排列教學(xué)設(shè)計-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

《排列》教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)目標(biāo)通過解決實際的計數(shù)問題，得到排列的定義，并能利用定義判斷排列問題.二、教學(xué)重難點1、教學(xué)重點：排列的定義2、教學(xué)難點：將實際問題中的具體對象抽象為元素，得到排列的定義.三、教學(xué)過程1、知識回顧加法原理：完成一件事有n類不同方案,在第一類方案中有n1種不同的方法，在第二類方案中有n2種不同的方法……在第n類方案中有nn種不同的方法，那么完成這件事共有n1+n2+……+nn種不同的方法。乘法原理：完成一件事情有n個步驟,在第一步中有n1種不同的方法，在第二步中有n2種不同的方法……在第n步中有nn種不同的方法，那么完成這件事共有n1×n2×……×nn種不同的方法。2、情景分析在上節(jié)課的學(xué)習(xí)中我們發(fā)現(xiàn)，用分步乘法計數(shù)原理解決問題時，因做了一些重復(fù)性工作而顯得煩瑣.能否對這類計數(shù)問題給出一種簡捷的方法呢？為此，先來分析兩個具體的問題.問題1從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，另1名同學(xué)參加下午的活動，有幾種不同的選法？此時，要完成的一件事是“選出2名同學(xué)參加活動，1名參加上午的活動，另1名參下午的活動”，可以分兩個步驟：第1步，確定參加上午活動的同學(xué)，從3人中任選1人，有3種選法；第2步，確定參加下午活動的同學(xué)，當(dāng)參加上午活動的同學(xué)確定后，參加下午活動的同學(xué)只能從剩下的2人中去選，有2種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為3×2=6.這6種不同的選法如圖所示.如果把上面問題中被取出的對象叫做元素，那么問題可敘述為：從3個不同的元素a?，?b?，?c中任意取出2個，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？所有不同的排列是ab?，?ac?，?ba?，?bc?，?ca?，?cb，不同的排列方法種數(shù)為3×2=6.設(shè)計意圖：通過分步乘法計數(shù)的具體問題，即檢測與本節(jié)課內(nèi)容有關(guān)的計數(shù)原理的掌握情況，又引出排列問題，為抽象得到排列的概念作準(zhǔn)備.問題2從1，2，3，4這4個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？顯然，從4個數(shù)字中，每次取出3個，按“百位、十位、個位”的順序排成一列，就得到一個三位數(shù).因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同的三位數(shù).可以分三個步驟來解決這個問題：第1步，確定百位上的數(shù)字，從1，2，3，4這4個數(shù)字中任取1個，有4種方法；第2步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的3個數(shù)字中去取，有3種方法；第3步，確定個位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后，個位的數(shù)字只能從余下的2個數(shù)字中去取，有2種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從1，2，3，4這4個不同的數(shù)字中，每次取出3個數(shù)字按“百位、十位、個位”的順序排成一列，不同的排法種數(shù)為4×3×2=24.因而共可得到24個不同的三位數(shù)，如圖所示.由此可寫出所有的三位數(shù)：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.同樣，問題2可以歸結(jié)為：從4個不同的元素a?，?b?，?c?，?d中任意取出3個，并按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？所有不同的排列是abc?，?abd?，?acb?，?acd?，?adb?，?adc?，?bac?，?bad?，?bca?，?bcd?，?bda?，?bdc?，cab?，?cad?，?cba?，?cbd?，?cda?，?cdb?，?dab?，?dac?，?dba?，?dbc?，?dca?，?dcb.不同的排列方法種數(shù)為4×3×2=24.設(shè)計意圖：通過分布乘法計數(shù)的具體問題，讓學(xué)生再次經(jīng)歷解決排列問題的全過程，為抽象得到排列的概念作準(zhǔn)備.3、概念的形成上述問題1，2的共同特點是什么？你能將它們推廣到一般情形嗎？問題1和問題2都是研究從一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的順序排成一列的方法數(shù).一般地，從n個不同元素中取出m(m???n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m根據(jù)排列的定義，兩個排列相同的充要條件是：兩個排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同.例如，在問題1中，“甲乙”與“甲丙”的元素不完全相同，它們是不同的排列，“甲乙”與“乙甲”雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列.