彈性力學本構關系

會計學1彈性力學本構關系一般情況下，物體的應力與應變呈某一函數(shù)關系，可表示為：應力與應變張量均為六個獨立分量。則§4-1物體的彈性性質(zhì)·廣義Hooke定律一.彈性的概念

如果材料呈單值連續(xù)關系（不一定線性），則稱為柯西（Cauchy）彈性材料（一般意義上的彈性）。第1頁/共21頁

受材料在單向拉伸試驗時彈性階段的應力與應變呈線性關系（胡克定律）的啟發(fā)，

線彈性材料在復雜應力狀態(tài)下其應力張量與應變張量亦呈線性關系。稱為廣義胡克定律的一般形式

呈線性單值連續(xù)關系的材料性質(zhì)稱為線彈性。

在柯西彈性的基礎上附加等溫絕熱的外部環(huán)境條件，使有勢函數(shù)存在，則這種彈性性質(zhì)又稱為超彈性?？梢宰C明線彈性一定是超彈性。二.廣義胡克（Hooke）定律即第2頁/共21頁

廣義胡克定律的一般形式最廣泛地描述了材料的線彈性性質(zhì)，但未能描述物體外部環(huán)境條件和內(nèi)部物理特征。其中——稱為彈性常數(shù)，共81個系數(shù)，因各六個獨立，縮減為36個獨立的常數(shù)。cmn和cijkl

的下標對應關系：m、n123456ij、kl112233122331如，c22c2222

，c56c2331矩陣表示形式：——分別稱為應力和應變列陣——稱為彈性矩陣。其元素cmn為36個其中張量表示形式：第3頁/共21頁§4-2線彈性體的本構關系如果材料在變形過程中處于等溫絕熱過程。根據(jù)熱力學第一定律和相應數(shù)學推導，有勢，其勢函數(shù)U0(ij)為物體單位體積的變形能（應變能）?！狦reen公式由同理即第4頁/共21頁

彈性矩陣為對稱矩陣，共有21個獨立的彈性常數(shù)對

稱廣義胡克定律的上述形式表征的是各向異性材料的本構關系。

如果材料具有彈性對稱面，則本構關系還可簡化，使彈性常數(shù)進一步縮減。

彈性體中每一點均有一個對稱方向，在這些對稱方向上彈性性質(zhì)相同，即應力應變關系不變。稱為彈性對稱。彈性對稱

彈性對稱方向

彈性對稱方向

彈性對稱面

彈性主軸

彈性主軸第5頁/共21頁一.橫觀各向異性材料

相應的對稱方向和對稱面稱為彈性對稱方向和彈性對稱面。垂直于彈性對稱面的方向稱為彈性主軸。xyz

彈性對稱面OP

(x,y,z)P

(x,y,-z)y

設Oxy平面為材料的彈性對稱面，z軸為彈性主軸。其中[C]為各向異性的彈性矩陣

現(xiàn)將z軸反向，考察其本構關系xz

僅具有一個彈性對稱面的材料稱為橫觀各向異性材料。

體內(nèi)一點P(x,y,z)的應力和應變?yōu)閧

}

和{

}。則第6頁/共21頁在新坐標下，由于彈性對稱，應力應變關系保持不變但P點坐標和應力應變分量發(fā)生變化由坐標變換兩坐標系三軸的方向余弦為xyzx100y010x00-1代入上式由比較得第7頁/共21頁例如比較[C]和[C]

中的第一行

橫觀各向異性材料，其獨立的彈性常數(shù)為13個；正應變會產(chǎn)生切應力，切應變也會產(chǎn)生正應力

工程上，單斜晶體（如正長石）可簡化為橫觀各向異性彈性體。

橫觀各向異性材料的廣義胡克定律可表示為對

稱第8頁/共21頁

將y軸反向，不產(chǎn)生新的結(jié)果。

將x軸反向，仿前分析步驟可得二.正交各向異性材料xyzP

(x,y,z)O

設三個彈性對稱面分別為Oxy、Oyz和Ozx平面，材料沿x、

y、

z三方向彈性性質(zhì)各異。

具有三個相互垂直彈性對稱面的材料稱為正交各向異性材料。第9頁/共21頁

綜合之，正交各向異性材料的廣義胡克定律可表示為對

稱

正交各向異性材料，其獨立的彈性常數(shù)為9個；正應變僅產(chǎn)生正應力，切應變僅產(chǎn)生切應力。

煤、木材、增強纖維復合材料等可簡化為正交各向異性彈性體。

工程上一般用三個彈性模量（Ex、

Ey

、

Ez

），三個泊松比（Poisson）（xy、

yz、

zx）和三個切變模量（Gxy、Gyz、Gzx）表示。第10頁/共21頁三.橫觀各向同性材料

具有各向同性面，且各各向同性面相互平行（或具有彈性對稱軸）的物體，稱為橫觀各向同性材料。yzxxyzO

設體內(nèi)每一點存在一軸（z軸），在與此軸垂直的平面（Oxy）內(nèi)，所有射線方向的彈性性質(zhì)均相同。

稱該平面為各向同性面。

在正交各向異性的基礎上，按相似分析步驟，

設xy平面繞z軸旋轉(zhuǎn)任意角度，

旋轉(zhuǎn)前后應力應變關系不變，比較其彈性常數(shù)可得第11頁/共21頁對

稱

所以，橫觀各向同性材料的廣義胡克定律可表示為

橫觀各向同性材料，其獨立的彈性常數(shù)為5個；

地層、層狀巖體、復合板材等可簡化為橫觀各向同性彈性材料。

工程上一般用兩個彈性模量（Exy、

Ez

），兩個泊松比（xy、

z）和一個切變模量（G）表示。第12頁/共21頁四.各向同性材料

在橫觀各向同性的基礎上，將z軸反向，考察其反向前后的應力應變關系可得對

稱

所以，各向同性材料的廣義胡克定律可表示為各向同性材料獨立的彈性常數(shù)只有2個第13頁/共21頁§4-3各向同性線彈性材料的物理方程一.廣義胡克定律的基本形式

對于各向同性材料的廣義胡克定律表達式，展開令則其中張量形式第14頁/共21頁（注：

Lamé原文所用符號為和而非G，也不是泊松比。在工程形式中，Lamé常數(shù)實際上被定義為切變模量G）

、G稱為拉梅（Lamé）常數(shù)

此即廣義胡克定律的基本形式，該形式數(shù)學表述簡練，便于理論推導應用，但力學意義不能一目了然，不便于工程運用。二.廣義胡克定律的工程形式

將前六式反解，并令

則

此即廣義胡克定律的工程形式，其中常數(shù)E、G和是廣為熟知的彈性模量、切變模量和泊松比。僅兩個獨立。第15頁/共21頁張量形式其中由得若用應變表示，反解或由基本形式代入即得或第16頁/共21頁三.體積胡克定律由即描述了體積應力和體積應變的關系令稱為體積彈性模量故稱為體積胡克定律張量形式或第17頁/共21頁所以當ij時，因三式相加為恒等式即六對量僅五個關系補充一個關系——體積胡克定律故四.廣義胡克定律的偏量形式

此形式便于塑性分析第18頁/共21頁五.彈性常數(shù)