D對坐標曲線積分

會計學(xué)1D對坐標曲線積分２定向曲線的表示注：非定向曲線參數(shù)表示為這里一定有而定向曲線表示當(dāng)從連續(xù)變到時，描出由點A移動到點B的定向曲線L．顯然都可能第1頁/共37頁３定向曲線的切向量光滑曲線上每一點都有切向量，而且都有兩個方向，對定向曲線的切向量也要定向，要求切向量的的方向總與曲線的走向（曲線的方向）相一致．若曲線為當(dāng)則切向量為當(dāng)則切向量為第2頁/共37頁（二）對坐標的曲線積分的概念設(shè)一質(zhì)點受如下變力作用在XOY

平面內(nèi)從點A沿光滑曲線弧L

移動常力沿直線所作的功到點B,求移動過程中變力所作的功W.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1引例:

變力沿曲線所作的功.第3頁/共37頁(1)

“大化小”.(2)

“常代變”把L分成n個小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F

沿則用有向線段上任取一點在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共37頁(3)

“近似和”(4)

“取極限”其中為n

個小弧段的最大長度機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共37頁2.定義.設(shè)

L

為XOY平面內(nèi)從A到B的一條有向曲線,在L上定義了一個向量函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束在L

上沿的L

方向任意插入一點列把L

分成n個有向小弧段記點為有向弧段上任意一點,若極限第6頁/共37頁機動目錄上頁下頁返回結(jié)束記作存在,在有向曲線弧L上對坐標的曲線積分,則稱此極限為向量函數(shù)或第二類曲線積分.其中L

稱為積分弧段稱為被積函數(shù),或積分曲線.稱為對x的曲線積分;稱為對y的曲線積分.第7頁/共37頁(2)(1)由定義知物理意義：沿定向曲線L的始點移動到終點所做的功為方向為x-軸正向的力沿定向曲線L的始點移動到終點所做的功力注:物理意義：為方向為y-軸正向的力沿定向曲線L的始點移動到終點所做的功物理意義：故由第二類曲線積分的物理意義也得第8頁/共37頁(3)中是有向弧在x-軸上的投影;是有向弧在y-軸上的投影而在對弧長的曲線積分中乘的是弧長故(A)(圖1)可正,可負(圖2).(圖2)圖3中(圖3)(B)定積分是第二類曲線積分的特例.

(C)對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向

!第9頁/共37頁若為空間有向曲線弧,2*.定義機動目錄上頁下頁返回結(jié)束向量函數(shù)定義在有向曲線弧上.

若極限存在.在有向曲線弧

上對則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.坐標的曲線積分,記作第10頁/共37頁（三）性質(zhì)(2)若L

可分成k條有向光滑曲線弧(3)用L－

表示L的反向弧,則則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)線性性質(zhì)第11頁/共37頁二、對坐標的曲線積分的計算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),存在,且有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注：把對坐標的曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分時定積分的下限一定是始點對應(yīng)的參數(shù)，上限一定是終點對應(yīng)的參數(shù)，而不管上限是否大于下限．這與對弧長的曲線積分不同第12頁/共37頁對應(yīng)參數(shù)設(shè)分點根據(jù)定義由于對應(yīng)參數(shù)同理可證機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明:

下面先證第13頁/共37頁如果L

的方程為則對空間光滑曲線弧:類似有定理目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共37頁例1.計算其中L為沿拋物線解法一取x

為參數(shù),則從點的一段.第15頁/共37頁例1.計算其中L為沿拋物線解法二取y

為參數(shù),則從點的一段.注：由該題可以知道對坐標的曲線積分沒有對稱性第16頁/共37頁例2.計算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點的上半圓周,方向為逆時針方向;(2)從點A(a,0)沿x軸到點

B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁/共37頁例3.計算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁/共37頁例4.作用,解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)質(zhì)點處受力的大小與M點對原點的距離成正比，方向指向原點，求質(zhì)點由沿橢圓逆時針移動到求力做的功W由題意知則其中第19頁/共37頁例５.求其中從

z

軸正向看為順時針方向.解:取的參數(shù)方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁/共37頁例６.設(shè)在力場作用下,質(zhì)點由沿移動到解:(1)(2)

的參數(shù)方程為試求力場對質(zhì)點所作的功.其中為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁/共37頁三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)有向光滑弧L

以弧長為參數(shù)的參數(shù)方程為則有向光滑弧L切向量的方向余弦為由計算公式有第22頁/共37頁機動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中是有向弧L在(1)若記則兩類曲線積分的聯(lián)系切向量的方向余弦注：是有向弧L在處單位切向量.在有向曲線弧L上對坐標的曲線積分故向量函數(shù)若記則有第23頁/共37頁例：設(shè)定向曲線L

參數(shù)方程為方向余弦為若切向量為切向量為若，則(3)要注意是定向曲線的切向量必須與曲線的方向一致．，則，則其中(2)將第二型轉(zhuǎn)化為第一型曲線積分關(guān)鍵是求定向曲線的切向量的方向余弦，這可以通過求切向量得到第24頁/共37頁類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令記A

在t

上的投影為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第25頁/共37頁二者夾角為例７.設(shè)曲線段L

的長度為s,證明續(xù),證:設(shè)說明:

上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第26頁/共37頁.例８將積分化為對弧長的積分,解：其中L沿上半圓周機動目錄上頁下頁返回結(jié)束法一：又所以切向量為，所以第27頁/共37頁解：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束法二曲線參數(shù)化為由得切向量為故即故第28頁/共37頁1.定義2.性質(zhì)(1)L可分成k

條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第29頁/共37頁3.計算?對有向光滑弧?

對有向光滑弧機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第30頁/共37頁4.兩類曲線積分的聯(lián)系?

對空間有向光滑弧

:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第31頁/共37頁原點O

的距離成正比,1.設(shè)一個質(zhì)點在處受恒指向原點,沿橢圓此質(zhì)點由點沿逆時針移動到提示:(解見P139例5)F

的大小與M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若題中F的方向改為與OM垂直且與

y

軸夾銳角,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第32頁/共37頁

已知為折線ABCOA(如圖),計算提示:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)第33頁/共37頁備用題

1.解:線移動到向坐標原點,其大小與作用點到xoy

面的距離成反比.沿直求F所作的功W.已知F

的方向指一質(zhì)點在力場F

作用下由點機動目錄上頁