Probit回歸概率單位回歸

會計學1Probit回歸概率單位回歸Logistic回歸因變量二項Logistic回歸多項Logistic回歸有序回歸Probit回歸第1頁/共29頁第15章Probit回歸（概率單位回歸）15.1Probit回歸的基本原理15.2Probit回歸的案例分析第2頁/共29頁15.1Probit回歸的基本原理Probit回歸即概率單位回歸，主要用來測試分析刺激強度與反應比例之間關系的關系。例如，對于指定數(shù)量的病人，分析他們的給藥劑量與治愈比例之間的關系。此方法應用的典型例子是分析殺蟲劑濃度和殺死害蟲數(shù)量之間的關系，并據(jù)此判斷什么樣的劑量濃度是最佳的。Probit回歸適用于對反應變量（因變量）為分類變量的資料進行統(tǒng)計分析，也存在反應變量為二分類、有序多分類、無序多分類三種情況，但目前最常用的是二分類的情形，SPSS也僅能處理反應變量為二分類的資料。第3頁/共29頁15.1Probit回歸的基本原理Probit回歸與Logistic回歸相似，也是擬合0-1型因變量回歸的方法，即把取值分布在實數(shù)范圍內(nèi)的變量通過累積概率函數(shù)轉換成取值分布在（0，1）區(qū)間的概率值。所得概率分布的表達式為：Probit回歸常用的累積概率函數(shù)有兩個：（1）logit概率函數(shù)：通過變換可以得到另一種等價形式：第4頁/共29頁（2）標準正態(tài)累計概率函數(shù)：單一解釋變量：多變量：分別為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)與密度函數(shù)。15.1Probit回歸的基本原理據(jù)此建立的Probit回歸模型：或第5頁/共29頁Probit模型的邊際分析自變量的變化對響應概率（p）的影響：

一般情況下對連續(xù)變量，X取樣本均值，指的是X在平均意義上每增加一個單位會導致事件發(fā)生的概率將會變化多少個單位。第6頁/共29頁15.1Probit回歸的基本原理Probit回歸的數(shù)據(jù)要求因變量（響應變量）應該是計數(shù)信息，記錄在指定的自變量條件下，有響應的觀測個數(shù)。自變量（因子變量）必須是分類變量且須用整數(shù)編碼。觀測量應該是獨立的。如果自變量值的數(shù)量與觀察值的數(shù)量相比過多，否則卡方檢驗和擬合優(yōu)度檢驗是不適宜的對Probit過程的參數(shù)估計同樣采用極大似然估計法，構建Probit過程時要求樣本采取隨機抽取方式抽取，即要求樣本分布與總體分布具有同一性。概率回歸時，最有用的是半數(shù)發(fā)生量。如收入到多少時，有一半家庭會購買。毒素濃度達到多少時，有一半的小白鼠會死亡。第7頁/共29頁15.1Probit回歸的基本原理Probit回歸與logistic回歸的關系當Probit回歸過程選擇了Logit變換時，進行的統(tǒng)計分析過程就是Logistic回歸。Logistic模型強調因變量的最終結果是發(fā)生還是不發(fā)生，其取值有明顯的0～1分化。而概率回歸研究的是在因變量具有兩種相反屬性時，隨著自變量的變化，因變量取某屬性的比例變化情況。如家庭購買電腦的比例與家庭人均收入之間的關系，研究的不是在某各收入水平下是否會購買，而是在不同的收入水平下購買的比例。一般情況下：Probit回歸更適用于從有計劃的試驗中獲得的數(shù)據(jù)，而Logistic回歸更適用于直接的觀測數(shù)據(jù)。Probit回歸輸出對各種響應比例有效值的估計，Logistic回歸輸出對自變量發(fā)生比（OR）的估計。第8頁/共29頁Probit曲線和logit曲線很相似。兩條曲線都是在pi=0.5處有拐點，但logit曲線在兩個尾部要比Probit曲線厚。累積正態(tài)概率分布曲線

