC.解在△ABCAC∵AB⊥AC，AF⊥BC.FC＝1，根據(jù)射影定理，得AC2＝FC·BC，即BC＝x2. 在△BDCDDE⊥BC∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC＝12x又

∴DE＝AC Rt△DEC

1 即

∴x2＋4＝1.整理得 2，即 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB

.

∴

即 ∴AC2＝BD21：經(jīng)過三角形一邊的中點且與另一邊平行的直線必平分第三邊2：經(jīng)過梯形一腰的中點且與底邊平行的直線必平分另一腰.平行線分線比例定定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線比例1(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線比例.2：用平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截三角形，所得的三角形1的逆定理：如果一條直線截三角形兩邊或兩邊的延長線所得的對應(yīng)線1：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的2：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩3：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的1：如果兩個直角三角形有一個銳角相等，那么它們相似2：如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么它們相似3一條直角邊對應(yīng)成比例，那么它們相似.1：相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例2：相似三角形對應(yīng)邊上的高、中線和它們的周長的比都等于相似比3：相似三角形的面積比等于相似比的平方4：相似三角形外接圓或內(nèi)切圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓從一點向一條直線作垂線，垂足稱作這點在這條直線上的正射影，簡稱射影勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方題型一1ABCD中，AB∥CD，CE平分∠BCD，CE⊥ADE，DE＝2AE，若△CED的面積為1，求四邊形ABCE的解CB，DAFCE平分∴△FCD為等腰三角形，EFD的中點

又∴

∴S△FBA＝1 ∴S 規(guī)律方法多邊形的問題常轉(zhuǎn)化為三角形問題去解決，本題從已知條件出發(fā)，構(gòu)演練1 如圖，在△ABC中，AB>AC，在邊AB上取一點D，在邊AC上取一點E，使AD＝AE，直線DE和BC的延長線交于點P.求證 證明CCM∥ABPD∴BP＝BD，即 題型二例2 c，點P是AB上與A，B不重合的一個動點，連接PC，過點P作PQ∥AC交BC于點Q.33ab22

的最大整數(shù)解，試說明△ABC的形狀

在(1)AP＝x，S△PCQ＝y(tǒng)yxx的取值范圍解(1)a2＋b2－12a－16b＋100＝0，即得解不等式組得

∴c＝10，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形(2)由(1)得 55 55

∴

24

10∴S△PBQ＝24(10－x)2＝6x2－24 5∴S△PCQ＝S△PBC－S△PBQ＝－6x2＋12y＝－6

5 5規(guī)律方法對于(1)，判斷△ABC的形狀，由題意轉(zhuǎn)化為解不等式組.對于(2)，由問題轉(zhuǎn)化為求S△PBQ、S△BPC.演練 邊上的高，△ABC和△BDE18222BAC的距離解 又 （2（2∵DE＝2

∴AC＝6設(shè)點B到直線AC的距離為h，則 ·h，即

62h，∴h＝3 題型三當(dāng)點、線的位置關(guān)系不確定時常常需分類討論例3 要做兩個形狀相同的三角形框架，其中一個框架的三邊長分別是4、5、6，另一個框架的一邊長是2，怎樣選料可使這兩個三角形相似？解(1)2x，y4＝5＝6 2x，y4＝5＝6 2x，y4＝5＝6 綜上，另一個三角形的另兩邊長分別為4和5或8和12或5 規(guī)律方法2的三角形三邊關(guān)系不明確，邊長為2的邊可以是最長邊、中間邊或最短邊，因此應(yīng)分三種情況進行討論.演練3 解析DDE1∥BC，此時∠AE1D＝∠B△ABC∽△AE1DD作∠ADE2＝∠B，此時△ADE2∽△ABC.DDE3∥AB，使∠DE3C＝∠BDBCE4，使∠E4DC＝∠B，都能使截得的三角形與原三角形相似，因此共有4條直線符合要求.答案題型四例 如圖，在Rt△ABC中，E為斜邊AB上一點＝1，四邊形DEFC為正方形，則陰影部分的面積 解析設(shè)正方形DEFC的邊長為x，則根據(jù)△ADE∽△EFBAD＝2x，BF＝1 Rt△ADE中，(2x)2＋x2＝22S陰影＝S△ABC－S正方形

答案

規(guī)律方法將幾何圖形的比例相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，是解決平面幾何問題常用路1.(2014·高考)如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在上且EB＝2AEAC與DE交于點F則△AEF的周長 解析CD∥AE，得于是△CDF的周長△AEF的周 答案2.(2015·高考)如圖，已知AB是圓O的直徑，AB＝4，EC是圓O的切線，切點為C，BC＝1，過圓心O作BC的平行線，分別交EC和AC于點D和點P，則

解析由題意得OP＝2BC＝2，OA＝2，于是 ×∵∠DCP＝∠B＝∠POA，∴△DCP∽△AOP，∴PD＝PC，∴PD＝2 15＝15，∴×

2 答案3.(2013·陜西高考)如圖，AB與CD相交于點E，過點E作BC的平行線與AD的延長線交于點P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，則PE＝ 解析PE∥BC，∠A＝∠C知，∠A＝∠C＝∠PED，在△PDE和△PEA＝PA·PD＝3×2＝6PE＝答 圓分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若AC＝2AE，則EF＝ 解析∵四邊形BCFE內(nèi)接于圓，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A為共角，∴△AEF∽△ACB，∴EF＝AE.又 答案圓于點B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，則AB＝ 解析依題意得△PAC∽△PBA，則PA＝AB＝PB， ＝AB＝PB，解得

答案BC證明AB＝AC，所以又因為∠C＝∠E又∠BAE為公共角，可知7.(2015·新課標Ⅱ)如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點，⊙O與△ABC的底邊BC交于M，N兩點，與底邊上的高AD交于點GAB，ACE，F(xiàn)兩點.AG等于⊙OAE＝MN＝23EBCF的面積 AD⊥BC又因為⊙OAB，ACE，F(xiàn)，所以AE＝AF，故AD⊥EF. 故AD是EF的垂直平分線，EF為⊙OOAD上.連接OE，OM，則OE⊥AE.AG等于⊙OAO＝2OE，因此△ABC和△AEF都是等邊三角形AE＝2

＝3OD＝1.AD＝5，AB＝10EBCF的面積為

10

×(2 3 16×

×

在△ABC中，DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4cm，則DB等于 A.2 B.6 C.4 D.8解析如圖，∵DE∥BC，∴AE＝AD＝1又∵AD＝4 答案 A.13和 B.14和C.15和 D.16和解析由相似三角形周長之比，中線之比均等于相似比可得周長之比C1＝3 ∵C1＋C2＝35，∴C1＝15，C2＝20答案ABCPQ分別在BCACBP∶CP＝2∶5，CQ∶QA＝3∶4，則AR∶RP等于 解析Q作QM∥AP交PC于MCM＝CQ＝3又 ＝2BP＝7.