彈性力學(xué) 空間問題的基本理論

會(huì)計(jì)學(xué)1彈性力學(xué)空間問題的基本理論一、平衡微分方程二、物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三、主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力四、幾何方程及物理方程五、軸對(duì)稱問題的基本方程例題第七章空間問題的基本理論內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第1頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論3

在空間問題中，應(yīng)力、形變和位移等基本知函數(shù)共有15個(gè)，且均為x,y,z的函數(shù)。

空間問題的基本方程，邊界條件，以及按位移求解和按應(yīng)力求解的方法，都是與平面問題相似的。因此，許多問題可以從平面問題推廣得到。平衡微分方程一第2頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論4取出微小的平行六面體，考慮其平衡條件:

平衡微分方程一第3頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論5

由x軸向投影力的平衡微分方程可得

因?yàn)閤,y,z軸互相垂直，均為定向，量綱均為L(zhǎng)，所以x,y,z

坐標(biāo)具有對(duì)等性，其方程也必然具有對(duì)等性。平衡微分方程一第4頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論6

由3個(gè)力矩方程得到3個(gè)切應(yīng)力互等定理，

空間問題的平衡微分方程精確到三階微量平衡微分方程一第5頁(yè)/共53頁(yè)一、平衡微分方程二、物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三、主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力四、幾何方程及物理方程五、軸對(duì)稱問題的基本方程例題第七章空間問題的基本理論內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第6頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論8

在空間問題中，同樣需要解決：由直角坐標(biāo)的應(yīng)力分量…

…，來(lái)求出斜面(法線為

）上的應(yīng)力。物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)二第7頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論9

斜面的全應(yīng)力p可表示為兩種分量形式：p沿坐標(biāo)向分量：p沿法向和切向分量：物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)二第8頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論10

取出如圖的包含斜面的微分四面體，斜面面積為ds,則x面，y面和z面的面積分別為lds,mds,nds。由四面體的力平衡條件可得1.

求物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)二第9頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論112.

求將向法向投影，即得得由物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)二第10頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論12

設(shè)在邊界上，給定了面力分量則可將微分四面體移動(dòng)到邊界點(diǎn)上，并使斜面與邊界重合。斜面應(yīng)力分量應(yīng)代之為面力分量，從而得出空間問題的應(yīng)力邊界條件:3.

在上的應(yīng)力邊界條件物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)二第11頁(yè)/共53頁(yè)一、平衡微分方程二、物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三、主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力

四、幾何方程及物理方程五、軸對(duì)稱問題的基本方程例題第七章空間問題的基本理論內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第12頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論141.假設(shè)面(l,m,n)為主面，則此斜面上斜面上沿坐標(biāo)向的應(yīng)力分量為：代入,得到：主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三第13頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論15考慮方向余弦關(guān)系式，有

結(jié)論：式(a),(b)是求主應(yīng)力及其方向余弦的方程。(b)主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三第14頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論162.求主應(yīng)力

將式(a)改寫為：主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三第15頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論17

上式是求解l,m,n的齊次代數(shù)方程。由于l,m,n不全為0，所以其系數(shù)行列式必須為零，得展開，即得求主應(yīng)力的方程,(c)主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三第16頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論183.應(yīng)力主向

設(shè)主應(yīng)力的主向?yàn)?。代入?a)中的前兩式，整理后得主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三第17頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論19由上兩式解出。然后由式(b)得出再求出及。4.一點(diǎn)至少存在著三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力（證明見書上）。主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三第18頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論205.應(yīng)力不變量

若從式(c)求出三個(gè)主應(yīng)力，則式(c)也可以用根式方程表示為，

因式(c)和(f

)是等價(jià)的方程，故的各冪次系數(shù)應(yīng)相等，從而得出：主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三第19頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論21(g)主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三第20頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論22

所以分別稱為第一、二、三應(yīng)力不變量。這些不變量常用于塑性力學(xué)之中。

式(g)中的各式，左邊是不隨坐標(biāo)選擇而變的；而右邊各項(xiàng)雖與坐標(biāo)的選擇有關(guān)，但其和也應(yīng)與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)。主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三第21頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論236.關(guān)于一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)論：6個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量完全確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。只要6個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量確定了，則通過此點(diǎn)的任何面上的應(yīng)力也完全確定并可求出。(2)一點(diǎn)存在著3個(gè)互相垂直的應(yīng)力主面及主應(yīng)力。主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三第22頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論24(3)3個(gè)主應(yīng)力包含了此點(diǎn)的最大和最小正應(yīng)力。(4)一點(diǎn)存在3個(gè)應(yīng)力不變量(5)最大和最小切應(yīng)力為，作用于通過中間主應(yīng)力、并且“平分最大和最小正應(yīng)力的夾角”的平面上。

設(shè)主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三第23頁(yè)/共53頁(yè)一、平衡微分方程二、物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三、主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力四、幾何方程及物理方程五、軸對(duì)稱問題的基本方程例題第七章空間問題的基本理論內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第24頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論26