Logistic分布函數(shù)第9頁/共29頁實際應用中，對于同一資料用Probit回歸與Logistic回歸分析的結果非常接近。但Logistic回歸的應用比Probit回歸更廣泛。這是因為：Logistic回歸中的偏回歸系數(shù)可以計算其exp(b)，即OR值，可以得到很好的直觀解釋與應用。Probit回歸模型中偏回歸系數(shù)的含義為其他自變量取值保持不變時自變量每改變一個單位，出現(xiàn)某結果的概率密度函數(shù)值的改變量。顯然解釋起來比較麻煩，遠不如Logistic模型中，這也導致了研究者更喜歡使用Logistic模型。目前有很多針對Logistic回歸模型的診斷及補救措施，而對于Probit回歸而言而有信方面相對缺乏。當然，這類似"先有雞還是先有蛋"的問題，很難說是因為模型診斷措施較多而導致了Logistic回歸的更多應用，還是說因為Logistic回歸更多的應用促進了其模型診斷措施的發(fā)展。第10頁/共29頁15.2Probit回歸的案例分析例1：某醫(yī)師希望研究病人的年齡(歲)、性別co為女性，1為男性)、心電圖檢驗是否異常(ST段壓低，0為正常、1為輕度異常、2為重度異常)與患冠心病是否有關，數(shù)據(jù)文件為“冠心病影響.sav”擬合Logistic回歸模型因變量：ca；協(xié)變量：sex，ecg、ageexp(B)：自變量增加一個單位，

總體研究對象患病率與未患病率的比值/倍數(shù)（優(yōu)勢比的變化率）。第11頁/共29頁15.2Probit回歸的案例分析擬合probit回歸模型SPSS默認變量取值=1表示出現(xiàn)陽性結果（患?。┯捎赟PSS默認的是對頻數(shù)表資料進行Probit回歸分析，而本例資料并非各自變量不同取值水平組合的頻數(shù)表資料，每一條記錄表示一個觀察對象，此處需指定一個頻數(shù)變量count=1。其方法有如下幾種：直接定義頻數(shù)變量count，并錄入數(shù)據(jù)1轉換——計算變量：count=1語法：COMPUTEcount=1.

EXECUTE.第12頁/共29頁15.2Probit回歸的案例分析擬合probit回歸模型SPSS操作：分析——回歸——probit前者為用標準正態(tài)累計概率函數(shù)的反函數(shù)來轉換響應比例，后者為logit變換代表在自變量的指定水平下，對有響應的觀測的計數(shù)信息，取值非負代表在自變量的指定水平下，總的觀測計數(shù)，取值不能小于相應的響應頻數(shù)變量值須為整數(shù)編碼的分類變量，須指定最大和最小值代表不同的實驗刺激條件設置變量轉換函數(shù)，當協(xié)變量與概率之間不存在現(xiàn)行關系時，需要選擇對協(xié)變量的轉換方式默認為無，自動給出控制組第13頁/共29頁輸出觀測頻數(shù)、預測頻數(shù)、觀測值的殘差等。輸出因素變量水平間的半數(shù)效應及其致信區(qū)間對所有因子水平具有共同的斜率這一假設的檢驗，若沒有因子變量，則相關中位數(shù)力不可用輸出指定響應比例的刺激劑量的置信區(qū)間當選入多個些變量，相關中位數(shù)力和信仰置信區(qū)間不可用，只有選入一個因素變量，兩者才可以用指定在沒有刺激的條件下（即劑量為0），是否有一個自然響應率無：沒有自然響應率從樣本數(shù)據(jù)估計其自然響應率值：輸入指定的自然響應率，取值必須小于1。例如，如果當激勵為0時響應在10%的時間里發(fā)生，則輸入0.10。第14頁/共29頁共有78條非頻數(shù)表資料記錄納入分析，其中66條記錄出現(xiàn)陰性結果（ControlGroup)回歸系數(shù)/標準誤，即Z檢驗統(tǒng)計量p=Φ（-3.364+0.804?sex+0.520?ecg+0.056?

age)或者寫成：probit(p)=-3.364+0.804?sex+0.520?ecg+0.0564?

