等比數(shù)列的概念課件【高效備課精研】 高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念【第1課時(shí)

等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式】

高中數(shù)學(xué)（選擇性必修第二冊(cè)）第四章數(shù)列本章學(xué)習(xí)流程圖實(shí)際概念遞推通項(xiàng)前n項(xiàng)和1.理解等比數(shù)列的概念：能用文字語言、符號(hào)語言和圖形語言描述等比數(shù)列，并能根據(jù)定義判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。2.理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：能根據(jù)定義歸納出通項(xiàng)公式，掌握推導(dǎo)方法（累乘法）；能說出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的特征，會(huì)用通項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單問題。3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系：能說出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與指數(shù)函數(shù)之間的共性與差異；會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)解決一些與等比數(shù)列有關(guān)的簡(jiǎn)單問題。學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng)一：尋愛2、等差數(shù)列的符號(hào)表示（定義式）若

an-an-1=d(常數(shù))(n≥2)

{an}為等差數(shù)列.或:若an+1-an=d(常數(shù))

(n∈N*)

{an}為等差數(shù)列

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.1、等差數(shù)列的概念：復(fù)習(xí)回顧新課導(dǎo)入實(shí)際概念遞推通項(xiàng)前n項(xiàng)和情景導(dǎo)入1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時(shí)期的泥版上記錄了下面的數(shù)列:

2.《莊子·天下》中提到:“一尺之錘，日取其半，萬世不竭.”如果把“一尺之錘”的長(zhǎng)度看成單位“1”，那么從第1天開始，每天得到的“錘”的長(zhǎng)度依次是④

9,92,93，…，910；①

100,1002,1003，…，10010；

②5,52,53，…，510.

③請(qǐng)看下面幾個(gè)問題中的數(shù)列.情景導(dǎo)入

3.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)菌每20min就通過分裂繁殖一代，那么一個(gè)這種細(xì)菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個(gè)數(shù)依次是2，4，8，16，32，64，….⑤

4.某人存入銀行a元，存期為5年，年利率為r，那么按照復(fù)利，他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別是⑥導(dǎo)入新課

9,92,93，…，910；①

100,1002,1003，…，10010；

②5,52,53，…，510.

③④2，4，8，16，32，64，….

⑤

⑥思考：類比等差數(shù)列你能通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以下數(shù)列的取值規(guī)律嗎？

各式取值規(guī)律：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù).思考:類比等差數(shù)列的概念，從上述幾個(gè)數(shù)列的規(guī)律中，

你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？如果用{an}表示數(shù)列①，那么有新課流程實(shí)際概念遞推通項(xiàng)前n項(xiàng)和新知講解

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)不為0常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q(q≠0)表示.

例如數(shù)列①~⑥的公比依次為9,100,5,0.5,2,1+r.等比數(shù)列的符號(hào)語言：注意:(1)從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比為常數(shù)q;(2)任意一項(xiàng)an≠0且q≠0;(3)q=1時(shí)，{an}為非零常數(shù)列，且非零常數(shù)列既是等差又是等比數(shù)列1.等比數(shù)列的概念

課堂練習(xí)1.

判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列．如果是，寫出它的公比．(1)1，3，9，27，81；(2)5，5，5，5，5；(3)1，-1，1，-1，1；(4)1，0，1，0，1；(5)0，0，0，0，0；

(6)

1，a，a2，a3

，

a4

；

(7)

x0，x，

x2，x3

，

x4

；

不一定判定等比數(shù)列的方法：各項(xiàng)

an≠0；依據(jù)等比數(shù)列的定義新知講解與等差中項(xiàng)類似，如果三個(gè)數(shù)a,G,b組成等比數(shù)列，那么G叫做a和b的等比中項(xiàng).2.等比中項(xiàng)只有同號(hào)的兩數(shù)，才存在等比中項(xiàng)不唯一，等比中項(xiàng)有兩個(gè)值.不一定，若a＝G＝b＝0

時(shí)，不滿足．課堂練習(xí)2、思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)

(1)若數(shù)列{an}滿足an+1=2an

(n∈N*)，那么{an}是等比數(shù)列.(

)

(2)

常數(shù)列b，b，b，……，一定為等比數(shù)列.(

)

(3)任意兩個(gè)非零常數(shù)a，b都有等比中項(xiàng).(

)

(4)

G2=ab是a，G，b成等比數(shù)列的充要條件.()××××

±4-4新課流程實(shí)際概念遞推通項(xiàng)前n項(xiàng)和合作探究小組合作探究

你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？有幾種方法？設(shè)一個(gè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為q,根據(jù)等比數(shù)列的定義,可得∴a2=a1q，a3=a2q

=a1q2，a4=a3q=a1q3，??????∴an=a1qn-1

(n≥2).又a1=a1q1-1，這就是說，當(dāng)n=1時(shí)上式也成立.因此，首項(xiàng)為a1,公差為q的等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為不完全歸納法an=a1qn-1(n∈N﹡,q≠0)3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式合作探究……累乘法思路2：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，

q≠0根據(jù)等比數(shù)列的定義：

an+1=an?q遞推公式n-1個(gè)n-1個(gè)an=a1qn-1(n∈N﹡,q≠0)且當(dāng)n=1時(shí)上式也成立3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式深入探究探究：已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，試討論該數(shù)列的類型.an=a1qn-1指數(shù)型函數(shù)4.等比數(shù)列的函數(shù)特征及圖像表示舉例：若數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1=1,公比q=2,則用通項(xiàng)公式表示是：