空間問題的幾何方程，可以從平面問題推廣得出：

(a)幾何方程及物理方程四第25頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論27

從幾何方程同樣可得出形變與位移之間的關(guān)系：⑴若位移確定，則形變完全確定。

從數(shù)學(xué)上看，由位移函數(shù)求導(dǎo)數(shù)是完全確定的，故形變完全確定。幾何方程及物理方程四第26頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論28--沿x,y,z向的剛體平移；⑵若形變確定，則位移不完全確定。

由形變求位移，要通過積分，會(huì)出現(xiàn)待定的函數(shù)。若，還存在對(duì)應(yīng)的位移分量，為：

(b)--繞x,y,z軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。幾何方程及物理方程四第27頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論29

若在邊界上給定了約束位移分量，則空間問題的位移邊界條件為：(c)幾何方程及物理方程四第28頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論30(d)

其中由于小變形假定，略去了形變的2、3次冪。體積應(yīng)變定義為：

幾何方程及物理方程四第29頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論31空間問題的物理方程

⑴應(yīng)變用應(yīng)力表示，用于按應(yīng)力求解方法：(x,y,z).(e)可表示為兩種形式：幾何方程及物理方程四第30頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論32⑵應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按位移求解方法：(x,y,z).(f)由物理方程可以導(dǎo)出（g）

是第一應(yīng)力不變量，又稱為體積應(yīng)力。--稱為體積模量。幾何方程及物理方程四第31頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論33

空間問題的應(yīng)力，形變，位移等15個(gè)未知函數(shù)，它們都是(x,y,z)的函數(shù)。這些函數(shù)在區(qū)域V內(nèi)必須滿足3個(gè)平衡微分方程，6個(gè)幾何方程及6個(gè)物理方程，并在邊界上滿足3個(gè)應(yīng)力或位移的邊界條件。結(jié)論：幾何方程及物理方程四第32頁(yè)/共53頁(yè)一、平衡微分方程二、物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三、主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力四、幾何方程及物理方程五、軸對(duì)稱問題的基本方程例題第七章空間問題的基本理論內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第33頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論35

空間軸對(duì)稱問題

采用柱坐標(biāo)表示。

如果彈性體的幾何形狀，約束情況和所受的外力都為軸對(duì)稱，則應(yīng)力，形變和位移也是軸對(duì)稱的。軸對(duì)稱問題的基本方程五第34頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論36

對(duì)于空間軸對(duì)稱問題：應(yīng)力中只有(a)形變中只有位移中只有所有物理量?jī)H為(ρ,z)的函數(shù)。軸對(duì)稱問題的基本方程五第35頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論37而由得出為。平衡微分方程：軸對(duì)稱問題的基本方程五第36頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論38

幾何方程：其中幾何方程為軸對(duì)稱問題的基本方程五第37頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論39物理方程：應(yīng)變用應(yīng)力表示：(d)軸對(duì)稱問題的基本方程五第38頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論40

應(yīng)力用應(yīng)變表示：其中軸對(duì)稱問題的基本方程五第39頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論41邊界條件：

一般用柱坐標(biāo)表示時(shí)，邊界面均為坐標(biāo)面。所以邊界條件也十分簡(jiǎn)單。

在柱坐標(biāo)中，坐標(biāo)分量的量綱、方向性、坐標(biāo)線的性質(zhì)不是完全相同的。因此，相應(yīng)的方程不具有對(duì)等性。軸對(duì)稱問題的基本方程五第40頁(yè)/共53頁(yè)一、平衡微分方程二、物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三、主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力四、幾何方程及物理方程五、軸對(duì)稱問題的基本方程例題第七章空間問題的基本理論內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第41頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論43例題1設(shè)物體的邊界面方程為

試求出邊界面的應(yīng)力邊界條件；若面力為法向的分布拉力應(yīng)力邊界條件是什么形式？例題六第42頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論44（x,

y,

z)，其中解：當(dāng)物體的邊界面方程為

時(shí)，它的表面法線的方向余弦為例題六第43頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論45當(dāng)面力為法向分布拉力q時(shí)，(x,y,z).因此，應(yīng)力邊界條件為代入應(yīng)力邊界條件，得(x,y,z).例題六第44頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論46例題2

試求圖示空間彈性體中的應(yīng)力分量。(a)正六面體彈性體置于剛體中，上邊界受均布?jí)毫作用，設(shè)剛性體與彈性體之間無(wú)摩擦力。(b)半無(wú)限大空間體，其表面受均布?jí)毫的作用。例題六第45頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論47qqooxxzz例題六第46頁(yè)/共53頁(yè)彈性力學(xué)空間問題的基本理論48解：圖示的(a),(b)兩問題是相同的應(yīng)力狀態(tài)：x向與y向的應(yīng)力、應(yīng)變和位移都是相同的，即等。對(duì)于(a)，有約束條件；對(duì)于