D洛必達(dá)法則D泰勒公式

會(huì)計(jì)學(xué)1D洛必達(dá)法則D泰勒公式2洛必達(dá)(1661–1704)

法國數(shù)學(xué)家,出生于貴族，當(dāng)過軍官，因視力不好退役了，他在15歲時(shí)就解決了帕斯卡提出的擺線難題,以后又解出了伯努利提出的“最速降線”問題,在他去世后的1720年出版了他的關(guān)于圓錐曲線的書。他是萊布尼茲的忠實(shí)信徒，他著有《無窮小分析》(1696),這是一本較系統(tǒng)的微積分書，并在該書中提出了求未定式極限的方法,后人將其命名為“洛必達(dá)法則”。第1頁/共26頁3例如,定義：如果當(dāng)（或）時(shí)，或兩個(gè)函數(shù)與都趨于零或趨于無窮大，那么極限可能存在，通常把這種極限稱為也可能不存在，型未定式.型第2頁/共26頁4存在(或?yàn)?定理1.(洛必達(dá)法則)定義：這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.第3頁/共26頁5(

在x,a

之間)證:無妨假設(shè)在指出的鄰域內(nèi)任取在以x,a為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯故定理?xiàng)l件:

西定理?xiàng)l件,存在(或?yàn)?第4頁/共26頁6存在(或?yàn)?定理1.(洛必達(dá)法則)推論1.定理1中換為之一,推論2.若條件,則條件2)作相應(yīng)的修改,定理1仍然成立.第5頁/共26頁7解:原式注意:

不是未定式不能用洛必達(dá)法則!例1.

用羅比達(dá)法則時(shí)必須檢驗(yàn)是否為未定式P136例2第6頁/共26頁8解:原式思考:

如何求(n

為正整數(shù))?例2.P136例4第7頁/共26頁9解:例3.求注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法,但與其它求極限方法結(jié)合使用,效果更好.常用的有等價(jià)無窮小代換,重要極限,變量代換,極限的運(yùn)算法則等.P138例10第8頁/共26頁10例4.求解:盡量使用無窮小的代換和重要極限，說明：可以簡化計(jì)算.第9頁/共26頁11定理2.若(洛必達(dá)法則)說明:

定理中換為之一,條件2)作相應(yīng)的修改,定理仍然成立.存在(或?yàn)?注意：想用洛必達(dá)法則之前應(yīng)先：(1)檢查極限的類型是否為(2)為使極限計(jì)算簡單,應(yīng)結(jié)合以前的方法化簡函數(shù),如等價(jià)無窮小代換、四則法則、變量代換等.第10頁/共26頁12解:原式例5.例6.

求解:原式例5、例6說明：但它們趨于無窮大的“快慢”程度不一樣.指數(shù)函數(shù)最快,冪函數(shù)次之,對(duì)數(shù)函數(shù)最慢.三者相比,P136例5,6第11頁/共26頁13例7.解:P139T1(8)則原式=解:例8.

求非零因子要及時(shí)分離出來第12頁/共26頁14練習(xí)：下列各式正確運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限的是()第13頁/共26頁15將其它類型的未定式化為洛必達(dá)法則可解決的關(guān)鍵:類型例9.

求解:

原式步驟:或二、其他未定式:P137例7第14頁/共26頁16步驟:即通分解:

原式例10.

求例11.解：P138例8第15頁/共26頁17步驟:用對(duì)數(shù)恒等式例12.

求解:例13.解：P138例9第16頁/共26頁18解：例14.P183T10(3)第17頁/共26頁19注意：1)條件充分但不必要.洛必達(dá)法則的使用是有條件的.例如,極限不存在也不是無窮大2)對(duì)有些極限失效(1)對(duì)數(shù)列極限失效.對(duì)數(shù)列極限的未定式,若想用洛必達(dá)法則,應(yīng)先用定理:第18頁/共26頁20不存在時(shí)失效.(3)有時(shí)出現(xiàn)循環(huán)，這時(shí)羅比達(dá)法則失效.如：事實(shí)上：(4)有時(shí)會(huì)越用越復(fù)雜,這時(shí)不必用羅比達(dá)法,則應(yīng)先用其它方法.如：第19頁/共26頁21洛必達(dá)法則適用于：內(nèi)容小結(jié)溫馨提示：

洛必達(dá)法則是求未定式極限的一種有效方法,但與其它求極限方法結(jié)合使用,效果更好.常用的有等價(jià)無窮小代換、重要極限、變量代換,極限的運(yùn)算法則等.第20頁/共26頁22泰勒中值定理：其中：(1)第三節(jié)泰勒(Taylor)中值定理把(1)式稱為函數(shù)(2)把(2)式稱為第21頁/共26頁23注意:3.余項(xiàng)：叫Lagrange型余項(xiàng).叫皮亞諾(Peano)余項(xiàng).第22頁/共26頁244.特例:(1)當(dāng)n=0時(shí)，泰勒公式即為拉格朗日中值公式.故泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.稱為麥克勞林(Maclaurin)公式.則有(2)在泰勒公式中若取

5.函數(shù)的Taylor公式是函數(shù)無窮小的一種精細(xì)分析,也是在無窮小鄰域?qū)⒊竭\(yùn)算轉(zhuǎn)化為整冪運(yùn)算的手段,從而可將無理或超越函數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理式的運(yùn)算,大大簡化計(jì)算.第23頁/共26頁25解:代入公式,得:由此可知：P142例1第24頁/共26頁26其中：