＿＿＿＿＿＿an=2n－1上式還可以寫成:可見，表示這個(gè)等比數(shù)列的各點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，如右圖所示.o12345612345678深入探究單調(diào)性分析：（1）當(dāng)q<0時(shí)，{an}為擺動(dòng)數(shù)列；（2）當(dāng)0<q<1時(shí):①若a1>0，則{an}為遞減數(shù)列；

②若a1<0，則{an}為遞增數(shù)列；（3）當(dāng)q=1時(shí)，{an}為常數(shù)列；（4）當(dāng)q>1時(shí)，

①若a1>0，則{an}為遞增數(shù)列；

②若a1<0，則{an}為遞減數(shù)列；通過等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，分析它的單調(diào)性an=a1qn-1例題講解例1若等比數(shù)列{an}的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12，求{an}的第5項(xiàng).變式練習(xí)變式1

在等比數(shù)列{an}中，(1)a1＝1，a4＝8，求an；(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.深入探究等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推廣例2已知等比數(shù)列{an}的公比為q，試用{an}的第m項(xiàng)am表示an.等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：復(fù)習(xí)：等差數(shù)列{an}的

通項(xiàng)公式：變式2

已知:等比數(shù)列{an}中，a3=20,

a6=160,求an.解法1：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,等比數(shù)列{an}通項(xiàng)公式解法2：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,22變式練習(xí)例題講解例3

數(shù)列{an}共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等比數(shù)列，后三項(xiàng)成等差數(shù)列，第3項(xiàng)等于80,第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的和等于136，第1項(xiàng)與第5項(xiàng)的和等于132.求這個(gè)數(shù)列.總結(jié)規(guī)律變式練習(xí)變式3有四個(gè)實(shí)數(shù)，前三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，它們的積是－8；后三個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列，它們的積為－80，求出這四個(gè)數(shù)．課堂小結(jié)等差數(shù)列等比數(shù)列定義（符號(hào)表示）an

-an-1=d公差與公比d可以是0等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)2A=a+b通項(xiàng)公式

an=a1+(n－1)dan=am+(n－m)d

函數(shù)類型一次函數(shù)q≠0G2=aban=a1qn-1

an=amqn-m指數(shù)型函數(shù)1.做課本31頁練習(xí)題2.預(yù)習(xí)課本31-34頁課后作業(yè)4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念

高中數(shù)學(xué)（選擇性必修第二冊(cè)）第四章數(shù)列【第2課時(shí)

等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】1.理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：能根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的“正用”“逆用”和“變用”中得出等比數(shù)列的一些性質(zhì)，并解決一些簡(jiǎn)單問題。2.掌握等比數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用：能在具體情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，抽象出等比數(shù)列模型，并運(yùn)用等比數(shù)列的知識(shí)解決銀行儲(chǔ)蓄等實(shí)際問題；能綜合應(yīng)用等比數(shù)列的概念、公式、性質(zhì)解決數(shù)列與函數(shù)、不等式等綜合問題。學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)回顧等差數(shù)列等比數(shù)列定義（符號(hào)表示）an

-an-1=d公差與公比d可以是0等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)2A=a+b通項(xiàng)公式

an=a1+(n－1)dan=am+(n－m)d

函數(shù)類型一次函數(shù)q≠0G2=aban=a1qn-1

an=amqn-m指數(shù)型函數(shù)典例講解——實(shí)際問題：銀行儲(chǔ)蓄典例講解——實(shí)際問題：銀行儲(chǔ)蓄典例講解——實(shí)際問題：銀行儲(chǔ)蓄新知講解——等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則：an=am·qn-m

(m，n∈N*)性質(zhì)1：

等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣課堂練習(xí)課堂練習(xí)追蹤練習(xí)696???分析：設(shè)該等比數(shù)列為{an}，a1=6，a5=96.122448在6和96之間插入3個(gè)數(shù)使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列或-1224-48思考：利用等比中項(xiàng)，你還有其他方法么？小組討論合作探究思考：當(dāng)m＋n＝2k，你有什么新的結(jié)論？歸納新知——等比數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)2：若{an}為等比數(shù)列，m＋n=p+q(m，n，p，q∈N*)，則am·an=ap·aq性質(zhì)4：若m，p，n(m，n，p∈N*)成等差數(shù)列，則am，ap，an成等比數(shù)列；特別地，當(dāng)m＋n＝2k(m，n，k∈N*)時(shí)，am·an＝ak2；當(dāng)m＋n＋s＝p＋q＋t(m，n，p，q，s，t∈N*)時(shí)，amanas＝apaqat.性質(zhì)3：對(duì)有窮等比數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積，

即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….課堂練習(xí)DD追蹤練習(xí)CCAC例題講解課本32頁例題講解課本32頁性質(zhì)5：在數(shù)列{an}中，每隔k(k∈N*)項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來的順序排列，所得數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為qk＋1.性質(zhì)6：在數(shù)列{an}中，連續(xù)相鄰k項(xiàng)的和(或積)構(gòu)成公比為qk(或qk2)的等比數(shù)列．性質(zhì)7：若數(shù)列{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列{lgan}是公差為lgq的等差數(shù)列。性質(zhì)8：若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，公差為