2022年廣東省深圳實驗、珠海一中等六校高三第二次調(diào)研數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,,,,則,,滿足()A. B. C. D.2.關(guān)于圓周率π,數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的浦豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計的值:先請全校名同學每人隨機寫下一個都小于的正實數(shù)對;再統(tǒng)計兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù);最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)估計的值,那么可以估計的值約為()A. B. C. D.3.函數(shù)在上的大致圖象是()A. B.C. D.4.已知向量,,,若,則()A. B. C. D.5.已知是雙曲線的左右焦點,過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(A在右支,B在左支)若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.6.已知復數(shù),(為虛數(shù)單位),若為純虛數(shù),則()A. B.2 C. D.7.閱讀如圖的程序框圖,運行相應的程序,則輸出的的值為()A. B. C. D.8.執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸出的結(jié)果,則輸入的值為()A. B.C.3或 D.或9.已知函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為;②函數(shù)的圖象是軸對稱圖形;③函數(shù)的極大值為;④函數(shù)的最小值為.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④10.復數(shù)的共軛復數(shù)記作,已知復數(shù)對應復平面上的點,復數(shù):滿足.則等于()A. B. C. D.11.小張家訂了一份報紙,送報人可能在早上之間把報送到小張家,小張離開家去工作的時間在早上之間.用表示事件:“小張在離開家前能得到報紙”,設(shè)送報人到達的時間為,小張離開家的時間為,看成平面中的點,則用幾何概型的公式得到事件的概率等于()A. B. C. D.12.在長方體中,,則直線與平面所成角的余弦值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.雙曲線的焦點坐標是_______________,漸近線方程是_______________.14.在中,,,,則__________.15.已知,則的值為______.16.若橢圓:的一個焦點坐標為,則的長軸長為_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,,是邊上一點,且,.(1)求的長;(2)若的面積為14,求的長.18.(12分)已知函數(shù),.(1)當時,①求函數(shù)在點處的切線方程;②比較與的大小;(2)當時,若對時,,且有唯一零點,證明:.19.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的極值;(Ⅱ)若,且,求證:.20.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)曲線在點處的切線斜率為.(i)求;(ii)若,求整數(shù)的最大值.21.(12分)某職稱晉級評定機構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進行了統(tǒng)計,繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),規(guī)定80分及以上者晉級成功,否則晉級失敗.晉級成功晉級失敗合計男16女50合計(1)求圖中的值;(2)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)?(3)將頻率視為概率,從本次考試的所有人員中,隨機抽取4人進行約談,記這4人中晉級失敗的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學期望.(參考公式:,其中)0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02422.(10分)已知直線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),曲線的極坐標方程為.(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程,并說明曲線的形狀;(2)若直線經(jīng)過點,求直線被曲線截得的線段的長.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

首先由函數(shù)為偶函數(shù),可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,再由,即可判定大小【詳解】因為偶函數(shù)在減,所以在上增,,,,∴.故選:D【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,不同類型的數(shù)比較大小,應找一個中間數(shù),通過它實現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞,屬于中檔題.2.D【解析】

由試驗結(jié)果知對0~1之間的均勻隨機數(shù),滿足,面積為1,再計算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對,滿足條件的面積,由幾何概型概率計算公式,得出所取的點在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積,即可估計的值.【詳解】解:根據(jù)題意知,名同學取對都小于的正實數(shù)對,即,對應區(qū)域為邊長為的正方形,其面積為,若兩個正實數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊,則有,其面積;則有,解得故選:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應用問題.線性規(guī)劃可行域是一個封閉的圖形,可以直接解出可行域的面積;求解與面積有關(guān)的幾何概型時,關(guān)鍵是弄清某事件對應的面積,必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量,把變量看成點的坐標,找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.3.D【解析】

