D一般周期的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

會(huì)計(jì)學(xué)1D一般周期的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2023/1/18設(shè)周期為2l

的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理?xiàng)l件,則它的傅里葉展開(kāi)式為(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)其中定理.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第1頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18證明:

令,則令則所以且它滿足收斂定理?xiàng)l件,將它展成傅里葉級(jí)數(shù):(在F(z)的連續(xù)點(diǎn)處)變成是以2為周期的周期函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第2頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18其中令(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)證畢機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第3頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18說(shuō)明:其中(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)如果

f(x)

為偶函數(shù),則有(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)其中注:無(wú)論哪種情況,在f(x)的間斷點(diǎn)x處,傅里葉級(jí)數(shù)收斂于如果

f(x)為奇函數(shù),則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第4頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18例1.

交流電壓經(jīng)半波整流后負(fù)壓消失,試求半波整流函數(shù)的解:

這個(gè)半波整流函數(shù),它在傅里葉級(jí)數(shù).上的表達(dá)式為的周期是機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第5頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第6頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18n>1

時(shí)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第7頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18由于半波整流函數(shù)f(t)直流部分說(shuō)明:交流部分由收收斂定理可得2k

次諧波的振幅為

k越大振幅越小,因此在實(shí)際應(yīng)用中展開(kāi)式取前幾項(xiàng)就足以逼近f(x)了.上述級(jí)數(shù)可分解為直流部分與交流部分的和.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第8頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18例2.

把展開(kāi)成(1)正弦級(jí)數(shù);(2)余弦級(jí)數(shù).解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k

處級(jí)數(shù)收斂于何值?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第9頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18(2)將作偶周期延拓,則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第10頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18說(shuō)明:

此式對(duì)也成立,由此還可導(dǎo)出據(jù)此有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第11頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18當(dāng)函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時(shí),方法1令即在上展成傅里葉級(jí)數(shù)周期延拓將在代入展開(kāi)式上的傅里葉級(jí)數(shù)其傅里葉展開(kāi)方法:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第12頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18方法2令在上展成正弦或余弦級(jí)數(shù)奇或偶式周期延拓將代入展開(kāi)式在即上的正弦或余弦級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第13頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18例3.

將函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù).解:

令設(shè)將F(z)延拓成周期為10的周期函數(shù),理?xiàng)l件.由于F(z)是奇函數(shù),故則它滿足收斂定機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第14頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18利用歐拉公式二、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式設(shè)f(x)是周期為2l的周期函數(shù),則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第15頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18注意到同理機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第16頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式:因此得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第17頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18式的傅里葉級(jí)數(shù).例4.

把寬為,高為h,周期為T的矩形波展成復(fù)數(shù)形解:

在一個(gè)周期它的復(fù)數(shù)形式的傅里葉系數(shù)為內(nèi)矩形波的函數(shù)表達(dá)式為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第18頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第19頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18為正弦級(jí)數(shù).內(nèi)容小結(jié)1.周期為2l的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)公式(x

間斷點(diǎn))其中當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),(偶)(余弦)2.在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法變換延拓3.傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式利用歐拉公式導(dǎo)出機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第20頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18思考與練習(xí)1.將函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)為什么最好先畫出其圖形?答:

易看出奇偶性及間斷點(diǎn),2.計(jì)算傅里葉系數(shù)時(shí)哪些系數(shù)要單獨(dú)算?答:

用系數(shù)公式計(jì)算如分母中出現(xiàn)因子n－k作業(yè):

P2561(1),(3);2(2);3

從而便于計(jì)算系數(shù)和寫出收斂域.必須單獨(dú)計(jì)算.習(xí)題課目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第21頁(yè)/共24頁(yè)2023/1/18備用題期的傅立葉級(jí)數(shù),并由此求級(jí)數(shù)(91考研)

解: