高中數(shù)學(xué) 2.2.2 向量的正交分解與向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 新人教B必修4

2.2.2向量的正交分解與向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算.1、平面向量的坐標(biāo)表示與平面向量分解定理的關(guān)系。2、平面向量的坐標(biāo)是如何定義的？3、平面向量的運(yùn)算有何特點(diǎn)？.

類似地，由平面向量的分解定理，對(duì)于平面上的任意向量，均可以分解為不共線的兩個(gè)向量和使得a→11λa→22λa→=a→11λa→+22λa→在不共線的兩個(gè)向量中，垂直是一種重要是情形，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。平面向量的正交分解.思考：

我們知道，在平面直角坐標(biāo)系，每一個(gè)點(diǎn)都可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示，對(duì)直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個(gè)向量，如何表示？在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底時(shí)，會(huì)為我們研究問題帶來方便。.

我們把（x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a=(x，y),其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，（x,y）叫做向量的坐標(biāo)表示。ayjiO圖1xxiyj平面向量的坐標(biāo)表示

a=xi+yj（1，0）（0，1）（0，0）i=j=0=→→→其中i，j為向量i，j→→→→→.ayjiO圖1xxiyj其中xi為xi，yj為yj→→.yxOyxjA（x,y）a如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作OA=a，則點(diǎn)A的位置由a唯一確定。設(shè)OA=xi+yj，則向量OA的坐標(biāo)（x,y)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，點(diǎn)A的坐標(biāo)（x,y)也就是向量OA的坐標(biāo)。因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示。i.例1如圖，用基底i，j分別表示向量a、b、c、d,并求出它們的坐標(biāo)。jyxOiaA1AA2bcd解：由圖3可知a=AA1+AA2=2i+3j,

∴a=(2,3)

同理，b=-2i+3j=(-2,3)

c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3).平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算思考：已知，你能得出，，的坐標(biāo)嗎？11a=(x,y)22b=(x,y)a+b-abλa→→→→→→→.已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j即

a+b=(x1+x2,y1+y2)同理可得

a-b=(x1-x2,y1-y2)這就是說，兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.結(jié)論：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。yxOB(x2,y2)A(x1,y1)如圖，已知A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=OB-OA

=(x2,y2)-(x1,y1)

=(x2-x1,y2-y1).yxOB(x2,y2)A(x1,y1)你能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為的P點(diǎn)嗎？P.已知a=(x,y)和實(shí)數(shù)λ，那么

λa=λ(x,y)

即

λa=(λx,λy)這就是說，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等用這個(gè)實(shí)數(shù)乘以原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。.例2已知平行四邊形ABCD的三個(gè)定點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)..練習(xí)

平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,且知道AD=（3，7），AB=（-2，1），求OB坐標(biāo)。.

設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b是非零向量,那么可以知道，a//b的充要條件是存在一實(shí)數(shù)λ，使a=λb這個(gè)結(jié)論如果用坐標(biāo)表示，可寫為（x1，y1）=λ(x2，y2)即x1=λx2y1=λy2平面向量共線的坐標(biāo)表示問題：共線向量如何用坐標(biāo)來表示呢？.消去λ后得

也就是說，a//b(b≠0)的等價(jià)表示是