討論的取值范圍,然后對函數(shù)進行求導,利用導數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當時,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,則,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),當時,,故切線的斜率變小,當時,,故切線的斜率變大,可排除A、B;當時,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,,當時,,故切線的斜率變大,當時,,故切線的斜率變小,可排除C,故選:D【點睛】本題考查了識別函數(shù)的圖像,考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.4.A【解析】

根據(jù)向量坐標運算求得,由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】,,解得:故選:【點睛】本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問題,涉及到平面向量的坐標運算;關(guān)鍵是明確若兩向量平行,則.5.D【解析】

根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長為,然后在中應用余弦定理得的等式,從而求得離心率.【詳解】由題意,,又,∴,∴,在中,即,∴.故選:D.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是應用雙曲線的定義把到兩焦點距離用表示,然后用余弦定理建立關(guān)系式.6.C【解析】

把代入,利用復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡,由實部為0且虛部不為0求解即可.【詳解】∵,∴,∵為純虛數(shù),∴,解得.故選C.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的除法運算,考查復數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.7.C【解析】

根據(jù)給定的程序框圖,計算前幾次的運算規(guī)律,得出運算的周期性,確定跳出循環(huán)時的n的值,進而求解的值,得到答案.【詳解】由題意,,第1次循環(huán),,滿足判斷條件;第2次循環(huán),,滿足判斷條件;第3次循環(huán),,滿足判斷條件;可得的值滿足以3項為周期的計算規(guī)律,所以當時,跳出循環(huán),此時和時的值對應的相同,即.故選:C.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出問題,其中解答中認真審題,得出程序運行時的計算規(guī)律是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計算能力.8.D【解析】

根據(jù)逆運算,倒推回求x的值,根據(jù)x的范圍取舍即可得選項.【詳解】因為,所以當,解得

,所以3是輸入的x的值;當時,解得,所以是輸入的x的值,所以輸入的x的值為

或3,故選:D.【點睛】本題考查了程序框圖的簡單應用,通過結(jié)果反求輸入的值,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】

因為,所以①不正確;因為,所以,,所以,所以函數(shù)的圖象是軸對稱圖形,②正確;易知函數(shù)的最小正周期為,因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可.當時,,且,令,得,可知函數(shù)在處取得極大值為,③正確;因為,所以,所以函數(shù)的最小值為,④正確.故選D.10.A【解析】

根據(jù)復數(shù)的幾何意義得出復數(shù),進而得出,由得出可計算出,由此可計算出.【詳解】由于復數(shù)對應復平面上的點,,則,,,因此,.故選:A.【點睛】本題考查復數(shù)模的計算,考查了復數(shù)的坐標表示、共軛復數(shù)以及復數(shù)的除法,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.11.D【解析】

這是幾何概型,畫出圖形,利用面積比即可求解.【詳解】解:事件發(fā)生,需滿足,即事件應位于五邊形內(nèi),作圖如下:故選:D【點睛】考查幾何概型,是基礎(chǔ)題.12.C【解析】

在長方體中,得與平面交于,過做于,可證平面,可得為所求解的角,解,即可求出結(jié)論.【詳解】在長方體中,平面即為平面,過做于,平面,平面,平面,為與平面所成角,在,,直線與平面所成角的余弦值為.故選:C.【點睛】本題考查直線與平面所成的角,定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”,三步驟缺一不可,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

通過雙曲線的標準方程,求解,,即可得到所求的結(jié)果.【詳解】由雙曲線,可得,,則,所以雙曲線的焦點坐標是,漸近線方程為:.故答案為:;.【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)的應用,考查了運算能力,屬于容易題.14.1【解析】

由已知利用余弦定理可得,即可解得的值.【詳解】解:,,,由余弦定理,可得,整理可得:,解得或(舍去).故答案為:1.【點睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應用,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】

先求,再根據(jù)的范圍求出即可.【詳解】由題可知,故.故答案為:.【點睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解,涉及對數(shù)的運算,屬基礎(chǔ)題.16.【解析】