又如，在問題2中，123與134的元素不完全相同，它們是不同的排列；123與132雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列.指出定義中需要注意的信息：（1）元素不能重復(fù).（互異性）（2）“按一定順序”就是與位置有關(guān)，這是判斷一個問題是否是排列問題的關(guān)鍵.（有序性）（3）兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列中的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同.（4）.為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏，最好采用“樹形圖”.設(shè)計意圖：通過分析、比較兩個實例，概括他們的共同特點，從特殊到一般得出排列的概念，并辨析概念.加深對定義的理解：判斷下列問題是否為排列問題．(1)北京、上海、天津3個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設(shè)往返的票價相同)；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3)選2個小組去種菜；(4)選10個人組成一個學(xué)習(xí)小組；(5)選3個人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員．解：(1)中票價只有3種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題．(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題(3)，(4)不存在順序問題，不屬于排列問題(5)中每個人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．根據(jù)以上的判斷，得出”判斷一個具體問題是否為排列問題的方法”變換元素的位置變換元素的位置結(jié)果有無變化有序無序排列問題非排列問題4、例題講解例1某省中學(xué)生足球賽預(yù)選賽每組有6支隊，每支隊都要與同組的其他各隊友在主、客場分別比賽1場，那么每組共進行多少場比賽？分析：每組任意2支隊之間進行的1場比賽，可以看作是從該組6支隊中選取2支，按“主隊、客隊”的順序排成的一個排列.解：可以先從這6支隊中選1支為主隊，然后從剩下的5支隊中選1支為客隊.按分布乘法計數(shù)原理，每組進行的比賽場數(shù)為6×5=30.例2一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法？解：可以先從這5盤菜中取1盤給同學(xué)甲，然后從剩下的4盤菜中取1盤給同學(xué)乙，最后從剩下的3盤菜中取1盤給同學(xué)丙.按分步乘法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為5×4×3=60.變式：學(xué)校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少種不同的選法？解：可以先讓同學(xué)甲從5種菜中選1種，有5種選法；再讓同學(xué)乙從5種菜中選1種，也有5種選法；最后讓同學(xué)丙從5種菜種選1種，同樣有5種選法.按分步乘法計數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為5×5×5=125.變式：學(xué)校食堂的一個窗口共賣5種菜，現(xiàn)有3名同學(xué)在這個窗口中選菜，只要求每種菜都能被人選上，共有多少種不同的分菜方法？解：第一種菜可以被3名同學(xué)挑選，第二種菜也可以被3名同學(xué)挑選，第三種菜也可以被3名同學(xué)挑選，第四種菜也可以被3名同學(xué)挑選，第五種菜也可以被3名同學(xué)挑選，根據(jù)分步乘法計算原理，不同的分菜種數(shù)是3×3×3×3×3=3例3有4名大學(xué)生可以到5家單位實習(xí)，若每家單位至多招1名實習(xí)生，每名大學(xué)生至多到1家單位實習(xí)，且這4名大學(xué)生全部被分配完畢，則分配方案的個數(shù)。解法1：可以理解為從5家單位中選出4家單位，分別把4名大學(xué)生安排到4家單位，共有5×4×3×2×1＝120(個)分配方案．解法2：理解為每個大學(xué)生來挑選單位，即大學(xué)生1有5個單位可選，大學(xué)生2有4個單位可選，大學(xué)生3有3個單位可選，大學(xué)生4有2個單位可選。這就是從5個不同的元素中抽取4個元素的排列，所以同樣有5×4×3×2×1＝120(個)分配方案例4學(xué)校乒乓團體比賽采用5場3勝制（5場單打），每支球隊派3名運動員參賽，前3場比賽每名運動員各出場1次，其中第1,2位出場的運動員在后2場比賽中還將各出場1次。（1）從5名運動員中選3名參加比賽，前3場比賽有幾種出場情況？（2）甲、乙、丙3名運動員參加比賽，寫出所有可能的出場情況。解：（1）依題意可得，是從5個元素中選取3個元素的排列，所以是5×4×3=60（2）解：①比3場結(jié)束，有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲6種情況；②比4場結(jié)束，有甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，乙丙甲乙，乙丙甲丙，乙甲丙甲，乙甲丙乙，丙甲乙丙，丙甲乙甲，丙乙甲丙，丙乙甲乙12種情況；③比5場結(jié)束，有甲乙丙甲乙，甲乙丙乙甲，甲丙乙甲丙，甲丙乙丙甲，乙甲丙乙甲，乙甲丙甲乙，乙丙甲乙丙，乙丙甲丙乙，丙甲乙丙甲，丙甲乙甲丙，丙乙甲丙乙，丙乙甲乙丙共12種。注意：在列舉結(jié)果的時候，按題意分類