age)顯著！第15頁/共29頁參數(shù)估計值得協(xié)方差和相關性卡方檢驗：原假設是模型能很好地擬合數(shù)據(jù)，根據(jù)P>a接受原假設，故模型擬合較好平行檢驗:P>a,可以認為因素變量個分組的回歸方程具有相同的斜率。第16頁/共29頁Probit回歸系數(shù)的解釋問題：以年齡age為例，其偏回歸系數(shù)為0.056，表示當性別、心電圖保持不變時，年齡每增加一歲，患冠心病的概率密度函數(shù)值增加0.056。進一步舉例如下：設對于性別為男性、心電圖檢驗結果為輕度異常、年齡30歲的人患冠心病的概率為0.40，則相應的概率密度函數(shù)值為-0.253，則相同性別、相同心電圖檢驗結果，年齡為31歲者患冠心病的概率密度函數(shù)值為-0.253+0.056=-0.197，相應的概率為0.422。則30歲、31歲時患病與未患病的比值比分別為0.4/(1-0.4)=0.667、0.422/(1-0.422)=0.729，此時的OR值為0.729/0.667=1.094，與Logistic回歸分析結果中的exp(β)=1.097一致。p=Φ（-3.364+0.804?sex+0.520?ecg+0.0564?

age)或者寫成：probit(p)=-3.364+0.804?sex+0.520?ecg+0.0564?

age)第17頁/共29頁15.2Probit回歸的案例分析例2：某公司在不同營業(yè)所（網(wǎng)上、貨架、店鋪）采用了不同的促銷價格，請使用probit回歸對不同促銷價格和對促銷有反饋的顧客數(shù)量之間的關系進行分析，并擬合響應模型。數(shù)據(jù)文件為：“促銷效果評價數(shù)據(jù).sav”第18頁/共29頁協(xié)變量和三個截距項對方程的作用都有顯著意義顯著！由此可得對三種營業(yè)場所的probit回歸方程：網(wǎng)上：probit(p)=-7.219+1.88*ln(促銷價格)貨架：probit(p)=-7.613+1.88*ln(促銷價格)店鋪：probit(p)=-7.982+1.88*ln(促銷價格)第19頁/共29頁自然響應率估計值：在沒有促銷活動的情況下，總顧客中仍會有4.1%的人購買產(chǎn)品。模型擬合非常好，因素變量各分組的回歸方程具有相同的斜率，滿足平行性假設條件第20頁/共29頁置信區(qū)間表：顯示的是制定銷售地點的相應概率。響應概率probit=0.5時，促銷價格半數(shù)響應估計值：網(wǎng)上為46.518，貨架為57.905，店鋪69.8，可見網(wǎng)上促銷最有效刺激強度反應比例第21頁/共29頁相對中位數(shù)強度估計值，即相對半數(shù)效應表。以第一行為例說明：第一行為網(wǎng)上促銷（地點取值為1）對貨架促銷（地點取值為2）的相對半數(shù)效應，網(wǎng)上與貨架半數(shù)效應比值的估計值為0.803，且其95%的直線區(qū)間不包含1，說明兩者是有明顯區(qū)別的，也就是說網(wǎng)上促銷更有效，因為它能以較小的促銷價格促使50%的顧客購買產(chǎn)品（即達到50%的響應率。）第22頁/共29頁響應概率與對數(shù)促銷價格呈明顯的現(xiàn)行趨勢，說明對促銷價格選擇自然對數(shù)轉換是比較合適的。如果不呈現(xiàn)明顯線性趨勢，可以嘗試其他轉換方法分析。網(wǎng)上促銷的probit普遍大于其他兩種方式第23頁/共29頁第24頁/共29頁序號性別年齡（歲）月收入（千元）序號性別年齡（歲）月收入（千元）10183.850151204.00020214.200161254.20030233.851171274.30040233.951181284.50050284.201191303.95160313.850201324.00070364.501211334.80080424.001221334.00090463.951231384.200100484.200241414.500110554.801251454.801120565