由焦點坐標得從而可求出,繼而得到橢圓的方程,即可求出長軸長.【詳解】解:因為一個焦點坐標為,則,即,解得或由表示的是橢圓,則,所以,則橢圓方程為所以.故答案為:.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程,考查了橢圓的幾何意義.本題的易錯點是忽略,從而未對的兩個值進行取舍.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)1;(2)5.【解析】

(1)由同角三角函數(shù)關(guān)系求得,再由兩角差的正弦公式求得,最后由正弦定理構(gòu)建方程,求得答案.(2)在中,由正弦定理構(gòu)建方程求得AB,再由任意三角形的面積公式構(gòu)建方程求得BC,最后由余弦定理構(gòu)建方程求得AC.【詳解】(1)據(jù)題意,,且,所以.所以.在中,據(jù)正弦定理可知,,所以.(2)在中,據(jù)正弦定理可知,所以.因為的面積為14,所以,即,得.在中,據(jù)余弦定理可知,,所以.【點睛】本題考查由正弦定理與余弦定理解三角形,還考查了由同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角差的正弦公式化簡求值,屬于簡單題.18.(1)①見解析,②見解析;(2)見解析【解析】

(1)①把代入函數(shù)解析式,求出函數(shù)的導函數(shù)得到,再求出,利用直線方程的點斜式求函數(shù)在點處的切線方程;②令,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得當時,;當時,;當時,.(2)由題意,,在上有唯一零點.利用導數(shù)可得當時,在上單調(diào)遞減,當,時,在,上單調(diào)遞增,得到.由在恒成立,且有唯一解,可得,得,即.令,則,再由在上恒成立,得在上單調(diào)遞減,進一步得到在上單調(diào)遞增,由此可得.【詳解】解:(1)①當時,,,,又,切線方程為,即;②令,則,在上單調(diào)遞減.又,當時,,即;當時,,即;當時,,即.證明:(2)由題意,,而,令,解得.,,在上有唯一零點.當時,,在上單調(diào)遞減,當,時,,在,上單調(diào)遞增..在恒成立,且有唯一解,,即,消去,得,即.令,則,在上恒成立,在上單調(diào)遞減,又,,.在上單調(diào)遞增,.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程,考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查邏輯思維能力與推理論證能力,屬難題.19.(Ⅰ)極大值為:,無極小值;(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),解關(guān)于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)的極值;(Ⅱ)得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為證明,即證,令,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】(Ⅰ)的定義域為且令,得;令,得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減函數(shù)的極大值為,無極小值(Ⅱ),,即由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減且,則要證,即證,即證,即證即證由于,即,即證令則恒成立在遞增在恒成立【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導數(shù)的應用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,考查不等式的證明,考查運算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想,關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題,屬于難題.20.(1)在上增;在上減;(2)(i);(ii)2【解析】

(1)求導求出,對分類討論,求出的解,即可得出結(jié)論;(2)(i)由,求出的值;(ii)由(i)得所求問題轉(zhuǎn)化為,恒成立,設(shè),,只需,根據(jù)的單調(diào)性,即可求解.【詳解】(1)當時,,即在上增;當時,,,,,即在上增;在上減;(2)(i),.(ⅱ),即,即,只需.當時,,在單調(diào)遞增,所以滿足題意;當時,,,,所以在上減,在上增,令,..在單調(diào)遞減,所以所以在上單調(diào)遞減,,綜上可知,整數(shù)的最大值為.【點睛】本題考查函數(shù)導數(shù)的綜合應用,涉及函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)的幾何意義、極值最值、不等式恒成立,考查分類討論思想,屬于中檔題.21.(1);(2)列聯(lián)表見解析,有超過的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān);(3)分布列見解析,=3【解析】

(1)由頻率和為1,列出方程求的值;(2)由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率,計算晉級成功的人數(shù),填寫列聯(lián)表,計算觀測值,對照臨界值得出結(jié)論;(3)由頻率分布直方圖

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