北師大選修導數(shù)的概念張

會計學1北師大選修導數(shù)的概念張2學習目標：1、通過回顧，進一步體會由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程.2、理解導數(shù)的概念，知道瞬時變化率就是導數(shù)，會求函數(shù)f(x)在某一點x0處的導數(shù)。3、能解釋具體函數(shù)在一點的導數(shù)的實際意義。學習重點：導數(shù)的概念及導數(shù)的實際意義。學習難點：結(jié)合具體問題，理解導數(shù)概念的內(nèi)涵第1頁/共32頁問題2：試求質(zhì)點在第3秒時的瞬時速度．一質(zhì)點按規(guī)律s＝2t2＋2t做直線運動(位移單位：米，時間單位：秒)．問題1：試求質(zhì)點在前3秒內(nèi)的平均速度．提示：8米/秒．提出問題：第2頁/共32頁

問題3：對于函數(shù)y＝f(x)，當x從x0變到x1時，求函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率．問題4：當Δx趨于0時，平均變化率趨于一個常數(shù)嗎？這個常數(shù)是什么？提示：是．第3頁/共32頁固定的值新知學習：第4頁/共32頁第5頁/共32頁注意：（1）函數(shù)應在點x0

的附近有定義，否則導數(shù)不存在第6頁/共32頁第7頁/共32頁導數(shù)思想最早由法國數(shù)學家Ferma在研究極值問題中提出.費馬對數(shù)學的貢獻包括：與笛卡爾共同創(chuàng)立了解析幾何；創(chuàng)造了作曲線切線的方法，被微積分發(fā)明人之一牛頓奉為微積分的思想先驅(qū)；通過提出有價值的猜想，指明了關(guān)于整數(shù)的理論——數(shù)論的發(fā)展方向。他還研究了擲骰子賭博的輸贏規(guī)律，從而成為古典概率論的奠基人之一。第8頁/共32頁10例：一條水管中流過的水量y（單位：）是時。求函數(shù)在x=2處的導數(shù)，并解釋它的實際意義。間x（單位：s）的函數(shù)解：當x從2變到2＋Δx時，函數(shù)值從3×2變到3（2+Δx），函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為（當x趨于2，即Δx趨于0時，平均變化率趨于3，第9頁/共32頁11所以（/s）.導數(shù)

表示當x=2s時水流的瞬時變化率，即水流的瞬時速度。也就是如果水管的中的水以x=2s時的瞬時速度流動的話，每經(jīng)過1s，水管中流過的水量為3第10頁/共32頁12說一說1：一名食品加工廠的工人上班后開始連續(xù)工作，生產(chǎn)的食品量y（單位：kg）是其工作時間x（單位：h）的函數(shù)。假設函數(shù)在x=1和x=3處的導數(shù)分別為和，試解釋它們的實際意義。第11頁/共32頁13解：

表示該工人工作1h的時候，其生產(chǎn)速度（即工作效率）為4kg/h，也就是說，如果保持這一生產(chǎn)速度，那么他每時可以生產(chǎn)4kg的食品。

表示該工人上班后工作3h的時候，其生產(chǎn)速度為3.5kg/h，也就是說，如果保持這一生產(chǎn)速度，那么他每時可以生產(chǎn)出3.5kg/h的食品。第12頁/共32頁14說一說2:服藥后，人體血液中藥物的質(zhì)量濃度y（單位：μg/mL）是時間t（單位：min）的函數(shù)在t=10和t=100處的和導數(shù)分別為，試解釋它們的實際意義。第13頁/共32頁15解：

表示服藥后10min時，血液中藥物的質(zhì)量濃度上升的速度為1.5μg/（mL·min）。也就是說，如果保持這一速度，每經(jīng)過1min，血液中藥物的質(zhì)量濃度將上升1.5μg/（mL·min）。

表示服藥后100min時，血液中藥物的質(zhì)量濃度下降的速度為0.6μg/（mL·min）。也就是說，如果保持這一速度，每經(jīng)過1min，血液中藥物的質(zhì)量濃度將下降0.6μg/（mL·min）。第14頁/共32頁16練一練:、第15頁/共32頁想一想：已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2x在x＝1處的導數(shù)為6，求a的值．第16頁/共32頁18小結(jié)：1、導數(shù)的概念及內(nèi)涵；2、利用導數(shù)的定義求函數(shù)在一點處的導數(shù)的方法步驟：

3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、類比、從特殊到一般。作業(yè)：1.教材習題2-2A組第2，3題(必做題)2.見學案（選做題）第17頁/共32頁課后思考從函數(shù)的圖象上看，平均變化率：表示曲線y=f(x)的一條割線的斜率。

那么導數(shù)即瞬時變化率表示什么呢？請課后思考.y=f(x)f(x0+)-f(x0)x0x0+xyf(x0+)f(x0)o第18頁/共32頁20謝謝！第19頁/共32頁1．求函數(shù)y＝2x2

+1在x＝1處的導數(shù)。課堂練習:第20頁/共32頁函數(shù)y＝x2在x＝1處的導數(shù)為(

)A．2x

B．2＋ΔxC．2 D．1答案：C練一練:第21頁/共32頁課后練習:1.某質(zhì)點沿直線運動,運動規(guī)律是s=5t2+6,求:(1)2≤t≤2+Δt這段時間內(nèi)的平均速度,這里Δt取值為1;(2)t=2時刻的瞬時速度.第22頁/共32頁第23頁/共32頁導數(shù)的概念在高臺跳水運動中,平均速度不一定能反映運動員在某一時刻的運動狀態(tài)，需要用瞬時速度描述運動狀態(tài)。我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.

25又如何求瞬時速度呢?第24頁/共32頁26

平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢.如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢?求：從2s到(2+△t)s這段時間內(nèi)平均速度第25頁/共32頁27△t<0時,在[2+△t,2]這段時間內(nèi)△t>0時,在[2,2+△t]這段時間內(nèi)當△t=–0.01時,當△t=

0.01時,當△t=–0.001時,當△t=0.001時,當△t=–0.0001時,當△t=0.0001時,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………

平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢.如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢?第26頁/共32頁28

當△t趨近于0時,即無論t從小于2的一邊,還是從大于2的一邊趨近于2時,平均速度都趨近與一個確定的值–13.1.

從物理的角度看,時間間隔|△t|無限變小時,平均速度就無限趨近于t=2時的瞬時速度.因此,運動員在t=2

時的瞬時速度是–13.1.表示“當t=2,△t趨近于0時,平均速度趨近于確定值–13.1”.從2s到(2+△t)s這段時間內(nèi)平均速度第27頁/共32頁29探究:1.運動員在某一時刻t0的瞬時速度怎樣表示?2.函數(shù)f(x)在x=

x0處的瞬時變化率怎樣表示?第28頁/共32頁30定義:函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的瞬時變化率是稱為函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的導數(shù),記作或,即第29頁/共32頁31定義:函數(shù)y=f(x)在x